whatsapp call admin

مقاله در مورد رادیکال زیر مدول ها

word قابل ویرایش
77 صفحه
12700 تومان
127,000 ریال – خرید و دانلود

چکیده:
در این پایان نامه همه حلقه ها یکدار و جابجائی و همه مدول ها یکانی هستند این پایان نامه شامل یک مقدمه و هفت فصل است. فصل اول شامل هدف، پیشینه تحقیق و روش کار می باشد. فصل دوم شامل تعاریف و قضایای مقدماتی است. فصل سوم شامل خواص اساسی زیر مدول های اول است. فصل چهارم شامل خواص –M رادیکالها است هدف عمده فصل پنجم برهان قضیه زیر می باشد.

قضیه ۱: فرض کنیم R یک حلقه باشد. آن گاه R در فرمول رادیکال صدق می کند در صورتی که یکی از شرایط زیر برقرار باشد.
الف) برای هر -R مدول آزاد F,F در فرمول رادیکال صدق کند.
ب) برای هر مدول A، .
ج) R تصویر همومرفیسم S است که S در فرمول رادیکال صدق می کند.
د) برای هر R- مدول A faithful، A در فرمول رادیکال صدق کند.
در فصل ششم R یک دامنه ایده آل اصلی است و A مدول آزاد Rn در نظر گرفته شده است. و هدف عمده فصل ششم و هفتم برهان قضیه زیر می باشد.
قضیه ۲: فرض کنیم R یک دامنه ایده آل اصلی و P, A=Rn زیر مدولی از A باشد. آن گاه عبارات زیر هم ارزند.
الف: P جمعوند مستقیم A اس

ت.
ب: P بسته است.
ج: اگر آن گاه P اول است و dim P<n .

مقدمه:
در سال ۱۹۹۱ R.L.McCasland و M.E.Moore مقاله ای تحت عنوان رادیکال های زیر مدول ها نوشتند این پایان نامه شرحی است بر مقاله فوق.

فصل اول این پایان نامه شامل هدف و پیشینه تحقیق می باشد. فصل دوم شامل تعاریف و قضایای مقدماتی است. فصل سوم خواص زیر مدول های اول می باشد. فصل چهارم شامل خواص -M رادیکال ها می باشد.
فصل پنجم با تعریف مفاهیم پوش یک زیر مدول یا E(B) و M-radB شروع شده است. و ارتباط بین زیر مدول های تولید شده توسط آنها با رادیکال زیر مدول ها بررسی شده و همچنین شرایط هم ارزی که یک حلقه می تواند در فرمول رادیکال صدق کند بررسی شده است.
در فصل ششم حلقه R یک حلقه PID و مدول A نیز مدول آزاد Rn در نظر گرفته شده است و نشان می دهیم اگر B زیر مدول A باشد آن گاه اگر و تنها اگر dim B=dim A و در فصل هفتم با تعریف مدول های بسته نشان داده می شود که اگ

ر R دامنه ایده آل اصلی و P , A=Rn زیر مدول A باشد آن گاه شرایط زیر هم ارزند.
۱) P جمعوند مستقیم A است. ۲) P بسته است. ۳) اگر باشد آن گاه P اول است و dim P<n .

فصل اول:
هدف، پیشینه تحقیق و روش کار

هدف:
بررسی خواص اساسی از زیر مدول های اول و خواص -M رادیکالها و هدف نهایی بررسی مفاهیم پوش یک زیر مدول و برهان قضیه ۱ و ۲ گفته شده در مقدمه و چکیده پایان نامه می باشد.

پیشینه تحقیق و روش کار:
برای گردآوری این پایان نامه از ژورنالهای مختلف ریاضی در گرایش جبر موجود در کتابخانه های معتبر مانند IPM استفاده شده است و هنوز در هیچ کتاب درسی در سطح کارشناسی ارشد و دکترا مفاهیم فوق نوشته و بررسی نشده است.

فصل دوم:
تعاریف و قضایای مقدماتی

تعریف(۱-۲): مجموعه R همراه با دو عمل دوتائی + و . را یک حلقه گوئیم اگر،
الف) (R , +) یک گروه آبلی باشد.
ب) به ازاء R a,b,c ، a(b c) = (a b)c
ج) به ازاء هر R a,b,c

(قانون توزیع پذیری چپ) a(b+c) = ab+ac
(قانون توزیع پذیری راست) (b+c) a= ba+ca
تعریف(۲-۲): حلقه R را تعویض پذیر(یا جابجائی) گوئیم هر گاه:

تعریف(۳-۲): اگر حلقه R نسبت به عمل ضرب دارای عضو همانی باشد آنگاه این عضو را با ۱R، یا به طور ساده با ۱، نمایش می دهیم و آن را یکه R می نامیم
تذکر: در سراسر پایان نامه R حلقه جابجایی و یکدار فرض می شود.
تذکر: اگر R حلقه ای یکدار بوده و به ازاء هر داشته باشیم ab=ba=1 آنگاه a را یک واحد(یا عضو وارون پذیری) می نامیم.
تعریف(۴-۲): گوئیم حلقه R بدون مقسوم علیه صفر است هر گاه:

یا
تعریف(۵-۲): هر حلقه جابجائی، یکدار و بدون مقسوم علیه صفر را دامنه صحیح می نامیم.
تعریف(۶-۲): زیر مجموعه S از حلقه R یک زیر حلقه R است اگر:

تعریف(۷-۲): زیر حلقه I از R را ایده آل R نامیم هر گاه:

تعریف(۸-۲): ایده آل I از حلقه R را، ایده آل سره نامند هر گاه: و می نویسیم :
تعریف(۹-۲): ایده آل P از حلقه R را ایده آل اول نامند هر گاه:
یا
تعریف(۱۰-۲): اگر I یک ایده آل از حلقه R باشد آنگاه:
را حلقه خارج قسمتی R بر I نامند.
تذکر: اگر R جابجائی و یکدار باشد آنگاه نیز جابجائی و یکدار است.
لم(۱۱-۲): فرض کنید P ایده آل حلقه R باشد آنگاه:
P ایده آل اول است اگر و تنها اگر دامنه صحیح باشد.

تعریف(۱۲-۲): دامنه صحیح D را دامنه ددکنید نامند هر گاه هر ایده آل آن به صورت حاصل ضرب، ایده آلهای اول باشد.
تعریف(۱۳-۲): ایده آل سره M از حلقه R را ایده آل ماکزیمال نامند هر گاه M داخل هیچ ایده آل سره از R قرار نگیرد.
تعریف(۱۴-۲): فرض کنیم R حلقه جابجائی و یکدار باشد. در این صورت R را یک میدان نامیم هر گاه هر عضو ناصفر آن دارای وارون ضربی باشد.
لم(۱۵-۲): فرض کنیم R حلقه و M ایده آلی از حلقه R باشد آنگاه:
M یک ایده آل ماکزیمال R است اگر و تنها اگر میدان باشد.

تعریف(۱۶-۲): فرض کنیم X زیر مجموعه ای از حلقه R باشد. فرض کنیم خانواده همه
ایده آلهای R شامل X باشد. آنگاه را ایده آل تولید شده توسط X نامیده و با علامت(X) نمایش
می دهند.
تذکر: علامت X مولدهای ایده آل(X) نامیده می شود.
اگر در این صورت گویند(X) یک ایده آل متناهیا تولید شده است.
تذکر: در حالت خاص وقتی که X={a} باشد داریم:

تعریف(۱۷-۲): حلقه R را یک حوزه ایده آل اصلی نامیم هر گاه R حوزه صحیح باشد و هر ایده آل آن توسط یک عضو تولید شود.
تعریف(۱۸-۲): در حلقه R، گوئیم عنصر b,a را می شمارد و می نویسیم a | b هر گاه:

تعریف(۱۹-۲): عنصر p را در حلقه R اول گوییم هر گاه:
یا
تعریف(۲۰-۲): حلقه R را حوزه تجزیه یکتا گویند هر گاه R حوزه صحیح باشد و هر عضو آن را بتوان به صورت حاصلضرب متناهی و منحصر بفرد از عناصر اول نوشت.
تعریف(۲۱-۲): ایده آل P از حلقه R را یک ایده آل اولیه نامیم هر گاه اولا و ثانیا

تعریف(۲۲-۲): فرض کنیم I ایده آل حلقه R باشد. رادیکال ایده آل I را به صورت نمایش می دهند و عبارت است از:

لم(۲۳-۲): اگر R یک حلقه و I ایده آلی از حلقه R باشد در اینصورت که در آن P ایده آل اول حلقه R و شامل I است.
لم(۲۴-۲): اگر P یک ایده آل اولیه باشد آنگاه رادیکال P یک ایده آل اول است.
تعریف(۲۵-۲): فرض کنیم Q یک ایده آل اولیه باشد و داشته باشیم ، آنگاه گوئیم Q یک ایده آل -P اولیه است.
مثال(۲۶-۲): در حلقه Z از اعداد صحیح به ازاء هر عدد اول p ایده آل تولید شده توسط p که آن را به صورت(p) نمایش می دهیم یک ایده آل اول است.

مثال(۲۷-۲): ایده آلهای (p4) , (p3) , (p2) و … و ایده آلهای اولیه هستند زیرا:

پس (pn) یک -(p) اولیه است.
تعریف(۲۸-۲): عنصر a در حلقه R را خودتوان گوئیم هر گاه a2=a.
تعریف(۲۹-۲): ایده آل I از حلقه R را ایده آل رادیکال نامند هر گاه .
تعریف(۳۰-۲): فرض کنیم R’ . R دو حلقه باشند نگاشت را یک همومورفیسم حلقه نامند هر گاه:

تذکر: اگر f پوشا نیز باشد یک اپی مرفیسم و اگر f یک به یک باشد آنگاه f یک منومورفیسم نامیده
می شود.
تعریف(۳۱-۲): اگر f اپی مرفیسم و منومرفیسم باشد آنگاه f یک ایزومرفیسم نامیده می شود.
تعریف(۳۲-۲): فرض کنیم R یک حلقه یکدار و M گروهی آبلی باشد. اگر تابعی مانند
موجود باشد به قسمی که در شرایط زیر صدق کند گوئیم M یک -R مدول چپ است.

تذکر: -R مدول راست مشابها تعریف شود.
تعریف(۳۳-۲): فرض کنیم M یک -R مدول، و N زیر مجموعه غیر تهی از M باشد در اینصورت گوئیم N زیر مدول M است و می نویسیم هر گاه:


تعریف(۳۴-۲): منظور از زیر مدول تولید شده توسط m از -R مدول M، مجموعه ای به صورت زیر است:

تعریف(۳۵-۲): فرض کنیم P یک زیر مدول از -R مدول M باشد. گوئیم P زیر مدول سره M است هر گاه باشد.
تعریف(۳۶-۲): فرض کنیم R یک حلقه و F یک -R مدول باشد. در اینصورت گوئیم F یک -R مدول آزاد است هر گاه خانواده از عناصر F موجود باشد به قسمی که هر عضو F را بتوان به صورت منحصر به فرد از ترکیبات خطی این عناصر نوشت. بعبارت دیگر:

تعریف(۳۷-۲): فرض کنیم M و N دو R مدول باشند. در اینصورت نگاشت f از M به توی N را یک همریختی R- مدولی بین M و N نامید هر گاه شرایط زیر برقرار باشد:

تعریف(۳۸-۲): اگر یک همریختی -R مدولهای M و N باشد منظور از هسته f و تصویر f مجموعه هایی به شکل زیر هستند:

لم(۳۹-۲): اگر یک همزیختی -R مدولی باشد در اینصورت Kerf , Imf به ترتیب زیر مدولهای N و M هستند.
قضیه(۴۰-۲): فرض کنیم یک همریختی -R مدولی باشد و فرض کنیم A زیر مدول M و B زیر مدول N باشد. در اینصورت f(A) و f-1(B) به ترتیب زیر مدولهای N و M هستند و بالاخره:

قضیه(۴۱-۲): اگر یک اپی مرفیسم باشد در اینصورت تناظری یک به یک بین زیر مدولهای A از M که شامل Kerf هستند و زیر مدولهای B از N برقرار است و این تناظر، حافظ جزئیت است یعنی:

تعریف(۴۲-۲): فرض کنیم A یک -R مدول و P زیر مدول آن باشد. گوییم P زیر مدول اول A است هر گاه باشد و برای و از بتوانیم نتیجه بگیریم که .
تعریف(۴۳-۲): زیر مدول N از -R مدول M را اولیه نامند هر گاه:
۱) N زیر مدول سره M باشد.
۲) یا
تعریف(۴۴-۲): فرض کنیم R یک حلقه و B یک -R مدول باشد. در اینصورت پوچساز B مجموعه ای به صورت زیر می باشد:

تعریف(۴۵-۲): -R مدول M را تابدار گویند هر گاه برای هر عضو مخالف صفر M مثل .
تعریف(۴۶-۲): -R مدول M را بدون تاب گوئیم هر گاه برای هر و برای هر ، اگر داشته باشیم rm=0 بتوان نتیجه گرفت که r=0 یا m=0 .
تعریف(۴۷-۲): -R مدول M را متناهیا تولید شده گویند هر گاه اعضاء در M موجود باشد به طوریکه هر عضو M را بتوان به صورت ترکیب خطی از این عناصر با ضرایب در R نوشت.
تعریف(۴۸-۲): فرض کنیم R حلقه و M یک -R مدول باشد. در اینصورت گوئیم M در شرط زنجیری صعودی(A.C.C) برای زیر مدولهایش صدق می کند هر گاه هر زنجیر صعودی از زیر مدولهایش ایستا باشد. یعنی برای هر زنجیر صعودی به صورت زیر:

ی موجود باشد بطوریکه برای هر k که داشته باشیم Mn=Mk .
تعریف(۴۹-۲): حلقه R را یک حلقه نوتری می گوئیم هر گاه هر زنجیر صعودی از ایده آل هایش ایستا باشد یعنی اگر:

یک زنجیر صعودی دلخواه از ایده آلهای R باشد آنگاه موجود باشد، به طوریکه برای هر داشته باشیم:
تعریف(۵۰-۲): حلقه R را آرتینی می گوئیم هر گاه هر زنجیر نزولی از ایده آل هایش ایستا باشد یعنی اگر

یک زنجیر نزولی دلخواه از ایده آلهای R باشد آنگاه موجود باشد، به طوریکه برای هر داشته باشیم:
Ak=An
تعریف(۵۱-۲): فرض کنیم R یک حلقه و یک خانواده از -R مدولها باشد و {fi} یک خانواده از همریختی های -R مدولی بین Mi و Mi-1 باشد. در اینصورت رشته:

را دقیق گویند هر گاه Imfi+1=kerfi .
تعریف(۵۲-۲): -R مدول P را تصویری گویند هر گاه برای هر رشته دقیق مثل و هر همومرفیسم یک همریختی بین P و A مثل موجود باشد به قسمی .
تعریف(۵۳-۲): -R مدول M را ضربی گویند هر گاه برای هر زیر مدول N از M یک ایده آل از حلقه R مانند I موجود باشد بطوریکه N=IM.
تعریف(۵۴-۲): -R مدول M را یکانی گویند هر گاه برای هر داشته باشیم: .
تعریف(۵۵-۲): فرض کنیم M یک -R مدول و N زیر مدول M باشد. در اینصورت گویند N جمعوند مستقیم M است هر گاه زیر مدول N’ از M موجود باشد به قسمتی که:

تعریف(۵۶-۲): -R مدول M را صادق گویند هر گاه AnnM=0.
تعریف(۵۷-۲): فرض کنیم R حلقه جابجائی و I ایده آل R باشد. یک تجزیه اولیه برای I بصورت است بطوریکه Qiها، -Pi اولیه باشند. این تجزیه را تجزیه اولیه کاهش یافته نامیم هر گاه شرایط زیر برقرار باشد:
۱) P1، ……..، Pn، n ایده آل اول متمایز R باشند.
۲) به ازاء هر j=1,2,…..,n داشته باشیم .
قضیه(۵۸-۲): فرض کنیم R حلقه جابجائی و یکدار بوده و B یک -R مدول باشد که در شرط A.C.C روی زیر مدولهایش صدق می کند. در این صورت هر زیر مدول A از B، یک تجزیه اولیه کاهش یافته دارد.
لم(۵۹-۲): فرض کنیم R حلقه جابجائی و یکدار و B یک -R مدول باشد در این صورت اگر زیر مدول C از B دارای تجزیه اولیه باشد آنگاه C دارای تجزیه اولیه کاهش یافته است.
لم(۶۰-۲): هر -R مدول تصویر همریخت یک -R مدول آزاد است.
برهان: فرض کنیم M یک -R مدول باشد و عناصر M را توسط مجموعه ، اندیس گذاری کرده و بدین ترتیب FM که مجموعه ای به صورت زیر است به عنوان یک -R مدول آزاد در نظر گرفته می شود.

پس هر عضو FM به صورت می باشد که در آن و . اکنون تابع را با ضابطه زیر تعریف می کنیم:

به وضوح خوش تعریف و همریختی پوشا از FM به M می باشد.
لم(۶۱-۲)(قانون مدولی ددکیند): فرض کنیم A و B و C زیر مدولهایی از -R مدول M بوده و فرض کنیم باشد. در این صورت داریم:

برهان: ابتدا فرض کنیم در این صورت و .
چون است لذا و موجود است به قسمی که x=b+c. از آنجاییکه است لذا . اما و و A یک زیر مدول است لذا است لذا و می باشد. پس است یعنی .
برعکس: فرض کنیم باشد لذا و موجود است به قسمی که x=b+c اما و از طرفی لذا می باشد. پس و لذا .
تعریف(۶۲-۲): را یک مجموعه مرتب جزئی می گوئیم هر گاه سه خاصیت زیر برقرار باشد:

تعریف(۶۳-۲): فرض کنیم یک مجموعه مرتب جزئی باشد و یک زیر مجموعه در اینصورت عضو u از را یک کران بالا برای می گویند اگر برای هر ، داشته باشیم .
تعریف(۶۴-۲): رابطه روی را مرتب کلی می گوئیم اگر مرتب جزئی باشد و برای هر x و y که در قرار دارند همواره یا .
لم زرن(۶۵-۲): فرض کنیم یک مجموعه مرتب جزیی و با ترتیب کلی باشد( دلخواه است)، در این صورت اگر دارای کران بالا در باشد آنگاه دارای عضو ماکزیمال است.
تعریف(۶۶-۲): یک -R مدول ساده است هر گاه تنها زیر مدول های M، M,{0} باشند، N زیر مدول ماکزیمال M است اگر و تنها اگر یک -R مدول ساده باشد.
تعریف(۶۷-۲): فرض کنیم M یک -R مدول و N زیر مدول M باشد. مجموعه از R را با (N:M) نمایش می دهیم که در حالت خاص اگر N=0 آن گاه را نابود ساز M می نامیم و آن را با نمایش می دهیم.
لم(۶۸-۲): (N:M) ایده آلی روی R است.
تعریف(۶۹-۲): فرض کنیم M یک R- مدول بوده و P ایده آل اول R باشد P را وابسته به M گوئیم هر گاه وجود داشته باشد و به طوری که . مجموعه همه ایده آلهای اول وابسته به M را با AssR(M) نمایش می دهیم.

فصل سوم:
خواص اساسی از زیر مدولهای اول

خواص اساسی از زیر مدولهای اول
(۱-۳) تعریف: فرض کنیم R یک حلقه و M یک -R مدول باشد. زیر مدول حقیقی N از -R مدول M را اول یا(-P اول) گوییم هر گاه برای هر r از R و برای هر m از M که داشته باشیم:
یا . به سادگی دیده می شود که P=(N:M) یک ایده آل اول است.
(۲-۳) تعریف: فرض کنیم M یک -R مدول و N زیر مدول M باشد. N را جمعوند مستقیم M گوییم هر گاه برای بعضی زیر مدول N’ از M .
(3-3) تعریف: فرض کنیم A یک دامنه صحیح و M یک -A مدول باشد. یک عضو را عضو تابدار گوییم اگر یعنی توسط عناصر غیرصفر A خنثی می شود. عضوهای تابدار M تشکیل زیر مدول از M می دهند. این زیر مدول که زیر مدول تابدار نام دارد با T(M) نشان داده می شود.
(۴-۳) تعریف: اگر T(M)=0 مدول M را مدول فارغ از تاب می نامیم.
(۵-۳) مثال: هر جمعوند مستقیم از یک مدول فارغ از تاب اول است. به ویژه هر زیر فضای حقیقی از یک فضای برداری اول است.
برهان: فرض کنیم M مدولی فارغ از تاب و N یک جمعوند مستقیم آن باشد لذا داریم: (K زیر مدول دلخواه M)
در نتیجه . فرض کنیم نتیجه می گیریم . از آنجایی که و متعلق به N هستند پس نیز متعلق به N می شود. همچنین پس . لذا
پس در نتیجه یعنی نتیجه می گیریم فرض کنیم . داریم لذا . M مدول فارغ از تاب است، پس .
لذا پس . لذا N زیر مدول اول است. به ویژه چون هر فضای برداری یک مدول فارغ از تاب است و هر زیر فضای آن نیز جمعوند مستقیم است پس هر زیر فضای یک فضای برداری اول است.
(۶-۳) تعریف: فرض کنیم M یک -R مدول باشد، زیر مدول N از M را محض گوییم هر گاه به ازای هر ، .
(۷-۳) نتیجه: زیر مدول حقیقی N از -R مدول فارغ از تاب M، محض است اگر و تنها اگر N اول باشد و N:M={0}.
برهان: فرض کنیم M یک -R مدول فارغ از تاب باشد لذا T(M)=0 و N زیر مدول حقیقی M باشد که محض است. پس داریم به ازای هر . نشان می دهیم N اول است. فرض کنیم و لذا پس
لذا
برای بعضی nهای متعلق به N

M مدول فارغ از تاب است پس r=0 لذا پس N زیر مدول اول است. حال نشان می دهیم N:M={0}. فرض کنیم متعلق به N:M باشد، آنگاه لذا . از طرفی پس rN=rM فرض کنیم لذا وجود دارد nای متعلق به N که rm=rn در نتیجه r(m-n)=0 و و M مدول فارغ از تاب است پس m-n=0 در نتیجه m=n پس ، از طرفی پس N=M که به تناقض می رسیم زیرا N زیر مدول حقیقی M است این تناقض ناشی از فرض نادرست پس N:M={0}.
برعکس: فرض می کنیم N زیر مدول حقیقی از -R مدول فارغ از تاب M باشد و N اول باشد و N:M={0}. نشان می دهیم N زیر مدول محض است یعنی به ازای هر داریم اگر r=0 حکم برقرار است. فرض کنیم باشد. در نظر می گیریم در نتیجه وجود دارد mای متعلق به M به طوری که x=rm همچنین . لذا ، N زیر مدول اول است لذا یا . چون لذا پس
یعنی .
حال فرض کنیم لذا وجود دارد n ای متعلق به N که x=r n و پس زیر مدول است بنابر تعریف(۳۳-۲) لذا پس . از I و II نتیجه می شود یعنی N زیر مدول محض M است.
(۸-۳) مثال: زیر مدول تابدار T(M) از مدول M روی یک دامنه صحیح اول است اگر .
برهان: . پس T(M) زیر مدول حقیقی M است. حال فرض کنیم و عضوهایی از M را در بر دارد که پوچساز آنها غیرصفر باشد لذا . پس وجود دارد ای متعلق به R که a(re)=0 پس (ar)e=0 و چون لذا Ann(e)=0 پس داریم ar=0

 

( دامنه صحیح) پس داریم r=0 لذا یعنی T(M) اول است.
(۹-۳) مثال: فرض کنیم B ابر حلقه، حلقه A باشد یعنی . در این صورت
برهان: چون ، پس B می تواند یک -A مدول باشد(بنا به تعریف(۳۲-۲) و چون P ایده ال اول B است لذا P زیر مجموعه حقیقی B است(بنا به تعریف(۹-۲)
داریم {به ازای هر }= P:AB
فرض کنیم
(P ایده ال اول) به ازای هر ، ، و(بنا به تعریف(۷-۱))

حال فرض کنیم
(P ایده ال اول B)
به ازای هر

(۱۰-۳) تعریف: مجموعه شامل همه مقسوم علیه های صفر روی M را با ZR(M) نمایش می دهیم. به عبارت دیگر داریم:
{ وجود داشته باشد متعلق به M که
(۱۱-۳) مثال: {۰} زیر مدول اول از -R مدول M است اگر و تنها اگر AnnR(M)=ZR(M).
برهان: فرض کنیم {۰} زیر مدول اول از -R مدول M باشد نشان می دهیم AnnR(M)=ZR(M). قبل از اینکه حکم را ثابت کنیم نکته ای را بیان می کنیم:
نکته: اگر N زیر مدولی از -R مدول M باشد داریم N:RM=AnnR(M/N)
برهان: داریم

فرض کنیم لذا داریم r(M/N)=0M/N پس r(m+N)=0 به ازای هر .
پس به ازای هر لذا پس به همین ترتیب لذا AnnR(M/N)=N:RM حال به اثبات مثال می پردازیم.
فرض کنیم پس rM=0 یعنی rm=0 به ازای هر . {۰} زیر مدول اول M است پس {۰} زیر مدول حقیقی M است، لذا وجود دارد متعلق به M که rm0=0 پس لذا حال فرض کنیم پس وجود دارد متعلق به M که {۰}.rm=0 زیر مدول اول و پس از طرفی بنا بر نکته گفته شده
(۰):M=AnnR(M) پس یعنی

پس طبق I و II داریم
AnnR(M)=ZR(M)
برعکس: فرض کنیم AnnR(M)=ZR(M). ثابت می کنیم {۰} زیر مدول اول است. زیرا اگر M={0} آن گاه ZR(M)={ } و AnnR(M)=R و
در حالی که طبق فرض داریم R=AnnR(M)=ZR(M)={ }. پس حتما {۰} زیر مدول حقیقی M است. حال فرض کنیم
یعنی لذا پس . پس {۰} زیر مدول اول -R مدول M است.
(۱۲-۳) گزاره: a) فرض کنیم N زیر مدول اولیه از -R مدول M باشد آنگاه N اول است اگر و تنها اگر N:M ایده ال اول R باشد.
b) اگر k زیر مدول -P اولیه از M باشد که شامل یک زیر مدول -P اول است آنگاه k نیز -P اول است.
برهان: (a)- فرض کنیم N زیر مدول اول -R مدول M باشد، ثابت می کنیم N:M ایده ال اول است. را در نظر می گیریم که . پس به ازای هر . فرض کنیم ، لذا وجود دارد که پس لذا و N اول است پس یا ولی ما فرض کردیم پس
و N اول است پس یا ولی زیرا اگر باشد چون N زیر مدول M است می شود که با (*) تناقض دارد. لذا حتما . پس N:M ایده ال اول حلقه R است.
برعکس: فرض کنیم N زیر مدول اولیه باشد و N:M ایده ال اول R باشد. نشان می دهیم N زیر مدول اول است. در نظر می گیریم ، چون N اولیه است وجود دارد عدد صحیح مثبتی چون k که یعنی که به ازای هر لذا ایده ال اول است پس لذا N زیر مدول اول است.
b) K زیر مدول -P اولیه از M و شامل زیر مدول -P اول است.

فرض کنید که در آن . در این صورت عدد صحیح و مثبت مانند m وجود دارد بطوریکه یعنی . بنابراین . اما نتیجه می دهد و بنابراین . بطور خلاصه و نتیجه می دهد و لذا K یک زیر مدول اول از M است بنابراین K:M=Rad(K:M)=P، یعنی K یک زیر مدول -P اول از M است.
(۱۳-۳) تعریف: فرض کنیم R یک حلقه باشد. اگر به ازای هر وجود داشته باشد xی متعلق به R به طوری که axa=a آنگاه حلقه R را مطلقا مسطح می گوییم.
(۱۴-۳) تذکر: بنا به آنچه در [۷] صفحه ۱۶۹، تمرین ۱۲ آمده است هر ایده ال اولیه از یک حلقه مطلقا مسطح اول است.
(۱۵-۳) نتیجه: اگر M یک مدول روی حلقه مطلقا مسطح R باشد آن گاه هر زیر مدول اولیه از M اول است.

برهان: N زیر مدول اولیه M است و حلقه R، مطلقا مسطح است لذا بنا بر تذکر(۱۴-۳) N:M ایده ال اول است.
فرض کنیم چون N اولیه است، وجود دارد عدد صحیح مثبتی چون k به طوری که لذا به ازای هر پس و N:M ایده ال اول است پس لذا N زیر مدول اول است.
(۱۶-۳) قضیه: فرض کنید N زیر مدول حقیقی از -R مدول M باشد و N:M=P. آن گاه احکام زیر معادلند:
a) N یک زیر مدول اول از M است.
b) M/N یک –R/P مدول فارغ از تاب است.
c) N:M(r)=N به ازای هر r متعلق به R-P.
d) N:MJ=N به ازای هر ایده ال J زیر مجموعه P نباشد.
e) N:R(e)=P به ازای هر e متعلق به M-N.
f) N:RL=P به ازای هر زیر مدول L از M که به طور حقیقی شامل N .
g) Ass(M/N)={P}.
h) P=ZR(M/N).
برهان:
زیر مدول حقیقی M و P=N:M و N زیر مدول اول است. نشان می دهیم M/N یک –R/P مدول است.

زیرا لذا به ازای هر i.
حال نشان می دهیم M/N مدول فارغ از تاب است. فرض کنیم در نتیجه پس وجود دارد به طوری که

و چون و N اول است پس . بنابراین r+P=P در نتیجه AnnR/P(m+N)=0 لذا مدول M/N یک، -R/P مدول فارغ از تاب است.
.
فرض کنیم M/N یک –R/P مدول فارغ از تاب است یعنی T(M/N)=0 نشان می دهیم N:M(r)=N به ازای هر r متعلق به R-P.

چون پس که P=0R/P داریم.

اما بنا بر فرض خلف و M/N فارغ از تاب است.
AnnR/P(m+N)=0
بنابراین r+P=P یعنی که یک تناقض است لذا
.
فرض کنیم J یک ایده ال از حلقه R باشد بطوریکه لذا عضوی مانند موجود است. اکنون . فرض کنید یعنی و به ویژه و لذا اما و لذا بنابر بنابراین در نتیجه .
.
داریم N:MJ=N به ازای هر نشان می دهیم N:R(e)=P به ازای هر . فرض کنیم یعنی به ازای هر لذا . چون پس به ازای هر j پس به ازای هر j. لذا در نتیجه یعنی
حال فرض کنیم در نتیجه . طبق فرض در نتیجه لذا لذا وجود دارد jای به طوری که از طرفی)
(e پس یعنی به ازای هر j لذا به ازای j=1 داریم . چون حلقه R جابجایی است لذا در نتیجه و و … یعنی به ازای هر j که با (*۱) تناقض دارد. این تناقض ناشی از فرض نادرست است لذا یعنی

فرض زیر مدول M باشد، وجود دارد پس بنا بر فرض اکنون

بنابراین N:L=P

فرض کنیم به ازای هر زیر مدول L از M به طور حقیقی شامل N، N:RL=p نشان می دهیم N زیر مدول اول است.

زیر اگر داریم لذا پس یعنی لذا به همین ترتیب عکس این مطلب نیز درست است و لذا (*) برقرار است.
از طرفی N:N=R پس لذا
N زیر مدول اول است ما باید دو مطلب را ثابت کنیم.
ابتدا اینکه P یک ایده ال اول حلقه R است و دوم اینکه Ass(M/N)={P} قبلا از اثبات شده است لذا P ایده ال اول حلقه R است. اکنون فرض کنیم . در اینصورت

از طرف دیگر چون پس و بنابر فرض

بنابراین و لذا Ass(M/N)=P .
.
فرض کنیم Ass(M/N)={P}، نشان می دهیم P=ZR(M/N). از فرض نتیجه می شود وجود دارد به طوری که AnnR(x)=P.

و زیرا اگر m+N=N آن گاه AnnR(x)=R=P یعنی N:RM=R لذا N=M که مخالف فرض گزاره است.
پس لذا پس حال فرض کنیم لذا وجود دارد طوری که لذا و چون Ass(M/N)={P} لذا لذا .
.
.
فرض کنیم P=ZR(M/N)=
{وجود داشته باشد که } نشان می دهیم N زیر مدول اول است.

لذا پس N زیر مدول اول است.
(۱۷-۳) گزاره: اگر N یک زیر مدول از -R مدول M بوده و P=N:M یک ایده ال ماکزیمال R باشد. آن گاه N زیر مدول اول است. بویژه m M یک زیر مدول اول از –R مدول M است، برای هر ایده ال ماکزیمال m از R به طوری که .
برهان: فرض کنیم N:M=P یک ایده ال ماکزیمال R باشد، لذا R/P یک میدان است و M/N یک –R/P مدول است زیرا:

لذا M/N به عنوان یک فضای برداری روی میدان R/P می تواند در نظر گرفته شود. همچنین M/N یک –R/P مدول فارغ از تاب است زیرا
وجود دارد به طوری که (r+P) (m+N)=0M/N
طبق خواص فضای برداری m+N=0 لذا یعنی T(M/N)=N=0M/N لذا بنابر قضیه(۱۶-۳)، N زیر مدول اول است.
تذکر: N زیر مدول حقیقی M است زیرا اگر N=M آن گاه P=N:M=R که با ماکزیمال بودن P در تناقض است.
حالت خاص: فرض کنیم m یک ایده ال ماکزیمال R باشد. آن گاه mM یک زیر مدول اول M است اگر باشد، طبق فرض داریم mM زیر مدول حقیقی M است.
{ به ازای هر m’ متعلق به به ازای هر

( زیرا اگر mM:M=R آن گاه R M=mM و R حلقه یکدار است لذا M=mM که با فرض در تناقض است) ولی m ایده ال ماکزیمال حلقه R است پس از رابطه(*) نتیجه می شود m=mM:M=P و چون m ایده ال ماکزیمال است لذا P، هم ماکزیمال می شود پس بنا به قسمت اول گزاره mM زیر مدول اول است.
(۱۸-۳) نکته: در [۴]، صفحه ۲۰۰ و گزاره ۹ آمده است اگر M یک –R مدول نوتری و m یک ایده ال ماکزیمال باشد آن گاه زیر مدول حقیقی از M یک زیر مدول –m اولیه است اگر و تنها اگر برای بعضی kهای صحیح مثبت. حال گزاره ای را بیان می کنیم که نتیجه(۱۷-۳) می باشد و مشابه گزاره ۹، صفحه ۲۰۰ در [۴] است.
(۱۹-۳) گزاره: فرض کنیم N زیر مدول حقیقی از –R مدول M باشد و فرض کنیم m ایده ال ماکزیمال R باشد، در اینصورت N، -m اول است اگر و تنها اگر . در نتیجه اگر N یک زیر مدول –m اول باشد، آن گاه هر زیر مدول حقیقی M شامل N نیز –m اول است.
برهان: طبق فرض داریم N زیر مدول حقیقی M و m ایده ال ماکزیمال R است.
فرض کنیم N، -m اول باشد نشان می دهیم .
m=N:M و N زیر مدول اول است لذا بنا بر گزاره(۱۲-۳) قسمت a N:M ایده ال اول است. فرض کنیم .
و N، -m اول است لذا به ازای هر داریم لذا به ازای هر داریم لذا یعنی پس داریم
برعکس: فرض کنیم ایده آل ماکزیمال و N زیر مدول حقیقی M باشد نشان می دهیم N زیر مدول –m اول است.
{به ازای هر k متعلق به M و }= N:M
در گزاره(۱۷-۳) نشان دادیم که m=mM:M، همچنین داریم لذا پس ایده ال ماکزیمال است لذا N:M=R یا m=N:M اگر N:M=R داریم و R حلقه یکدار پس و لذا M=N که با فرض در تناقض است. لذا m=N:M پس N:M ماکزیمال است لذا بنا برگزاره(۱۷-۳)، N زیر مدول اول است و چون m=N:M، لذا N، -m اول است اگر k زیر مدول حقیقی M باشد که N را در بر داشته باشد چون N، -m اول است پس در نتیجه و m ایده ال ماکزیمال لذا k نیز –m اول می شود.
برای اثبات گزاره(۲۰-۳) دو گزاره که به ترتیب در صفحات ۲۹ و ۳۲ در [۵] مطرح شده است را بیان می کنیم.
گزاره(۱): فرض کنید M یک –R مدول و N یک زیر مجموعه غیر تهی از M باشد آن گاه احکام زیر معادلند:
a) N زیر مدول M است.
b) RN=N.
c) به ازای هر و به ازای هر .
برهان: طبق تعریف زیرمدول و تعریف RN معادل بودن احکام فوق بدیهی است.
گزاره(۲): فرض کنیم M یک –R مدول چپ غیر صفر با مجموعه مولد متناهی باشد. آن گاه هر زیر مدول حقیقی از M مشمول یک زیر مدول ماکزیمال است. بویژه M زیر مدول ماکزیمال دارد.
برهان: فرض کنید k زیر مدول حقیقی M باشد. وجود دارد دنباله متناهی از اعضای M مثل x1,x2,…,xn به طوری که M=K+Rx1+…+Rxn فرض کنیم دنباله x1,x2,…,xn کوتاهترین دنباله ای است

که همراه با k، M را تولید می کند قرار می دهیم L,L=K+Rx2+…+Rxn زیر مجموعه حقیقی M است زیرا دنباله x2,…,xn دنباله ای کوتاهتر از x1,x2,…,xn است. قرار می دهیم P را مجموعه همه زیر مدولهای حقیقی M شامل L,L زیر مجموعه حقیقی M است و شامل L نیز هست لذا و در اینصورت P غیرتهی است.
P با رابطه یک مجموعه مرتب به ترتیب جزیی است. (رجوع شود به(۶۲-۲)زیر مدول N از M شامل L واقع در P است اگر و تنها اگر زیرا اگر آنگاه N زیر مدول حقیقی M و شامل L است. لذا . اگر در اینصورت N زیر مدول حقیقی M و شامل L است. پس حتما زیرا اگر آن گاه N=M که تناقض است. فرض کنیم یک زنجیر غیرتهی از مجموعه مرتب به ترتیب جزیی P باشد. قرار می دهیم .
ادعا: V زیر مدول M است.

برهان: فرض کنید در اینصورت لذا از آنجایی که یک زنجیر است لذا و چون Ny زیر مدول M است. لذا بنا بر گزاره(۱) داریم
لذا . پس V زیر مدول M است.
x1 در هیچ یک از اعضای زنجیر وجود ندارد لذا نشان دادیم که هر زنجیر غیرتهی در P یک کران بالا در P دارد که همان اجتماع است. لذا بنا به اصل ماکزیمال، P دارای یک عضو ماکزیمال است. مانند N، لذا زیر مدولی از M که از N بزرگتر باشد. در ضمن x1 را هم شامل نباشد در P وجود ندارد در نتیجه .
پس N زیر مدول حقیقی ماکزیمال M شامل k است. در حالت خاص قرار می دهیم k=0.
(20-3) گزاره: اگر N زیر مدول ماکزیمال –R مدول M باشد آن گاه N زیر مدول اول بوده و N:M ایده ال ماکزیمال R است.
برهان: از آنجایی که N زیر مدول ماکزیمال است پس N زیر مدول حقیقی M است و همچنین M/N یک –R مدول ساده است(رجوع شود به (۶۶-۲) پس دوری می شود یعنی وجود دارد به طوری که حال تعریف می کنیم.

f همومورفیزم پوشاست زیرا: به ازای هر

واضح است که تابع f پوشاست. بنابر قضایای همومورفیزم داریم:
(mR ساده)
اگر P=ker f آن گاه P ایده ال ماکزیمال R است.

پس N:M ایده ال ماکزیمال است لذا بنا بر گزاره(۱۷-۳)، N زیر مدول اول است.
(۲۱-۳) نتیجه: اگر M یک مدول متناهیا تولید شده باشد، آن گاه هر زیر مدول حقیقی از M مشمول یک زیر مدول اول است.

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 12700 تومان در 77 صفحه
127,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد