بخشی از مقاله
چکیده
در برخی مواقع مشخصه کیفی مورد بررسی در نمودارهای کنترل، به شکل رابطهای بین متغیر پاسخ و یک یا چند متغیر مستقل است، که اصطلاحاً به آن پروفایل گفته میشود. تحت کنترل نگهداشتن وضعیت یک پروفایل توسط تکنیکهای کنترل فرآیند آماری، پایش پروفایل نامیده میشود. زمانی که یک نمودار کنترل با انحراف با دلیلی مواجه میشود، پی بردن به علل اصلی تغییر در فرآیند و شناسایی زمانی که این انحراف در آن واقعشده، مسالهای مهم است که به آن نقطه تغییر اطلاق میشود. همچنین باقیماندهها مهمترین ابزاری هستند که بهمنظور ارزیابی فرضها در مدلهای رگرسیونی مورداستفاده قرار میگیرند. در این میان باقیماندههای بازگشتی و توابعی از آنها به دلیل داشتن خصوصیات مناسب از جایگاهی خاص برخوردار میباشند. در این مقاله، یک رویکرد نقطه تغییر مبتنی بر باقیماندههای بازگشتی در فاز 1 پروفایلهای ساده خطی ارائهشده است. عملکرد روش پیشنهادی با استفاده از شبیهسازی با روش محمود و همکاران [1] و کیم و همکاران [2] مورد ارزیابی و مقایسه قرارگرفته است. این روش علاوه بر اینکه میتواند تحت کنترل بودن فرایند را در فاز 1 ارزیابی کند، قادر به کشف نقطه تغییر نیز هست.
کلمات کلیدی:رویکرد نقطه تغییر، پایش پروفایل، باقیمانده بازگشتی، پروفایل خطی، فاز .1
-1 مقدمه
پایش پروفایل یکی از مباحث مهم در حوزه کنترل فرآیند آماری است. پروفایل زمانی ایجاد میشود که یک مشخصه بحرانی برای کیفیت ازلحاظ عملکردی به یک یا چند متغیر مستقل وابسته است. در این حالت رابطهای میان متغیر پاسخ و متغیرهای وابسته وجود دارد که باید در طول زمان حفظ گردد. این رابطه میتواند خطی و یا در مواردی یک رابطه چندگانه، چندجملهای، غیرخطی، خطی تعمیمیافته و ... باشد. بررسی ثبات و پایداری این رابطه در طول زمان پایش پروفایل نام دارد. اولین بار وودال و همکاران [3]، این حوزه نوین را در علم کنترل فرآیند آماری معرفی کردند و کاربردهای بیشمار آن را در واحدهای صنعتی و خدماتی با ذکر مثالهایی معرفی کردند.
روشهای پایش پروفایلعموماً در دو فاز 1 و 2 انجام میشوند. در فاز 1 ، مجموعهای از دادههای فرایند جمعآوری و تحلیل میشود. هدف از فاز 1، به دست آوردن اطلاعات در مورد ارزیابی پایداری فرآیند، پراکندگی فرآیند در طول زمان و برآورد پارامترهای مدل در فرایند تحت کنترل است؛ اما فاز 2 بعد از وجود مجموعهای از دادههای تمیز که تحت شرایط ایستا تهیهشده و بیانگر عملکرد تحت کنترل فرآیند است، باهدف کشف سریع تغییر و روند در پارامترهای مدل آغاز میشود. تحقیقات زیادی ازجمله [2]، [4]، [5]، [6]، [7]، [8]، [9]، [10] و [11] در زمینه روشهای پایش پروفایل در فاز 2 به مطالعه پرداختهاند.
همچنین کارهای زیادی در زمینه پایش پروفایل در فاز 1 صورت گرفته است که از میان آنها میتوان به [2]، [6]، [12]، [13]، [14]، [15]، [16] و [17] اشاره کرد.یکی از مؤثرترین روشها در زمینه پایش پروفایلها، رویکرد نقطه تغییر است که در سالهای اخیر توجه شایانی به آن شده است. تمرکز این رویکرد بر روی جواب دادن به این سؤال است که آیا کل فرآیند از یک مدل خاص پیروی میکند و یا اینکه پس از یک مشاهده خاص، تغییری در فرآیند ایجاد میشود؟ از زیربناییترین رویکردهای نقطه تغییر در حوزه پایش پروفایلهای خطی در فاز 1، محمود و همکاران [1] و در فاز 2 ، زو و همکاران [15] را میتوان نام برد. این دو رویکرد از آماره نسبت درستنمایی برای کشف نقطه تغییر استفاده کردهاند.
در برخی از روشهای تدوینشده در حوزه پایش پروفایل، از باقیماندهها بهمنظور شناسایی انحراف از یک مدل مشخص استفادهشده است. باقیمانده بازگشتی یک تبدیل خطی از باقیماندههای عادیاست که غالباً بهمنظور آزمون تناسب مدل و فرضیات مدل در رگرسیونهای خطی استفاده میشود. براون وهمکاران [18]، برای اولین بار آزمونهایی را بر مبنای باقیماندههای بازگشتی پیشنهاد کردند تا ثبات فرایند را در طول زمان در مدلهای رگرسیون چندگانه بررسی کنند. همچنین در این حوزه هافریچر [19] در رساله خود، رویکرد نقطه تغییری را بر مبنای باقیماندههای بازگشتی برای پایش رگرسیونهای خطی و خطی تعمیمیافته ارائه داد. در زمینه پایش پروفایلهای خطی، زو و همکاران [20] مفهوم و محاسبات باقیماندههای بازگشتی را برای ارائه رویکردشان به کار گرفتند. آنها یک روش خود آغاز شونده بر مبنای رویکرد باقیماندههای بازگشتی پیشنهاد دادهاند که تا حد امکان از تمایز بین فاز اول و دوم اجتناب میکند.
ازآنجاییکه در مبحث پایش پروفایلها، توجه زیادی به مفهوم باقیماندههای بازگشتی نشده است، این موضوع انگیزهای جهت بررسی و مطالعه این مفهوم در زمینه پایش پروفایلها شده است. در این مقاله سعی میشود رویکرد نقطه تغییری نوین با استفاده از باقیماندههای بازگشتی برای پایش پروفایلهای خطی ساده در فاز 1 ارائه شود. این روش علاوه بر اینکه میتواند تحت کنترل بودن فرایند را در فاز 1 مورد آزمون قرار دهد، قادر به کشف نقطه تغییر نیز هست.ساختار این مقاله بدینصورت است: در بخش دوم، مفروضات مساله و روش پیشنهادی توضیح داده میشود. در بخش سوم، عملکرد روش پیشنهادی با استفاده از شبیهسازی با روش محمود و همکاران [1] و زو و همکاران [2] مورد مقایسه قرار میگیرد و در بخش چهارم، نتیجهگیری ارائه میگردد.
-2 رویکرد نقطه تغییر مبتنی بر باقیمانده بازگشتی
فرضیات مدل رویکرد نقطه تغییر با استفاده از باقیماندههای بازگشتی در فاز 1 به شرح زیر است:
-1 از آنجایی که در فاز 1 با یک مجموعه از دادهها که از گذشته فرآیند در دسترس است سروکار داریم، پروفایلهای مشاهدهشده، m نمونه هستند که هر نمونه شامل n جفت از مشاهدات بهصورت
= 1,2, … , - , - , = 1,2, . . , , > 2 , است.
-2 مدل پروفایل خطی که متغیر توصیفی X را با متغیر پاسخ Y مرتبط میکند، از رابطه زیر پیروی میکند.
-3ها متغیرهای تصادفی مستقل و هم توزیع - i.i.d - نرمال با میانگین صفر و واریانس 2 هستند.
-4 برای سادگی، مقادیر x ثابت در نظر گرفتهشدهاند و مجموعه مقادیر یکسان برای هر نمونه وجود دارد. همچنین مقادیر x مانند کیم و همکاران [2] بهگونهای کد میشوند که میانگین مقادیر کدشده برابر صفر شود. بعد از کد کردن مقادیر x، آنها فرم جایگزین مدل اصلی در رابطه - 1 - را بهصورت زیر به دست میآورند.
که در این رابطه ∑ =1 1 ̅=، 0 = 0 + 1 ̅، 1 =1 و ∗ = - − ̅ - میباشند.. در این مدل برای jامین نمونه، برآورد کننده حداقل مربعات 0، 1 و 2 بهصورت زیر هستند:
با توجه به فرضیات بالا، بهمنظور تعریف باقیمانده بازگشتی، درمرحله اول بایستی m داده تاریخی با اندازه n را در یک نمونه، ادغام نمود. بدین منظور، اندیس k به صورت = - − 1 - + تعریف میشود که در آن i=1,2,….,n، j=1,2,…,m و نهایتاًk=1,2,…,mn است. در نتیجه قرار میدهیم = و ∗ = باقیمانده بازگشتی بهصورت زیر تعریف میشود:
در اینجا مشابه رویکرد براون و همکاران [18] در شناسایی مکان نقطه تغییر در رگرسیون، بهجای استفاده مستقیم از باقیمانده بازگشتی استانداردشده از مقادیر زیر بهره میگیریم:
که در آن p تعداد پارامترهای پیشبینی کننده خطی است و از آنجایی که مدل پروفایل مد نظر خطی ساده میباشد، پارامترهای پیشبینی کننده در اینجا، عرض از مبدأ و شیب میباشند؛ بنابراین p برابر با 2 است. همچنین اگر 2 نامعلوم باشد، میتوان آن را توسط انحراف استاندارد تمامی پروفایلها که در قالب یک پروفایل ادغام شدهاند، برآورد کرد.در مرحله بعد نیاز داریم حدود کنترلی را تعریف کنیم که در آن احتمال زنگ خطر هشدار اشتباهی برابر مقدار معینی از شود. براون و همکاران [18] بهمنظور سادگی این حدود را بهصورت خطوطی مستقیم در نظر گرفتهاند. با استفاده از استدلالات و محاسبات موجود در براون و همکاران [18] و هافریچر [19] این تابع در نهایت بهصورت زیر به دست میآید.که در آن = − − است همچنین مقدار بایستی از طریقشبیهسازی بهگونهای به دست بیاید که احتمال زنگ خطر هشدار اشتباهی برابر با مقدار مورد نظر شود. با توجه به رابطه بین tو s، رابطه - 4 - را بهصورت زیر بازنویسی میکنیم:
در مرحله بعد در صورتی که روش پیشنهادی هشداری مبنی بر خارج از کنترل بودن فرآیند صادر کرد، به منظور برآورد نقطه تغییر دنباله - - و منحنی - - مقایسه میشود و پروفایل حاوی اولین نمونهای که به ازای آن - - > - - باشد، بهعنوان برآورد نقطه تغییر در نظر گرفته میشود.
-3 ارزیابی عملکرد
در این بخش نتایج شبیهسازی که با استفاده از نرمافزار Matlab بهدستآمده است، ارائه میشود که عملکرد روش پیشنهادی ما که از اینجا به بعد تحت عنوان روش باقیمانده بازگشتی RR بیان میشود، با عملکرد روش محمود و همکاران [1] و کیم و همکاران [2] مقایسه میگردد. در رویکرد نقطه تغییر پیشنهادی محمود و همکاران [1] که LRT نامید شده است، از آماره زیر برای آزمون فرضیه وجود یا عدم وجود نقطه تغییر در فرآیند استفاده میشود.که در اینجا ̂ 2 برآورد ماکزیمم درستنمایی واریانس خطا برای مدل رگرسیون کل m پروفایل که در یک نمونه با اندازه N ادغامشدهاند، ̂ 12 برآورد ماکزیمم درستنمایی واریانس خطا برای مدل رگرسیون برای همه نمونههای قبل از 1 که در یک نمونه با اندازه 1 = ∑ 1=1 ادغامشدهاند و ̂ 22 برآورد ماکزیمم درستنمایی واریانس خطا برای مدل رگرسیون برای همه نمونههای بعد از 1 که در یک نمونه با اندازه 2 = − 1 ادغامشدهاند، میباشند.
با استفاده از این روش، در ابتدا آماره 1 در رابطه - 7 - برای همه مقادیر ممکن 1، 1 = 1,2, … , − 1 به دست میآید. سپس هرکدام به مقادیر مورد انتظارشان تحت فرض صفر تقسیم میشوند. در این روش بزرگتر بودن ماکزیمم آمارههای بهدستآمده از یک آستانه به معنای حضور یک نقطه تغییر است. مقدار 1ای که آماره 1 را ماکزیمم میکند، برآورد ماکزیمم درستنمایی مکان نقطه تغییر است.همچنین کیم و همکاران [2] در فاز 1 از 3 نمودار شوهارت برای پایش شیب، عرض از مبدأ و انحراف معیار فرآیند استفاده کردند. با استفاده از این رویکرد، میتوان هر یک از 3 پارامتر مربوط به
