بخشی از مقاله
چکیده
مشکل اساسی مدلسازی سیستمهای واقعی این است که مدل پیش فرض ریاضی، به دلایل بسیاری، با مدل واقعی سیستم مطابقت دقیق ندارد. این مدلهای نامعین را میتوان با یک مدل با عدم قطعیت پارامتری که ساختار آن ثابت است اما پارامترها در محدوده داده شده تغییر میکنند یا یک مدل با عدم قطعیت غیر ساختار یافته، که امکان استفاده از یک مرتبه ناشناخته وجود دارد، توصیف کرد. هر دو روش خواص مثبت و منفی دارند. عواملی مانند ساده سازی مدل، نادیده گرفتن برخی از عوامل موثر بر دینامیک و یا عدم صحت مدلسازی عمومی میتواند باعث ایجاد نامعینی در پارامتر سیستم شوند. در ماشینهای الکتریکی تغییر دما بر مقاومت الکتریکی سیمپیچها و رلوکتانس هسته مغناطیسی ماشین اثر گذاشته و موجب عدم قطعیت در پارامترهای مدار میشود.
یک موتور DC خاص مدلسازی شده، سپس با اعمال نامعینیهای پارامتری در برخی پارامترهای این موتور، مدل نامعین موتور بدست آمدهاست. یک کنترلکننده PID برای مدل موتور DC همراه با نامعینی پارامتری و نامعینی حاصل از دینامیک مدل نشده، طراحی شدهاست. پس از تعریف نامعینیهای پارامتری موجود در سیستم، تاثیر این نامعینیها روی پاسخ پله سیستم و نمودار بودی مورد بررسی قرار گرفتهاست. به کمک نرمافزار متلب، نامعینیهای خطی نامتغیر با زمان دینامیکی - غیرساختاریافته - برای پارامتر خاصی از موتور DC در نظر گرفتهشده و سپس به مقایسه مدل نامی و مدل نامعین موتور DC ، با رسم پاسخ سیستم به ورودی پله و نمودار بودی سیستم حلقه باز پرداختهشدهاست.
با تنظیم ضرایب کنترلکننده PID، بهترین کنترلکننده را به منظور داشتن نمودار حساسیت ایدهآل و نیز رفع اغتشاش ورودی به سیستم - مطلوبات مسئله - ، طراحی شدهاست . با تشکیل سیستم حلقه بسته شامل کنترلکننده PID و مدل نامعین موتور DC به همراه نامعینیهای ساختاریافته و غیرساختاریافته، پایداری این سیستم را بررسی شدهاست. در این مرحله ورودی اغتشاش به سیستم حلقه بسته اعمال شده و پاسخ سیستم به ورودی اغتشاش پله و همچنین نمودار حساسیت سیستم حلقه بسته تحلیل شدهاست . در آخر، یک سیستم حلقه بسته شامل مدل نامعین موتور DC به همراه کنترلر PID و ورودی اغتشاش و نویز دلخواه بررسی شدهاست. پایداری این سیستم حلقه بسته به کمک نرمافزار متلب تاثید شده-است.
کلید واژه- کنترلکننده مقاوم PID، کنترل سیستم موتور DC، نامعینی پارامتری، نامعینی غیر ساختاریافته
-1 مقدمه
نظریه کنترل کلاسیک و همچنین بسیاری از روش های معاصر، از یک مدل ریاضی برای یک سیستم به منظور طراحی کنترلکننده برای آن استفاده می کنند. با این وجود، مشکل اساسی این است که مدل پیش فرض ریاضی، به دلایل بسیاری، تقریبا هرگز با مدل واقعی سیستم مطابقت دقیق ندارد. یکی از راههای غلبه بر این اختلاف، استفاده از یک مدل نامعین و طراحی کنترل کننده های مقاوم برای آن مدل میباشد. دو روش اصلی برای مدل سازی عدم قطعیت در رویکرد پارامتری - ساختار یافته - یا غیر ساختار یافته وجود دارد. هر یک از آنها مزایا و معایب خود را دارند. در نتیجه، هر یک را میتوان در موقعیت های مناسب در نظر گرفت .[1]
اساسا، عدم قطعیت در سیستم LTI SISO را می توان در دو روش اصلی مورد توجه قرار داد. هر یک از آنها میتوانند از یک مدل با عدم قطعیت پارامتری استفاده کنند که ساختار آن ثابت است اما پارامترها در محدوده داده شده در نظر گرفته می-شوند یا یک مدل با عدم قطعیت غیر ساختار یافته، جایی که حتی میتوان از یک مرتبه ناشناخته نیز استفاده کرد. هر دو روش جوانب مثبت و منفی خود را دارند. عدم قطعیت پارامتریک به نظر میرسد طبیعی تر،قابل درک تر و نسبتا ساده است، در حالی که کنترل عدم قطعیت غیرساختاری به طور کلی ساده تر از روش های طراحی کنترل کننده های پیشرفته - به عنوان مثال - H است.
اگر ساختار سیستم شناخته شده باشد اما پارامترهای واقعی فیزیکی آن به درستی شناخته شدهنباشند، عدم قطعیت پارامتری مورد استفاده قرار می گیرد. برعکس، عدم قطعیت غیرساختار یافته، حتی نیاز به دانستن ساختار - نظم - مدل ندارد. عدم قطعیت پارامتری از طریق محدودهای تعیین می شوند که پارامترهای نامشخص در آن قرار دارند. توصیف عدم قطعیت بدون ساختار بر اساس محدودیتهای مناطقی است که ممکن است مشخصه های فرکانسی سیستم در آن باشند .[2]
-2 مدلسازی موتور DC به همراه نامعینی پارامتری
مدل هایی که دینامیک سیستم را توصیف می کنند، معمولا در مقایسه با دستگاه واقعی، دارای تفاوتهایی هستند. این تفاوتها به طور عمده ناشی از ساده سازی مدل، نادیده گرفتن برخی از عوامل موثر بر دینامیک و یا عدم صحت مدل سازی عمومی است. با این وجود این تفاوتها ممکن است هنگام طراحی یک سیستم کنترل مشکلزا باشند. از طرفی، تقریبا تمامی انواع موتورها و ژنراتورهای الکتریکی مجهز به سیستم خنککننده برای کنترل دمای داخلی ماشین میباشند. با این وجود، دمای داخلی یک ماشین الکتریکی بطور معمول بین 30 الی 70 درجه سانتی گراد تغییر میکند.
این تغییر دما بر مقاومت الکتریکی سیمپیچها و رلوکتانس هسته مغناطیسی ماشین تاثیر گذاشته و موجب عدم قطعیت در برخی از پارامترهای مدار معادل ماشینهای الکتریکی میشود. بنابراین یک مدل دقیق برای طراحی مناسب کنترل کننده مورد نیاز است.روش برخورد با این مشکل بر اساس مدل سازی واقعی سیستم به عنوان مجموعه ای از مدل های خطی متغیر با زمان در اطراف یک مدل نامی است، به عنوان مثال مدلی نامعین در مرزهای شناخته شدهای طراحی شدهاست. مزیت نمایش مدل سیستم به صورت مجموعهای از سیستمها این است که امکان طراحی یک کنترلکننده مقاوم برای برقراری پایداری سیستم حلقه بسته حتی در صورت وجود عدم قطعیت را به طراح میدهد. هدف ایده آل طراحی یک کنترلکننده است که قادر به پایدارسازی بدترین حالت سیستم است.
چنین کنترلکننده ای می تواند سیستم واقعی را پایدار سازد. معادلهی - 1 - مدل یک موتور DC بدون بار را به خوبی نشان میدهد.عبارات استفاده شده در معادله - 1 - به این صورت تعریف شده-اند: Km ثابت گشتاور، J اینرسی روتور، Kf ضریب اصطکاک چسبندگی، i مقدار لحظه ای جریان الکتریکی، سرعت زاویهای لحظه ای شفت، Kb ثابت ولتاژ - معکوس ثابت سرعت - ، R مقاومت ترمینال، L اندوکتانس ترمینال و در نهایت u مقدار لحظه ای ولتاژ منبع است. برای پارامترهای موتور DC مسئله از یک مدل خاص موتور DC به نام Maxon RE 35 - catalogue number 273754 - استفاده کردیم .[4]
مقادیر این پارامترها به این صورت است: J = 7. 2×10 6 kgm2 R = 2.07 ' L =0. 00062H, Km = 0.052NmA 1, Kb = 0.052Vs rad 1 و آخرین پارامتر .Kf = 0.000048Nms rad 1.هدف از ایجاد یک مدل نامعین این است که این مدل فاصلهی بین مدل طراحی شده بدون نامعینی و مدل واقعی را با تعریف کردن عدم قطعیت برای پارامترهای انتخاب شده، پوشش دهد. مدل نامعینی سیستم موتور DC که بر اساس معادله - 1 - و با وجود پارامترهای نامعین طراحی شدهاست به شکل معادله - 2 - است. این معادله با درنظر گرفتن x1=I , x2 و با تعریف پارامترهای نامعینی ایجاد شدهاست.برای پارامترهای نامی هستند. فرم ماتریسی سیستم موتور DC به همراه نامعینی در معادله - 3 - نمایش داده شدهاست.
شکل 1 سیستم موتور DC را بدون عدم قطعیت نمایش می-دهد. به منظور نمایش تاثیر عدم قطعیت در هر یک از پارامتر-های سیستم موتور DC، در هر مرحله وجود یک نامعینی را درسیستم بررسی میکنیم و شماتیک مجزایی از سیستم را در سیمولینک نرمافزار متلب رسم میکنیم. به منظور مقایسه پاسخ سیستم در حالت بدون نامعینی و حالت با نامعینی پارامتری، مقادیر عدم قطعیت را از - 100 درصد تا 100 درصد مقدار پارامتر نامی تغییر دادیم و به ازای هر یک نمودار بودی را رسم نمودیم. در رسم دیاگرام بودی، 30 نمونه تضادفی برای هر محدودهی عدم اطمینان در نظر گرفتهشدهاست. نمودار بودی اندازه و فاز سیستم حلقه باز موتور DC - مربوط به شکل - 1 در شکل 2 قابل رویت است.
در مرحله اول نامعینی پارامتری جمع شونده به پارامتر R - مقاومت مدار الکتریکی - ، یک نامعینی پارامتری جمعشونده معکوس به پارامتر L - اندوکتانس مدار الکتریکی - ، یک نامعینی پارامتری جمع شونده به پارامتر Km - ثابت گشتاور - ، پارامتر Kf - ضریب اصطحکاک چسبندگی - و پارامتر Kb - ثابت ولتاژ - در سیستم موتور DC افزودیم. در هر مرحله دیاگرام اندازه و فاز بودی سیستم را به ازای نامعینیهای مختلف رسم نمودیم و دیدیم که عدم قطعیت حاصل از پارامتر Kf ، حداقل تاثیر را روی رفتار مدل سیستم داشتهاست. در مقابل، عدم قطعیت پارامتر Kb باعث تغییر رفتار چشمگیر سیستم حتی در فرکانسهای پایین شدهاست. عدم قطعیت در مابقی پارامترهای سیستم، تغییراتی در فرکانسهای بزرگتر از 20 rad/s در رفتار مدل ایجاد کردهاست. این قاعده از عدم قطعیت در پارامتر L مستثنی است؛ زیرا این عدم قطعیت از فرکانس 300 rad/s به بالا روی رفتار سیستم اثر میگذارد.
-3 طراحی کنترلکننده PID برای مدل موتور DC همراه با نامعینی پارامتری و دینامیک مدل نشده
در این سیستم موتور DC پارامترهای فیزیکی مسئله مانند Km، Kf، Kb، R و L، کاملا شناخته شده نیستند و در معرض تغییر قرار دارند. بنابراین این پارامترها را به عنوان مقادیر نامعین با محدوده خاص یا با بیان درصد عدم اطمینان آنها، مدل می-کنیم. با دستور "ureal" نرم افزار متلب رنج تغییرات هریک از پارامترها را تعیین کردیم. عدم قطعیت را برای پارامتر R تا 40 درصد مقدار نامی R، برای پارامتر L تا 40 درصد مقدار نامی و برای پارامتر Kf نیز به ترتیب 50 درصد مقدار نامی خود درنظر گرفتیم. بنا بر دلایل فیزیکی پارامترهای Kb و Km مشابه هستند، این موضوع در صورت وجود نامعینی نیز صادق است.
پس محدودهی عدم قطعیت این دو پارامتر را از 0,05 تا 0,055 در نظر میگیریم. با وجود این نامعینیها تابع تبدیل سیستم به شکل نامعین معادله - 4 - در میآید. این تابع را در نرم افزار متلب ایجاد میکنیم و ورودیهای آن را "ولتاژ و سرعت" و خروجی-های آن را "جریان، سرعت و گشتاور" مینامیم.برای مقایسه مدل نامی با مدل دارای نامعینی پارامتری، پاسخ سیستم به ورودی پله و نمودار بودی هر یک را در شکل2 و شکل3 رسم نمودیم. این نمودارها برای اندازهگیری تاثیر نامعینیهای پارامتری مناسب هستند. توجه شود که برای رسم این نتایج هیچگونه نامعینی پارامتری برای پارامتر J در نظر گرفته نشدهاست و ورودی سیستم ولتاژ و خروجی آن سرعت در نظر گرفته شدهاست. با توجه به شکل2 میبینیم که مقدار گین DC سیستم در حالت نامعینی پارامتری تفاوت زیادی با این مقدار در حالت نامی سیستم دارد.
