بخشی از مقاله
چکیده
استفاده از روشهای عددی جهت حل معادله دیفرانسیل جزئی حاکم بر توزیع هر کمیت اسکالر در محیط سیال، تنها در صورتی قابل اطمینان خواهد بود که تطابق مناسبی بین نتایج حل عددی با مقادیر اندازهگیری شده در نمونههای واقعی وجود داشته باشد.در این تحقیق، با استفاده از روش عددی تفاضلات محدود، معادله انتشار پخشیدگی در شرایط یک و دو بعدی تحلیل شدهاست. همچنین، با انتخاب الگوهای متفاوتی در منقطعسازی معادلات حاکم، ارزیابی نحوه تغییرات محدوده پایداری و حداقل نمودن خطای ناشی از انتشار عددی مطالعه شده ضمن اینکه تاثیر چگونگی انتخاب اعداد بدون بعد مؤثر بر تحلیل عددی همچون اعداد کورانت و پکلت بر دقت نتایج در شرایط دائمی و غیردائمی بررسی شدهاست.
معیار محاسبه خطای ایجاد شده در نتایج، مقایسه با اندازهگیریهای میدانی دردسترس برای یک نمونه واقعی است. در این نمونه، تخلیه پساب گرم یک نیروگاه حرارتی ناشی از عملکرد سیستم خنککننده آن در رودخانه مجاور، مورد مطالعه قرار گرفته است. با تحلیل و مقایسه نتایج، الگوی بهینه منقطعسازی در روش تفاضلات محدود تعیین شده بهنحوی که ضمن تامین محدوده پایداری، حساسیت متناسبی نسبت به ابعاد شبکه خصوصاﹰ در مجاورت مرزها بوجود آمده و انطباق مناسبی بین نتایج حل عددی و اندازهگیریهای میدانی ایجاد گردد.
کلید واﮊهها: تفاضلات محدود، انتشار، پخشیدگی، آلودگیحرارتی.
۱ مقدمه
استفاده از روش تفاضلات محدود در تحلیل مسائل توزیع هر کمیت اسکالر همچون آلودگی حرارتی در محیط سیال، درصورت بکارگیری الگوی مناسب منقطع سازی معادلات حاکم، ضمن کاهش بازه زمانی حل عددی و ایجاد محدوده پایداری مناسب، منجر به افزایش دقت نتایج حاصله خواهد شد.آنچه که دراین نوشتار تعقیب می شود، بررسی روش عددی تفاضلات محدود با بکارگیری الگوهای منقطع سازی مناسب بوده به گونه ای که بامقایسه آنها، امکان ارائه الگوهای مناسبتری جهت شبیهسازی مسئله در قالب این روش میسر گردد. قبل از بررسی الگوهای منقطع سازی، به اختصار به بیان معادله کلی حاکم بر مسئله می پردازیم. معادله حاکم بر پدیده انتقال و انتشار هر کمیت اسکالر در محیط سیال به صورت زیر تعیین می شود]۱: [
که درآن φ کمیت اسکالرافزوده به محیط سیال، V بردار سرعت جریان به طوریکه - V = - U,V,W ، D ضریب انتشار، t زمان و S جمله چشمه است که میتواند چگونگی زوال و یا افزایش کمیت اسکالر رانشان دهد.برای یک کانال طولانی و با فرض عدم وجود کمیت افزوده در سیال در شرایط اولیه و ثابت بودن سرعت و ضریب انتشار در امتداد طولی و وجود یک منبع تزریق کمیت اسکالر به سیال با مقدار ثابت در بالادست، حل تحلیلی معادله - ۱ - به این صورت خواهد بود :
که در آن φ0 مقدار کمیت تزریقی در مرز بالا دست و φ - x,t - همین مقدار در نقطهای به فاصله xاز بالادست کانال و پس از گذشت زمان t خواهد بود. در شرایط یکبعدی، نتایج بهدست آمده از رابطه اخیر بهعنوان مبنا در محاسبه مقادیر خطای روشهای عددی مورد استفاده قرار میگیرند. در حالیکه با برقراری شرایط دوبعدی در سطح، دادههای حاصل از اندازهگیری میدانی در محیط سیال ملاک ارزیابی خطا در شیوههای مختلف حل عددی خواهد بود.
۲ معرفی الگوهای منقطعسازی
بهجهت امکان مقایسه الگوهای اصلی منقطعسازی در روش تفاضلات محدود، ابتدا روابط حاکم در هر روش به صورت کلی معرفی شده و پس از ارائه مبانی عددی، نتایج بکارگیری هریک در شرایط دو بعدی مورد بررسی قرار میگیرد.
۲۱ روش QUICK
در این روش، تخمین مقدار کمیت اسکالر φ در هر دیواره حجم کنترل با عبور دادن یک منحنی درجه دوم انجام میشود. به طوریکه از سه نقطه اصلی مشخصکننده این منحنی، دو نقطه از سمت بالادست دیواره حجم کنترل و دیگری از سمت پاییندست آن انتخاب میگردد.به این ترتیب، درتعیین φl - i - ، نقاط φi−2 ، φi−1 و φi و در تعیین φr - i - سه کمیت φi−1 ،φi وφi1دخالت خواهند داشت. بافرض عبورمنحنی φ - x - ax 2 bx c وبرقراری شرایطφ - 0 - φi−2 و φ - ∆x - φi−1 و φ - 2∆x - φi ، مقادیر φ در دیواره های حجم کنترل چنین بدست می آیند]۲: [
تعیین مقدار کمیت اسکالر در دیواره های حجم کنترل در برگیرنده گره های محاسباتی مجاور مرزها با بکارگیری این روش نیاز به تعریف یک گره محاسباتی فرضی دارد که مقدار کمیت اسکالر دراین گره فرضی که قبل از مرز بالادست محدوده مطالعاتی قرار دارد، با عبور یک منحنی مرتبه دوم از نزدیکترین دو گره و مرز بالادست حاصل میگردد]۳. [آنچه تاکنون تحت بررسی قرار گرفت، وضعیت یک بعدی مسئله در امتداد طولی رودخانه بود.
حال به بررسی شرایطی می پردازیم که توزیع آلودگی در شرایط دائمی و در پلان رودخانه بصورت دو بعدی انجام می گیرد. با بکارگیری شیوه مشابه قبل، در تعیین مقدار کمیت اسکالر φ - i 12 , j - ، رویه دو بعدی مار بر شش نقطه φi, j 1 , φi−1, j , φi1, j −1 , φi, j −1 ,φi1, j ,φi, j بکار خواهد رفت و به این ترتیب برای تعیینφ در همه دیواره های حجم کنترل ، ده گره محاسباتی دخالت خواهند داشت.نتایج قابل پیش بینی منتج از بکارگیری روش فوق به عنوان نمونه برای یکی از دیواره ها بصورت زیر خواهد بود.با اعمال شیوه انقطاع معادله حاکم در مجاورت مرزها مشابه آنچه در شرائط یک بعدی گفته شد، برای تمامی گره های محدوده محاسباتی امکان حل معادله وجود خواهد داشت.
۲۲ روش QUICKEST
اگر روش قبل در تعیین مقدار کمیت اسکالر در دیواره ها برای شرائط غیر دائمی توزیع آلودگی - ∂∂tφ ≠ 0 - بکار رود و با هدف افزایش دقت نتایج حاصله، متوسط تغییرکمیت درگامهای قبل وبعد ازگذشت زمان ∆t برای هر یک از گره های محاسباتی درنظر گرفته شود، روش QUICKEST ایجاد می گردد.براساس محاسبات انجام گرفته، با بکارگیری شیوه فوق، معادله اساسی این روش بصورت زیربدست خواهد آمد:
۲ ۳ گام بعدی روش QUICK بکارگیری منحنی مرتبه بالاتر
افزایش دقت نتایج حاصله از حل عددی با افزایش مرتبه منحنی بکار رفته در منقطع سازی معادله حاکم از صفر - تفاضالات بالادست - به یک - تفاضلات مرکزی - و نهایتاﹰ دو - روش - QUICK، انگیزه آزمایش روش جدید را به گونه ای که در آن از منحنی های مرتبه بالاتر استفاده می شود ایجاد می کند.
