بخشی از مقاله
خلاصه
در دهههاي اخیر، انجام آزمایشهاي محیطی به دلیل سهولت انجام و کم هزینه بودن نسبت به آزمایشهاي اجباري، مورد توجه و استقبال بسیاري از مهندسین فعال در زمینه ارزیابیهاي آسیب پذیري و مقاومسازي سازهها قرارگرفته است. بر این اساس روشهاي تحلیلی شناسایی سیستمها که فقط از داده هاي خروجی براي یافتن خصوصیات مودي سازهها استفاده میکند، رشد و توسعه قابل ملاحظهاي یافتهاند. در این مسیر یافتن اشکال مودي صحیح در کنار تشخیص فرکانسها از اهمیت بالایی برخوردار است. به طوري که در بسیاري از موارد شناسایی اشکال مودي میتواند نقش بسزایی در پذیرش یا رد فرکانسهاي محاسبه شده ایفا کند.
در تحقیق حاضر، بر اساس تبدیل ارتقاءیافته هیلبرت-هوآنگ که اخیرا توسط مولفین توسعه داده شده است، یک روش خروجی-تنها براي استخراج اشکال مودي سازههاي چند درجه آزاد پیشنهاد شده است . روش پیشنهادي دو مرحلهاي است؛ در گام اول، یک طیف دامنه-فرکانس موسوم به »طیف حاشیهاي ارتقاءیافته میانگین« براي سازه مورد مطالعه استخراج میشود.
این طیف، حدس اولیهاي از فرکانسهاي طبیعی سازه را بهدست میدهد. در گام دوم صحت فرکانسهاي طبیعی از طریق محاسبه مود شکلهاي متناظر با آنها، تحقیق میشود. براي ارزیابی کارایی روش شناسایی پیشنهادي، شتابنگاشتهاي حاصل از آزمایش ارتعاش محیطی انجام گرفته بر روي یک ساختمان پانزده طبقه مورد بررسی قرار گرفته است. براي هر یک از مؤلفههاي شرقی-غربی، شمالی-جنوبی و پیچشی ساختمان، سه مود شکل اول به همراه فرکانسهاي طبیعی متناظر استخراج شده است. نتایج، نشان دهنده توانمندي بالاي روش پیشنهادي در شناسایی اشکال مودي و فرکانسهاي طبیعی متناظر با آنهاست.
1. مقدمه
شناسایی سیستمهاي سازهاي یکی از موضوعات پویا در محدوده مهندسی زلزله است. روشهاي شناسایی سازه به طور مشخص از تئوري در دو زمینه پردازش سیگنال و دینامیک سازهها بهره میگیرند که در این میان پردازش سیگنال نقش مهمی را ایفا می کند. تبدیل هیلبرت-هوآنگ به عنوان روشی نوظهور در پردازش سیگنالهاي ناماناو غیرخطی توسعه داده شده است .[1] اخیرا با گسترش این روش، روشهاي شناسایی سازهاي نیز براساس آن پیشنهاد شده است
تبدیل هیلبرت-هوآنگ از دو بخش تجزیه تجربی مودي و تحلیل طیفی هیلبرت تشکیل شده است. براي ارتقاء عملکرد تبدیل هیلبرت-هوآنگ تاکنون تحقیقات زیادي صورت پذیرفته، اما بیشتر تمرکز این تحقیقات بر روي قسمت تجزیه تجربی مودي بوده [4,5,6] و بر روي قسمت تحلیل طیفی هیلبرت کار نسبتا کمتري انجام شده است
در هنگام استفاده از تبدیل هیلبرت براي استخراج مشخصههاي ذاتی سیگنال تجزیه شده از دیدگاه ریاضی ، براي اینکه فرکانسهاي آنی به دست آمده از نظر فیزیکی معنادار باشند، باید قضایاي بِدروسین و نوتال برآورده گردند
هوآنگ و همکاران [7] تبدیل هیلبرت نرمال شده به دامنه را براي در نظر گرفتن شرط قضیه بدروسین پیشنهاد کردهاند اما شرط مربوط به قضیه نوتال همچنان برآورده نشده باقی مانده است. براي عدم مواجهشدن با محدودیت قضیه نوتال، هوآنگ در [8] تابع arc-cos را به عنوان جایگزین تبدیل هیلبرت در محاسبه تابع فاز پیشنهاد کرده است. اما به علت بینقص نبودن عملیات نرمالسازي، مقادیري خارج از دامنه 1]،[-1 براي موج حامل به دست میآید که مانعی جدي براي استفاده از این تابع میباشد.
در این مقاله ابتدا روشی پنج مرحلهاي به نام تبدیل ارتقاءیافته ارائه شده [9,10] که در آن تحلیل طیفی هیلبرت با روشی جدید که مشکلات تبدیل هیلبرت را
نداشته باشد جایگزین شده است، در ادامه بر پایه روش ارتقاءیافته در قالب مطالعه موردي یک ساختمان پانزده طبقه - ساختمان فاکتور - ، یک روش شناسایی فرکانسهاي طبیعی و استخراج اشکال مودي بر پایه دادههاي خروجی-تنها سازههاي چند درجه آزاد پیشنهاد گردیده است
در روش شناسایی پیشنهادي، فرکانسهاي طبیعی به وسیله یک طیف حاشیهاي میانگین شناسایی میشوند، سپس مود شکلهاي متناظر با هر فرکانس طبیعی محاسبه میشود. در این روش صحت هر فرکانس طبیعی از طریق قضاوت در مورد مود شکل متناظر با آن تعیین میشود. قبل از شرح روشهاي پیشنهادي، مروري اجمالی بر تبدیل کلاسیک هیلبرت-هوآنگ و محدودیتهاي مرتبط با آن در بخش تحلیل طیفی هیلبرت انجام میشود.
2. تبدیل کلاسیک هیلبرت-هوآنگ و محدودیتهاي مرتبط با آن
تبدیل کلاسیک هیلبرت-هوآنگ از دو بخش تجزیه تجربی مودي و تحلیل طیفی هیلبرت تشکیل شده است. تجزیه تجربی مودي به عنوان قسمتی کلیدي شرط لازم براي استفاده از تحلیل طیفی هیلبرت را فراهم می کند. سپس به وسیله تحلیل طیفی هیلبرت توزیع فرکانس و دامنه سیگنال به صورت متغیر با زمان به دست میآید. همانطور که توسط هوآنگ و همکاران در [1] شرح داده شده، تجزیه تجربی مودي روشی تجربی براي تجزیه یک سیگنال به تعداد متناهی از توابع نوسانی داراي تبدیل هیلبرت خوشرفتار است که به آنها توابع مودي ذاتی گفته میشود.
هر تابع مودي ذاتی داراي شرایط زیر است؛ - 1 - در کل محدوده زمانی سیگنال تعداد اکستریمم ها با تعداد عبور از صفرهاي سیگنال برابر و یا حداکثر یک واحد اختلاف داشته باشند، - 2 - در هر لحظه از زمان، میانگین دامنه آنی - پوش - تعریف شده بر روي ماکزیممهاي نسبی و پوش تعریف شده بر روي مینیممهاي نسبی برابر صفر باشد. گامهاي تجزیه تجربی مودي سیگنالی مانند x - t - ، به صورت زیر است؛ در گام اول تمام اکستریممهاي نسبی x - t - تعیین میگردد.
در گام دوم بین ماکزیممهاي نسبی - همچنین مینیممهاي نسبی - یک درونیابی درجه سوم انجام میشود تا پوش ماکزیمم، emax، - همچنین پوش مینیمم، - emin به دست آید. در گام سوم میانگین پوشهاي ماکزیمم و مینیمم، m1، محاسبه شده و در گام چهارم تفاضل آن از x - t - محاسبه میشود، که به آن اولین پیش تابع مودي ذاتی، h1، گفته میشود. اگر h1 شروط یک تابع مودي ذاتی را ارضاء کند به عنوان اولین تابع مودي ذاتی انتخاب میشود.
درغیراینصورت گامهاي اول تا چهارم که موسوم به عملیات غربالگري است، بر روي h1 آنقدر تکرار میشود تا اولین تابع مودي ذاتی، c1، حاصل شود. تفاضل c1 و x - t - محاسبه میشود تا اولین باقیمانده، r1، به دست آید. حال گامهاي اول تا چهارم بر روي r1 تکرار میشود تا توابع مودي ذاتی بعدي استخراج شوند. با اتمام عملیات غربالگري، سیگنال x - t - به صورت زیر تجزیه میشود:
هدف از تحلیل طیفی هیلبرت به دست آوردن فرکانس و دامنه آنی توابع مودي ذاتی به وسیله تبدیل هیلبرت و فراهم کردن توزیع دامنه نسبت به زمان و فرکانس میباشد. براي هر تابع حقیقی c - t - از کلاس LP تبدیل هیلبرت، y - t - ، به صورت زیر تعریف میشود:
که P نشان دهنده مقدار ویژه کوشی انتگرال تکین است. براي تعریف تابع فاز، θ - t - ، سیگنالی تحلیلی متناظر با c - t - به صورت زیر تعریف میشود:
به A - t - و θ - t - به ترتیب دامنه آنی - پوش - و تابع فاز گفته میشود. با تعاریف فوق c - t - را میتوان به صورت زیر نوشت:
که ℜ - ⋅ - نشانگر بخش حقیقی عدد مختلط میباشد. اگر c - t - را یک تابع مودي ذاتی در نظر بگیریم، در تحلیل طیفی هیلبرت هر تابع مودي ذاتی به صورت A - t - cosθ - t - و تبدیل هیلبرت متناظر با آن نیز به صورت A - t - sinθ - t - است که A - t - تابعی همواره مثبت و θ - t - تابعی با مشتق همواره نامنفی است. در نهایت فرکانس آنی c - t - به صورت مشتق تابع فاز تعریف میشود:
با اعمال تبدیل هیلبرت به همه توابع مودي ذاتی، سیگنال x - t - را میتوان به صورت زیر نوشت:
با توجه به رابطه - 7 - میتوان دامنه و فرکانس توابع مودي ذاتی را در یک نمودار سه بعدي به صورت متغیر با زمان نمایش داد. همچنین میتوان دامنه را به صورت تغییرات رنگ به نمودار دو بعدي زمان- فرکانس اضافه نمود. طیف به دست آمده از این طریق طیف هیلبرت، H - f,t - ، سیگنال x - t - نامیده میشود. طیف حاشیهاي هیلبرت نیز به صورت زیر تعریف میشود:
که در آن h طیف حاشیهاي هیلبرت است. طیف حاشیهاي هیلبرت سهم هر فرکانس از دامنه آنی سیگنال در بازه زمانی T را نشان میدهد.
3. تبدیل ارتقاءیافته هیلبرت-هوآنگ
در این بخش براي ارتقاء عملکرد تبدیل کلاسیک هیلبرت-هوآنگ در قسمت تحلیل فرکانسی، تبدیل ارتقاءیافته پیشنهاد میشود
در تبدیل ارتقاءیافته با الگو برداري از تحلیل طیفی هیلبرت، هر تابع مودي ذاتی به صورت یک A - t - cosθ - t - در نظر گرفته میشود با این تفاوت که هیچکدام از توابع A - t - و cosθ - t - به وسیله تبدیل هیلبرت محاسبه نمیشوند. تبدیل ارتقاءیافته هیلبرت-هوآنگ به صورت زیر در پنج مرحله ارائه شده است:
- 1 تجزیه تجربی مودي به سیگنال اعمال میشود و دامنه آنی، A - t - ، هر تابع مودي ذاتی مطابق روش تبدیل هیلبرت نرمال شده محاسبه میشود.
- 2 مقادیر مثبت هر تابع مودي ذاتی به تابع درونیاب عبور کننده از ماکزیممهاي نسبی و مقادیر منفی آن به قدر مطلق تابع درونیاب عبور کننده از مینیممهاي نسبی نرمال میشوند تا موج حامل متناظر با هر یک از توابع مودي ذاتی به دست آید. سپس مقادیر مثبت موج حامل به دست آمده به »منحنی اصلاح کننده بالایی« و مقادیر منفی آن به قدر مطلق »منحنی اصلاح کننده پایینی« نرمال میشود تا موج حامل تصحیح شده، cosθ - t - ، متناظر با هر یک از توابع مودي ذاتی به دست آید.
منحنیهاي اصلاحکننده به صورت منحنیهاي تکهاي پیوسته تعریف میشوند که با شیب صفر از اکستریممهاي نسبی عبور میکنند. با انجام اصلاح فوق، موج حامل تصحیحشده در 1]،[-1 قرار میگیرد و موانع موجود براي اعمال تابع arc-cos برطرف میگردد.
- 3 تابع arc-cos به هر یک از موجهاي حامل تصحیح شده اعمال میشود و تابع فاز، θ - t - ، متناظر با هر یک از توابع مودي ذاتی به صورت یک تابع صعودي استخراج میگردد. استفاده از تابع arc-cos باعث رفع محدودیت قضیه نوتال در محاسبه مقادیر صحیح تابع فاز میشود.
- 4 مطابق تعریف براي محاسبه فرکانس آنی باید مشتق تابع فاز محاسبه شود، اما اگر به هر دلیل تابع فاز آلوده به نوفه باشد، محاسبه فرکانس منجر به پراکندگی زیاد در فرکانس آنی میشود که براي مقابله با این موضوع قبل از مشتقگیري از تابع فاز، یک منحنی هموار کننده به تابع صعودي فاز برازش میشود. یک منحنی هموارکننده مانند S - p - به صورت رابطه - 9 - تعریف میشود. C - x - در این تعریف یک منحنی درجه سوم درونیاب است که مجموعهاي از نقاط گسسته - گرهها - مانند - xi,yi - را بهگونهاي به هم متصل میکند که در گرهها داراي مشتقات اول و دوم پیوسته باشند. منحنی هموارکننده، با عبور از میان گرهها فرآیند اصلی را تخمین میزند.
در تعریف فوق، p پارامتر هموارسازي نامیده میشود که مقادیر مناسب براي آن در بازه 1]،[0 قرار دارد. w و λ به ترتیب بردار وزن و تابع وزن هستند که در این مقاله برابر 1 در نظر گرفته شدهاند. حالت مناسبی از انطباق منحنی هموارکننده هنگامی رخ میدهد که p مقداري نزدیک به مقدار ویژه ph 1/ - 1 h3 / 6 - داشته باشد، که در آن h متوسط فاصله بین xi ها است، اما لزوما استفاده از این مقدار ویژه منجر به نتایج مطلوب نخواهد شد
با اعمال چندجملهاي هموارکننده به مقادیر گسسته فاز، تابع هموارشده فاز محاسبه میشود. سپس فرکانس آنی یک تابع مودي ذاتی به صورت مشتق تابع هموارشده فاز تعریف میشود.
- 5 با داشتن فرکانسهاي آنی و دامنههاي آنی توابع مودي ذاتی، طیف ارتقاءیافته سیگنال، E - f , p,t - ، قابل ترسیم است.
