بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
خطاي انتقال استاتيکي در چرخدنده ساده با روش تحليلي و اجزاي محدود
چکيده
چرخ دندههاي ساده، سادهترين نوع چرخدنده ها هستند کـه از آنها براي انتقال قدرت بين دو شفت موازي استفاده مـي شـود.
اين گونه چرخدندهها در مقايسه با چرخ دندههاي مارپيچ داراي مزايايي از جمله راندمان بيشتر، سادگي مونتاژ، بـدون نيـاز بـه ياتاقانهاي محوري و کاهش وزن گيربکس هستند کـه آنهـا را در جايگاه برتري نسبت به چرخدنده هاي مارپيچ قرار مي دهـد.
اما يک مشکل عمده در استفاده از اين گونه چرخ دندهها وجود دارد و آن ايجاد سروصدا در حين کار مي باشد. مهمترين عامل ايجاد صدا در چرخ دندههاي ساده خطاي انتقال مـي باشـد کـه اين خطا در اثر عواملي چـون خطاهـاي سـاخت چـرخدنـده و مهمتر از آن صلب نبودن دندانه ها به وجود مـي آيـد. در ايـن تحقيق خطاي انتقال استاتيکي با استفاده از روابط و معـادلات موجـود و تبـديل آنهـا بـه يـک کـد کـامپيوتري بـا نـرمافـزار Matlab، محاسبه شـده اسـت . در ادامـه بـراي تاييـد صـحت نتيجه به دست آمده، خطاي انتقال با نرم افزار اجـزاي محـدود ANSYS نيز محاسبه شده است .
سپس با اصلاح ادندوم دو چرخدنده درگير، نسـبت تمـاس در دو چرخ دنده به عدد ٢ افـزايش داده شـده اسـت . بـا محاسـبه خطاي انتقال در چرخدنـده بـا ادنـدوم تصـحيح شـده، ميـزان خطاي انتقال و دامنه تغييـرات آن بطـور چشـمگيري کـاهش پيدا کرده است .
کلمات کليدي : چرخدنده ساده، خطاي انتقال، اجزاي محدود، تصحيح پروفيل ، نسبت تماس
مقدمه
چرخ دندههاي ساده، پرکاربردترين نوع چرخ دندهها در صـنعت ، ماشين آلات و وسايل مکانيکي مي باشند. اين گونه چرخدندههـا در مقايسه با چرخدندههاي مارپيچ ، داراي راندمان بالاتري بوده و به دليل سادگي فـرم دندانـه مونتـاژ آنهـا نيـز آسـان اسـت ؛ همچنين به دليل مستقيم بودن دندانه ها، نيـروي محـوري در آنها ايجاد نشده و بنابراين بدون نياز به ياتاقـانهـاي محـوري مي باشند [١]. با اين وجود، مشکل عمده اين گونه چرخدندهها توليد صدا در هنگام کار مي باشد. در اين گونه چرخ دندههـا بـه علت صاف بودن دندانـه هـا، تمـاس بـين دو دندانـه در همـان ابتداي درگيري به صورت يک خط بوده که از تماس دو سطح حاصـل مـي شـود و بـدين ترتيـب از برخـورد دو سـطح ، يـک صداي"تق " ايجاد مـي شـود. حـال اگـر تعـداد زيـادي از ايـن چرخ دندهها با سرعت هاي بالا کار کنند، صداهاي پيوسـته اي از اين برخوردها حاصـل مـي شـود کـه بسـيار آزاردهنـده اسـت .
تحريکات داخلي در چرخ دندههـا مـي توانـد منشـأ ايجـاد ايـن صداي تق تق باشد که اغلب به عنوان تحريک خطـاي انتقـال ١ در نظر گرفته مي شود [٢]. در ادامه به بحث و بررسي در مورد خطاي انتقال پرداخته مي شود.
خطاي انتقال
از لحاظ تئوري، براي دو چرخ دندهاي که منحني اينولوت دندانه آنها کامل و سختي دندانه ها بينهايت بوده و هيچ گونه خطايي در فرآيند ساخت وجود نداشته باشد، دوران چرخدنده متحرک تابعي از دوران چرخدنده محرک و نسبت دندانه است .
بنابراين اگر سرعت زاويه اي شفت چرخدنده محرک ثابت باشد، سرعت زاويه اي شفت چرخدنده متحرک نيز يک مقدار ثابت خواهد بود [٣]. اما در شرايط واقعي ، چون دندانه هاي يک چرخ دنده کاملاً صلب نيستند پس سختي دندانه ها يک مقدار محدود است و همچنين به خاطر دقيق نبودن منحني اينولوت دندانه و وجود خطاهايي در هنگام ساخت چرخدندهها، سرعت زاويه اي چرخدنده خروجي ثابت نخواهد بود.
به اين تفاوت بين سرعت چرخ دنده خروجي در حالت ايده آل و واقعي ، خطاي انتقال گفته مي شود . بنابراين خطاي انتقال عبارت است از اختلاف بين موقعيت زاويه اي چرخدنده خروجي در حالت تئوري و حالت واقعي [٤].
خطاي انتقال مي تواند بر حسب طول نيز بيان شود که در ايـن صورت مقدار خطاي انتقال برابر اسـت بـا مقـدار تغييـر زاويـه ضرب در شعاع دايره مبناي چرخ دنده.
در اين حالت خطاي انتقال در طول خط فشار اندازه گيري معاي ل شو ادي.جاتدغييصرادتا دخطاچريخ داننتدقههلا ابغه لب شمباه ر معنوراوند اوصلهي تگروينن کاهشي در مقدار خطاي انتقال، به همان نسبت در کاهش سروصداي چرخدندهها مؤثر خواهد بود.
محاسبه خطاي انتقال استاتيکي (STE)
در حالت استاتيک، جفت دندانه هاي دو چرخدنده درگير را مي توان همانند يک فنر با سختي K در نظر گرفت که اين فنر بين دو جرم دوار قرار مي گيرد[٢].
K سختي معادل مربوط به يک جفت دندانه درگير مي باشد.
يعني اگر هر يک از دندانه هاي پينيون و چرخ دنده را به صورت يک فنر با سختي درنظر بگيريم ، سختي معادل اين
جفت دندانه به صورت زير خواهد بود :
براي يک جفت چرخ دندهي درگير، صرفنظر از خطاهاي ساخت دندانه ها مي توان روابط زير را براي خطاي انتقال
نوشت :
که STE بيانگرخطاي انتقال در حالت استاتيکي بيانگر نيروي انتقالي توسط جفت دندانه اوّل و دوم، سختي معادل جفت دندانه اوّل و دوم و F/K تغيير مکان جفت دندانه ها در اثر اعمال نيرو مي باشد [٤]. رابطه فوق براي وقتي است که نسبت تماس در دو چرخ دنده درگير کمتر از ٢ بوده و خطاي انتقال فقط ناشي از تغيير مکان دندانه ها در اثر خمش ، برش و فشارهاي تماسي باشد. سختي معادل جفت دندانه ي اوّل و دوم را مي توان از رابطه زير به دست آورد.
که سختي معادل جفت دندانه هاي ١ و ٢ و kp و kg سختي دندانه هاي پينيون و چرخ دنده مي باشد.
لازم به ذکر است که مقادير لزوماً با هم برابر نيستند؛ زيرا مقدار سختي دندانه به محل اعمال نيرو بستگي دارد. براي دندانه يک چرخدنده محرک از لحظه شروع درگيري دندانه تا پايان درگيري، سختي دندانه بطور پيوسته کاهش مي يابد. زيرا نقطه اثر نيروي وارده به دندانه چرخ دنده محرک در لحظه درگيري، نزديک ريشه مي باشد؛ بنابراين طول مؤثر براي محاسبه سختي دندانه کم بوده و در نتيجه مقدار سختي دندانه زياد خواهد بود. با حرکت چرخدنده، طول مؤثر دندانه افزايش يافته و سختي دندانه کاهش خواهد يافت .
لازم به ذکر است که سختي دندانه متناسب با عکس طول مؤثر دندانه مي باشد.
براي محاسبه سختي دندانه ، هر يک از دندانه هاي چرخ دندهها همانند يک تير گوهاي يک سر گيردار در نظر گرفته شدهاند.
با اعمال اين فرض، شکل هندسي دندانه ساده تر شده و به آساني مي توان معادلات تغيير مکان خمشي و برشي را براي دندانه نوشت . تيموشنکو٢ و باود٣، با درنظر گرفتن دندانه چرخ دنده به عنوان يک تير گوهاي يک سر گيردار مطابق شکل (٢)، معادله زير را براي تغيير مکان خمشي و برشي اين تير ارائه کردند [٥]:
که δbs تغيير مکان خمشي و برشي بر حسب in،E مدول الاستيسيته بر حسب Psi،μ ضريب پواسون و b پهناي دندانه بر حسب in مي باشد.
مقدار تغيير مکان دندانه در هنگام درگيري، تنها به رفتار خمشی و برشی دندانه محدود نمیشوند و بایستی تغییر مکان ناشی از فشار های تماسی را نیز در نظر گرفت . تیموشنکو و باود با استفاده از معادله هرتز برای دو استوانه در حال تماس توانستند مقدار تغيير مکان سطح تماس را در اثر فشارهاي تماسی محاسبه نمایند . فرم اصلاح شده اين معادله توسط کالدل به شکل زیر ارائه شد .
در معادله فوق δc تغيير مکان ناشي از فشارهاي تماسي ، C فاصله بين مراکز دو چرخدنده و زاويه فشار است . بنابراين مقدار تغيير مکان هر دندانه مجموع تغيير مکان خمشي برشي و نصف تغيير مکان تماسي خواهد بود:
که δ تغيير مکان کلي يک دندانه مي باشد.
برايtotحالتي که دو جفت دندانه در حال درگيري باشند مقدار Fn براي هر جفت دندانه مجهول مي باشد، بنابراين نمي توان مستقيماً از رابطه فوق مقدار تغيير شکل دندانه را به دست آورد. همان طور که مي دانيم براي يک جفت چرخ دنده درگير، مقدار تغيير شکل هر يک از جفت دندانه ها در هر لحظه با هم درگيري باشند، مجموع تغيير مکان هاي دندانه هاي چرخدنده برابر است . يعني در حالتي که دو جفت دندانه در حال دندانه هاي چرخدنده محرک و متحرک در جفت دوم با هم محرک و متحرک در جفت اوّل با مجموع تغيير مکان هاي برابر است .
که بالا نويس ١ و ٢ بيانگر جفت دندانه اوّل و دوم و زير نويس p و g بيانگر پينيون و چرخ دنده مي باشد. بنابراين طبق رابطه
F=Kδ مي توان نوشت :
که نيروي وارد بر جفت دندانه ١ و ٢ و سختي معادل جفت دندانه هاي ١ و ٢ مي باشد.
براي هر يک از دندانه هاي پينيون و چرخ دنده رابطه بين تغيير شکل و نيرو را مي توان به صورت زير نوشت :
بنابراين با جايگزيني معادله (٧) در معادلات فوق و حذف عبارت نيرو از صورت و مخرج کسر، مقدار k براي هر يک از دندانه ها برابر است با:
بنابراين با محاسبه سختي هر يک از جفت دندانه ها و حل دو معادله زير مي توان نيروي وارده به هر يک از جفت دندانه ها را به دست آورد.
حال با داشتن مقادير مي توان مقدار را به دست آورد که اين مقادير همان خطاي انتقال استاتيکي مي باشد.
براي حالتي که يک جفت دندانه در حال درگيري باشند، مقدار برابر با نيروي کلي وارده به دو چرخ دنده مي باشد.
بنابراين مي توان مستقيماً از رابطه زير مقدار تغيير مکان جفت دندانه را به دست آورد:
مقدار Fn براي يک جفت دندانه درگير برابر است با:
که T گشتاور اعمالي به پينيون، Rp شعاع دايره گام پينيون و φ زاويه ي فشار مي باشد. بنابراين با استفاده از رابطه گفته شده مي توان مقدار STE را در هر لحظه از درگيري محاسبه نمود. توجه داشته باشيد که مقدار STE در هر لحظه مي تواند متفاوت باشد. يعني براي حالتي که دو جفت دندانه با هم کار مي کنند مقدار خطاي انتقال کمتر از حالتي است که يک جفت دندانه در حال درگيري مي باشند. مقدار خطاي انتقال براي يک جفت چرخ دنده در حال کار، براي هر گام دايره اي بطور متناوب تکرار خواهد شد. بنابراين براي محاسبه خطاي انتقال کافي است که مقدار خطا براي يک گام دايره اي تعيين گردد.
شکل (٣)، پروفيل دوبعدي دو چرخ دنده درگير را نشان a آغاز شده و مي دهد. مطابق شکل ، درگيري دندانه ها از نقطه
