بخشی از مقاله
چکیده
هدف از این مقاله بررسی روش ها، پیشرفتها و مسائل پیشرو در مدلسازی عددی برای مکانیک سنگ و مهندسی سنگ بوده است. یک چنین مدلسازی برای مطالعه فرآیندهای بنیادی رخ داده در سنگ و برای ارزیابی عملکرد پیشبینی شده و واقعی سازه های ساخته شده بر و در تودهسنگ، و از اینرو برای پیشتیبانی از طراحی مهندسی سنگ، لازم میباشد.
بنابرین ابتدا روشهای عددی - روش تفاضل محدود، المان محدود، المان مرزی، المان مجزا، شبکه شکستگیهای مجزا، هیبریدی - و تحقیقات صورت گرفته در مورد هریک از آنها معرفی شده و درنهایت مزایا و معایب این روشها و استفاده از روشهای ترکیبی برای برخورداری از مزایای چند روش مورد بحث قرار میگیرد.
واژه های کلیدی مروری، مکانیک سنگ، مدلسازی عددی.
-1 مقدمه
از آنجایی که مدلسازی مکانیک سنگ برای طراحی سازه های مهندسی سنگ در شرایط مختلف و اهداف گوناگون توسعه یافته، و بخاطر تکنیک های مدلسازی مختلفی که توسعه یافته اند، در حال حاضر از طیف گسترده ای از روشهای مدلسازی و طراحی برخوردار هستیم .[1] دلیل عمده مشکلات مربوط به مدلسازی توده سنگها، با هر روش عددی، این است که تودهسنگ تا حد زیادی ناپیوسته، ناهمسانگرد، ناهمگن و غیرالاستیک هستند - هاریسون1 و هادسون2، [2] - 2000،
از اینرو روش های فرم بسته ریاضی برای تعیین تنشها و جابجایی ها و گسیختگی ها در تودهسنگ با محدودیت مواجه شده اند. لذا از چند دهه گذشته روشهای عددی برای حل این مشکل جانشین روشهای ریاضی شده اند. تقسیمبندی اساسی روش های عددی بر اساس نوع محیط مورد کاربرد است، بنابرین این روشها را میتوان همانند زیر تقسیمبندی کرد:1 Harrison 2 Hudson ·
روشهای پیوسته:
- روشهای المان محدود - FEM - 3؛
- روشهای تفاضل محدود - FDM - 4؛
- روشهای المان مرزی5؛
· روشهای گسسته:
- روشهای المان مجزا - DEM - 6؛
- روش های شبکه شکستگی های مجزا - DFN - 7؛ • روشهای ترکیبی:8
- ترکیب FEM/DEM یا BEM/DEM و یا FEM/BEM
- ترکیبهای دیگر روشهای پیوسته و گسسته.
در این مقاله به بررسی این روش ها و روش های مربوط به آنها پرداخته شده و در نهایت کارایی هر یک مورد مقایسه قرار میگیرد.
-2 روش تفاضل محدود
این روش یکی از قدیمیترین روش های عددی به منظور دستیابی به راه حل های تقریبی برای PDE ها در مهندسی، بویژه در دینامیک سیالات، انتقال گرما و مکانیک جامدات است. مفهوم پایه این روش، جایگزینی مشتقات جزئی تابع هدف - بعنوان مثال جابجایی - با تفاضلات تعریف شده برروی فواصل مکانی معین در جهات مختصات، ، ، بوده که سیستم معادلات همزمان جبری توابع هدف را در شبکهای - مش - از گره ها برروی ناحیه موردنظر نتیجه میدهد ویل9، . - [3] 1996
حل سیستم معادلات همزمان جبری، شامل شرایط مرزی تعریف شده در گره های مرزی، پس مقادیر مورد نیاز تابع هدف را در تمامی گره ها تولید خواهد کرد که ارضا کننده هم PDEهای حاکم و هم شرایط مرزی تعیین شده، میباشد. روش تفاضل محدود، شبکه منظمی از گره ها را مورد استفاده قرار میدهد، همانند شبکه مستطیلی که در شکل 1 نشان داده شده است.
ماهیت بنیادی این روش، جزءبندی مستقیم PDEهای حاکم توسط جایگزینی مشتقات جزئی با تفاضلات تعریف شده در نقاط شبکهای مجاور است. سیستم شبک های تنها یک شیوه مناسب تولید مقادیر تابع هدف در نقاط نمونه گیری با فواصل به اندازه کافی کوچک بین آنهاست، بطوریکه خطاهای بوجود آمده برای اینکه قابل قبول باشند، به اندازه کافی کوچک هستند.
توابع آزمایشی غیر محلی - یا درونیابی - برای تقریب PDE در مجاورت نقاط نمونه برداری بکار برده میشود، همانطور که در FEM و BEM انجام میپذیرد. بنابرین، این روش مستقیم ترین و قابل درکترین تکنیک برای حل PDE هاست. FDM متداول بیشتر از همه از عدم انعطاف پذیری در مواجه با شکستگی، شرایط مرزی پیچیده و ناهمگنی مواد رنج می برد.
با این وجود، پیشرفتهای قابل توجهی در FDM صورت گرفته، بطوری که مشهای نامنظم ، همانند شبکه های چهار ضلعی - پرون10 و کاو11، - [4] 1975 و شبکه های ورونی12 - بریقی13 و همکاران، - [5] 1998 را میتوان همچنین مورد استفاده قرار داد. هرچند که چنین مش هایی قابلیت کاربرد این روش را افزایش میدهد، اما پیشرفتهای قابل توجهتر در رویکرد حجم محدود14 یا حجم کنترل حاصل شد.
روش FVM تقریب مستقیمی از PDEهاست اما در مفهوم انتگرالی. این روش دارای شباهت هایی با FEM است و همچنین بعنوان پل ارتباطی بین FDM و FEM در نظر گرفته میشود، همانطور که توسط سلیم - 1993 - 15 و فلاح16 و همکاران - 2000 - اشاره شده است .[6,7] مدل FVM را میتوان به آسانی توسط مش استاندارد FEM ساخت، همانگونه که توسط بایلی17 و کروس - 1995 - 18 نشان داده شده است .[8]
-3 روش المان محدود
در واقع FEM محبوبترین روش عددی در علوم مهندسی، از جمله مکانیک سنگ و مهندسی سنگ است. محبوبیت آن تا حدی زیادی بخاطر انعطافپذیری در مواجه با ناهمگنی و ناهمسانگردی مواد، شرایط مرزی پیچیده و مسائل دینامیکی، همراه با توانایی در مواجه با مدلهای ساختاری پیچیده و شکستگیهاست. بطور اساسی گامهای زیر برای تکمیل آنالیز FEM نیاز است:
- 1 - جزءبندی محیط پیوسته به تعدادی زیرمجموعه به نام المان محدود با اندازه، شکل و جهتداری دلخواه - بعنوان مثال، المانهای مثلثی با سه گره در دوبعد و المانهای آجری با هشت گره در سه بعد - ، - 2 - فرض میشود که هر المان با المانهای مجاور تنها در تعداد محدودی نقاط مجزا به نام گره، متصل هستند که معمولا برروی مرزی المان قرار میگیرند، - 3 - جابجایی ها در گره ها بعنوان مجهولات اساسی مسئله هستند.
کل تعداد مولفه های جابجایی گره ای را تعداد درجه آزادی مدل المان محدود مینامند، - 4 - فرض میشود که بردار جابجایی گرهای المان { }کاملاً معلوم است، - 5 - با فرض معلوم بودن بردار جابجایی گرهای، جابجایی داخلی در المان با استفاده از درونیابی - توابع شکل - بدست میآید، - 6 - زمانی که جابجایی در داخل المان معلوم شد، کرنش را میتوان با استفاده از روابط جابجایی-کرنش بدست آورد، - 7 - با استفاده از روابط تنش-کرنش، نیز میتوان تنش در المان را محاسبه کرد، - 8 - اصل کار مجازی - بعنوان روشی جایگزین برای بیان معادلات تعادل - برای رسیدن به معادلات اساسی المان محدود مورد استفاده قرار میگیرد،.
- 9 - ماتریس سختی المان و بردار بار المان برای المانهای مختلف برای رسیدن به سیستم معادلات جبری خطی، به یکدیگر اضافه میشوند - [ ]{ } { }، که در آن K ماتریس سختی کلی، U بردار جابجایی کلی، و R بردار بار کلی است - ، - 10 - زمانی که { } برای هر المان معلوم شد، جابجایی درداخل المان با استفاده از معادله { } [ ]{ } - که در آن N تابع شکل است - محاسبه میشود، - 11 - مولفه های تانسور کرنش در هر نقطه مورد نظر در داخل المان با استفاده از معادله } ]{ } [ { - که در آن کرنش و B ماتریس جابجایی-کرنش است - محاسبه میشود، - 12 -
درنهایت مولفه های تنش درداخل المان با استفاده از معادله - که در آن تنش و D ماتریس ساختاری است - بدست میآید. مفهوم جزءبندی ناحیه را میتوان در مطالعات کورانت - 1943 - 19، پراگر20 و سینگ - 1947 - 21 ردیابی کرد .[9,10] اصطلاح FEM نخستین بار برای مسائل تنش صفحه ای توسط کلاف - 1960 - 22 ارائه شد .[11] این روش بسرعت در بسیاری از زمینه های علمی و مهندسی اتخاذ و ترویج داده شده، همانگونه که در کتابهای زنکویچ23 و بتچ1977 - 24، - 1982 مورد اشاره قرار گرفته است .[12,13]
با توجه به طاقت فرسا بودن مشبندی و اثرات ناشی از قفلشدگی عددی و المان، روشی موسوم به روش های بدون مش ابداع گردید که با استفاده از سه عملیات کلیدی: درونیابی با استفاده از توابع شکل، انتگرالگیری برای نتیجه گرفتن معادلات جبری حاکم، و حل معادلات نهایی سیستم، صورت میپذیرد. تعداد زیادی فرمولاسیون بدون مش در طی چندین سال توسعه داده شده است .[14,15,16]
-4 روش المان مرزی
برخلاف روش FDM و FEM، این روش ابتدا به دنبال یک راه حل ضعیف در سطح کلی از طریق یک بیان انتگرالی، برمبنای تئوری دو طرفه بتیز25 و اتحاد سومیگلیانا26 است. مزیت اصلی BEM، کاهش ابعاد محاسباتی مدل به یک، با تولید مش و آماده سازی داده های ورودی بسیار ساده تر در مقایسه با روشهای جزءبندی تمام ناحیه همانند FDM و FEM است.
معرفی المانهای ایزوپارامتریک 27 با استفاده از مراتب مختلف توابع شکل، به شیوه ای یکسان همانند در FEM، قابلیت کاربرد BEM را برای مسائل آنالیز تنش بشدت افزایش داد .[17,18] قابل توجه ترین تحولات در کاربرد BEM در مسائل مکانیک سنگ را میتوان به کروچ28 و فیرهرست - 1973 - 29، بردی30 و بری - 1978 - 31، کروچ و استارفیلد32 - 1983 - نسبت داد که به سرعت توسط سایر محققان دنبال شد BEM .[19,20,21] به اندازه FEM در مواجه با ناهمگنی مواد کارایی نداشته و بیشتر برای حل مسائل شکست در اجسام الاستیک خطی و همگن مناسب است.
7روش المان مرزی را به دو روش مستقیم و غیرمستقیم طبقه بندی میکنند. در روش مستقیم - فرمولاسیون مستقیم - ، جابجایی ها و کشش ها موجود در معادلات دارای مفهوم فیزیکی واضحی بوده و مجهولات اساسی معادلات انتگرال مرزی هستند که بطور صریح برروی مرز مسئله شرح داده شده و میتوان بطور مستقیم با حل معادلات انتگرالی بدست آورد.
در فرمولاسیون غیرمستقیم، مجهولات اساسی دارای مفهوم فیزیکی نبوده و تنها تراکم منبع موهومی مربوط به متغیرهای فیزیکی مانند جابجایی و کشش میباشد. مفهوم اساسی رویکرد غیرمستقیم، قرار دهی حوزه محدود موردنظر بر یک حوزه بینهایت بزرگ بصورت فرضی - تمام یا نیم صفحه - برای استنتاج معادلات انتگرال مرزی مربوط به متغیرهای فیزیکی، مانند جابجایی و کشش، و مربوط به تراکم منبع موهومی، مانند بار موهومی - تنش - یا جابجایی ناپیوسته است.
نمونهای از BEM غیرمستقیم، روش جابجایی ناپیوسته - DDM - توسط کروچ - - 1976 برای مسائل دوبعدی و ویور - 1977 - 33 برای مسائل سه بعدی، و روش تنش موهومی توسط کروچ و استارفیلد - 1983 - است .[21,22,23] همچنین دونبار - 1985 - 34 همارزی بین رویکرد مستقیم و غیرمستقیم را نشان داد .[24]
