بخشی از مقاله
چکیده
برای طراحی و شناخت سیستمهای مهندسی پیشرفته نیاز به حل معادلات دیفرانسیل پیچیده میباشد. به منظور حل اینگونه مسائل، روشهای عددی متنوعی با دقت و پیچیدگیهای مختلف وجود دارد که میتوان به اختلافات محدود، اجزای محدود و غیره اشاره کرد که هر یک مزیت و معایب خاص خود را دارد. این روشها همگی به ایجاد شبکه برای برقراری ارتباط بین گرهها نیاز دارند.
امروزه روشهایی در حال توسعه میباشد که نیاز به برقراری رابطه بین گرهها در دامنه محاسباتی نمیباشد که خود یک مزیت عمده میباشد. یکی از شناخته شده ترین آنها روش بدون شبکه گالرکین است. در این پژوهش، برنامهای به زبان فرترن90 و روش بدون شبکه گالرکین - - EFG، برای حل مسائل الاستیسیته مسطح مورد استفاده قرار گرفته است. در این روش از تابع شکل حداقل مربعات متحرک به منظور گسستهسازی معادله دیفرانسیل حاکم از روش گالرکین استفاده شده است. اثرات اندازه شعاع تاثیر گره ها، شکل دامنه تاثیر و همچنین تعداد نقاط انتگرالگیری بر دقت و کارایی روش، مورد بررسی و تحلیل قرار گرفته است.
-1 مقدمه
ایده اولیه روش های بدون المان به کاربرد روش هیدرودینامیک ذره هموار شده1 در مدل کردن مسائل مربوط به اختر فیزیک توسط گینگولد و مونقان در سال 1977 بر میگردد که در حل آنها به علت نامحدود بودن ناحیه حل، شرایط مرزی وجود ندارد
جانسون و بسل روش جدیدی را به منظور اصلاح روش SPH و محاسبه کرنش ها - مشتقات - ارائه کردند. لوسی در 1977 از روش SPH برای بررسی فرضیه فوزیون استفاده کرد و مساله دینامیک گاز را بدون در نظر گرفتن مرز با استفاده از روش - Collocation - حل نمود
روش برآورد کرنل2 که یک روش برای تقریب زدن توابع پیوسته است، توسط موناقان و همکاران در سال 1982 ارائه گردید .[4] این روش فاقد دقت لازم در تحلیل معادلات دیفرانسیل جزئی بود. نایرولز و همکاران در 1992 برای اولین بار از روش درونیابی حداقل مربعات متحرک 3 برای پیدا کردن توابع شکل در روش حل گالرکین استفاده نمودند و روشی را برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی و معمولی ارایه نمودند که روش المان پخش شده - DEM - 4 نامیده میشود
روش بدون شبکه گالرکین - EFG - 5 که نسبت به دیگر روشهای بدون شبکه از دقت بالاتری برخوردار است توسط بلیشکو و همکاران در سال 1994 ارائه شد.[6] در واقع این روش را باید شروع بکار گیری حداقل مربعات در روشهای بدون شبکه تلقی کرد. روشهای بدون شبکه دیگری مانند باز تولید کننده کرنل ذرات6 توسط جان و لیو [7]، و روش اجزای محدود افراز واحد7 توسط ملنگ و بابوسکا [8] و روش ابرهای hp8 توسط دوارت و همکاران [9] و روش پتروف-گالرکین محلی9 توسط اتلوری و همکاران ارائه شدند
ارزانی و افشار، یک روش جدید بدون شبکه را که مبتنی بر فرآیند حداقل مربعات بود تحت عنوان حداقل مربعات گسسته10 ارائه کردند. در این روش همانند دیگر روشهای بدون شبکه، دامنه محاسباتی توسط تعداد محدود نقاط گرهی با توزیع دلخواه گسسته سازی میشود. این روش تاکنون برای حل مسائل تراوش اثبات شده است
بعدها نیسی پور و همکاران در حل مسائل اﻻستیسیته خطی این روش را بکار بردند .[15] روش حداقل مربعات گسسته مختلط توسط امانی و همکاران برای حل مسائل اﻻستیسیته خطی مسطح ارایه شد.[16] در این تحقیق بر خلاف روال متعارف که ابتدا جابجایی سپس تنش بدست میآید، با استفاده از فرمول بندی مختلط جابجایی و تنش همزمان بدست میآید. روش غنی سازی آرایش گره ها یکی از روش های تظریف تطبیقی خطا در روش بدون شبکه می باشد. این روش با کاهش فاصله بین گرهها در نقاطی که گرادیان خطا زیاد است باعث کاهش خطا میگردد.
افشار و همکاران این روش را برای غنی سازی شبکه با استفاده از روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته و برای مسائل الاستیسیته خطی بکار برده اند. روش جابجایی گره ها نیز یک روش تظریف تطبیق خطا در روش بدون شبکه است که توسط افشار و همکاران با جابجا کردن گرهها به قسمتی از مسئله که خطای بیشتری دارد، باعث کاهش خطا در آن نقاط می گردد. روش دیگری که توسط فرجی و افشار و همچنین ارزانی و همکاران ارایه گردید روش غنی سازی-جابجایی در روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته مختلط است که برای بهبود دقت جواب در مسائل الاستیسیته دو بعدی مسطح ارائه گردید
-2 فرمول بندی روش بدون شبکه گالرکین
روش بدون شبکه گالرکین که اولین بار توسط بلیشکو و همکاران ارائه گردید و دارای ویژگیهای زیر میباشد:
-1 استفاده از توابع شکل حداقل مربعات متحرک برای تقریب
-2 استفاده از گارکین ضعیف شده برای گسسته سازی معادلات حاکم
-3 نیاز به ایجاد شبکه برای انتگرالگیری از ماتریس مسئله
مسئله دو بعدی الاستیسیته خطی استاندارد در نظر گرفته شده است که در دامنه و داخل مرز تعریف شده است.معادله دیفرانسیل جزیی و شرایط مرزی برای مسائل مکانیک جامدات دو بعدی به فرم زیر مطرح می شود
