بخشی از مقاله
تغيير شكل مجموعه‌هاي خمشي و مفصلي
روش لنگر مساحت
مقدمه:
تغيير شكل تير و سازه‌ها در موارد بسياري مورد لزوم و از اهميت خاصي برخوردار مي‌باشد. به عنوان مثال، در طراحي سازه‌ها، يكي از معيارهاي تعيين كننده، تغيير مكان است، به اين معنا كه تغيير مكان‌هاي الاستيك سازه‌ها، نبايد از تغيير مكان‌هاي مجاز تجاوز نمايد، اگرچه مقاومت در اثرز موارد تعيين كنند است، ليكن گاهي معيار سختي، عامل مهم و تعيين كننده مي‌باشد.
در اين مثال‌ها، تغيير شكل تيرها و سازه‌هاي معين، به علت تاثير بارهاي خارجي، مورد بررسي قرار مي‌گيرد. اين بررسي و مطالعه در محدوده تغيير شكل‌هاي كوچك انجام مي‌شود و در تمام حالات فرض مي‌شود كه مصالح در ناحيه الاستيك قرار دارند و قانون هوك در مورد آنها صادق است. به همين جهت اين نوع تغيير شكل‌ها، به تغيير شكل‌هاي الاستيك معروفند.
روش لنگر مساحت:
براي تعيين تغيير مكان و شيب تيرها، روش‌هاي مختلفي وجود دارد كه هر كدام از آنها، ويژگي خاص خود را دارا مي‌باشد. يكي از اين روش‌ها، روش لنگر مساحت است كه معمولاًٌ در صورتي كه نيروهاي خارجي موثر برتير يكسان نبوده و يا تير از دو جنس مختلف و يا از دو مقطع متفاوت درست شده باشد، يكي از سهل‌ترين و سريعترين روش‌ها براي تعيين شيب و يا تغيير ناگهاني هر نقطه از تير محسوب مي‌شود.
در اين بررسي، ابتدا چگونگي تعيين شيب و تغيير مكان يك نقطه با ترسيم نمودار لنگر خمشي و محاسبه سطح و ممان اين سطح، نسبت به نقاط معين تشريح مي‌گردد و سپس چگونگي تحليل نيروهاي نامعين با اين روش بيان خواهد شد.
نظر به اينكه براي محاسبه شيب و تغيير مكان از سطح زيرمنحني لنگر خمشي استفاده مي‌گردد، بدين جهت اين روش را لنگر مساحت مي‌نامند.
براي اثبات قضاياي مربوط به لنگر مساحت، شكل زير را درنظر مي‌گيريم:
قضيه اول:
تغيير شيب بين دو نقطه A, B يعني اندزه از منحني الاستيك برابر مساحت منحني لنگر خمشي تقسيم بر EI دو نقطه B, A از تير مي‌باشد، يعني:
توجه به اين نكته بسيار ضروري است كه در صورت مثبت بودن لنگر خمشي، علامت مساحت منحني مثبت و در صورا منفي بودن لنگر خمشي، علامت مساحت منحني منفي خواهد بود.
قضيه دوم:
اندازه فاصله BF كه در حقيقيت خط مار بر نقطه B و عمود بر وضع ابتدايي تير از منحني الاستيك نسبت به مماس بر منحني الاستيك در نقطه A مي‌باشد، برابر است با ممان استاتيك مساحت منحني بين دو نقطه A, B نسبت به محوري كه از BF عبور مي‌كند.
اثبات:
با رجوع به شكل (الف ـ 1)، ملاحظه مي‌گردد كه خطوط مماس بر نقطه بي‌نهايت نزديك D, C خط BF را در دو نقطه به فاصله بي‌نهايت كوچك dh قطع مي‌نمايد. مي‌توان نوشت:
حال براي بدست آوردن hBA بايد اثر تمام المان‌هاي از A تا B را بدست آوردن و با هم جمع كرده و يا به عبارت ديگر انتگرال رابطه را بين دو نقطه B, A بدست آورد:
رابطه فوق نشان مي‌دهد كه انحراف نقطه B از منحني الاستيك نسبت به مماس بر منحني الاستيك در نقطه A برابر است با لنگر سطح دياگرام حول محور عمودي كه از نقطه B عبور مي‌كند.
اثبات:
براي اثبات قضيه دوم مي‌دانيم كه رابطه ديفرانسيلي تغيير مكان با ممان خمشي در هر مقطع از تير برابر است با:
كه در آن y مقدار تغيير مكان هر نقطه واقع بر محور طولي و M ممان در همان مقطع از تير مي‌باشد. رابطه فوق را مي‌توان به صورت زير نوشت:
حال مطابق شكل زير، قطعه‌اي به طول dx از تير مورد بحث را درنظر بگيريد كه بعد از خمش به صورت DC درآمده است. اگر مماسي در نقطه C رسم كنيم، زاويه بوجود مي‌آيد كه اين زاويه در حقيقت تغيير زاويه نقطه C نسبت به D در فاصله dx مي‌باشد. با توجه به رابطه بدست آمده، برابر حاصلضرب در اندازه dx و يا مساحت هاشور خورده در شكل بين دو نقطه D.C است.
بنابراين ملاحظه مي‌گردد كه اختلاف شيب بي‌نهايت كوچك برابر سطح بي‌نهايت كوچك هاشورخورده از منحني تقسيم لنگر خمشي بر صلبيت خمشي است، حال براي اينكه مقدار يعني تغيير زاويه در نقطه A را بدست مي‌آوريم. كافي است انتگرال را بين دو نقطه B.A محاسبه كنيم. يعني:
از رابطه فوق ملاحظه مي‌گردد كه تغيير زاويه بين دو مماس از هر دو نقطه مانند B.A روي منحني الاستيك خمشي برابر است با مساحت دياگرام بين دو نقطه B.A (مساحت abcd روي شكل زير).
بنابراين اگر شيب يك نقطه از منحني الاستيك خمشي مشخص باشد، مقدار شيب هر نقطه مانند B از رابطه زير بدست مي‌آيد:
با رجوع به شكل زير، مشاهده مي‌گردد كه مقدار hBA روي خط Bd برابر حاصلضرب مساحت سطح abcd در فاصله مركز ثقل اين سطح تا خط Bd مي‌باشد. hBA انحراف مماسي نقطه B نسبت به نقطه A ناميده مي‌شود.ذ
قاعده علامت‌گذاري
الف) مطابق شكل زير، انحراف نقطه B نسبت به مماس در نقطه A در صورتي مثبت مي‌باشد كه نقطه B بالاي مماس مزبور قرار گرفته باشد، در غير اينصورت منفي است.
ب) مطابق شكل زير، اگر مماس بر نقطه سمت چپ تير (نقطه A) بتواند زاويه حاده را با گردش در جهت مثلثاتي طي كند و بر مماس نقطه سمت راست تير (تير B) منطبق گردد. مثبت و اگر براي انطباق، اين زاويه حاده با گردش در جهت عقربه‌هاي ساعت طي شود، منفي خواهد بود.
نمونه سوال
سوال 1) با استفاده ازقضاياي لنگر مساحت تغيير مكان نقاط c, b و همچنين شيب در نقطه b را در تير يك سر گيردار بدست آوريد (EI ثابت است).
سوال 2) با استفاده از قضاياي لنگر مساحت، تغيير مكان نقطه b و شيب در نقطه a از تير ساده دو سر مفصل را بدست آوريد (EI=const).
سوال 3) با استفاده از قضاياي لنگر مساحت تغيير مكان ماكزيمم تير دو سر مفصل را بدست آوريد.
سوال 4) با استفاده از قضاياي لنگر مساحت، تغيير مكان وسط دهانه (تغيير مكان max) و شيب در نقطه B از تير دو سر مفصل را بدست آوريد (EI=const).
سوال 5) با استفاده از قضيه دوم لنگر، مساحت تغيير مكان نقطه A از تير شكل را بدست آوريد.
سوال 6) با استفاده از قضيه دوم لنگر مساحت، تغيير مكان نقطه A از تير شكل را بدست آوريد. صلبيت خمشي EI در طول تير تغيير مي‌كند.
سوال 7) با استفاده از قضيه دو سر لنگر مساحت، تغيير مكان نقطه A از تير شكل را بدست آوريد (صلبيت خمشي EI ثابت است).
سوال 8) با استفاده از قضيه دوم لنگر مساحت، تغيير مكان A از تير شكل را بدست آوريد (EI=const).
حالت دوم: محاسبه
سوال 9) با استفاده از قضيه دوم لنگر مساحت، تغيير مكان نقطه B را از تير شكل بدست آوريد.
سوال 10) با استفاده از قضيه دوم لنگر مساحت در مثال شماره 9، تغيير مكان نقطه D را بدست آوريد.
سوال 11) با استفاده از قضيه دوم لنگر مساحت، تغيير مكان نقطه C از تير مقابل را بدست آوريد.
سوال 12) با استفاده از قضيه هر دو لنگر مساحت، تغيير مكان نقطه C از سازه شكل مقابل را كه متشكل از تير AC و خرپاي AD با سطح مقطع A بوده و تحت تاثير بار متمركز P در نقطه C قرار گرفته‌است را بدست آوريد. EI در طول تير AC ثابت است.
