بخشی از مقاله
خلاصه
در این تحقیق ارتعاشات آزاد ورقهای دایرهای توخالی مستقر بر بستر الاستیک بررسی گردید و سعی شد تا این تئوری بر صفحات گرافنی بسط داده شود. در ابتدا از تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول استفاده شده و تأثیر ضریب الاستیک بستر بر روی ارتعاشات ورق مورد مطالعه قرار گرفت. سپس با استفاده از روش اجزا محدود، ورق دایرهای سوراخدار مدلسازی شده و ارتعاشات آن شبیهسازی گردید. نتایج از انطباق مدل تهیهشده با روش تئوری دارد. سپس مدلی از گرافن تهیه شد.
گرافن شامل لایههای نامحدود از اتمهای کربن-SP2 هیبرید میباشد. در داخل یک لایه، هر اتم کربن C به سه اتم کربن دیگر متصل شده است و یک آرایه مسطح از ششضلعیهای هگزاگونال تشکیل داده است. گرافن با اندازه 25*25 نانومتر با روش اجزا محدود مدل گردید و شرایط در نظر گرفته شده در حالت ورق توخالی روی آن اعمال گردید تا بتوان ارتعاشات آزاد آن را با استفاده از روش تغییر شکل برشی مرتبه اول بدست آورد. نتایج بدست آمده شامل فرکانسها و شکل مودهای ارتعاشی در این مقاله ذکر گردیده است. اثر ضریب بستر الاستیک روی فرکانسها نشان از افزایش فرکانس با افزایش ضریب بستر دارد که به علت افزایش سختی سازه به خاطر افزایش ضریب بستر الاستیک است.
.1مقدمه
ورقها کاربرد بسیار زیادی در مدلسازی بسیاری از سازهها دارند، در واقع هر سازهای که یک بعد آن در مقایسه با دو بعد دیگر آن بسیار کوچک باشد میتواند با استفاده از مدلهای موجود برای ورق مدلسازی شود. در این تحقیق ارتعاشات آزاد ورقهای دایرهای توخالی ضخیم مستقر بر بستر الاستیک بررسی خواهد گردید.
به منظور نزدیکتر شدن مدل سازه به هندسه واقعی و تکمیل تحقیقات پیشین در این تحقیق از تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول [1] استفاده خواهد شد.
این تئوری برای ورقها نسبت به تئوری کلاسیک ورقها دارای این مزایا میباشد که به دلیل در نظر گرفتن تغییر شکلهای برشی و لختی دورانی اجزا سازه - که در تئوری کلاسیک در نظر گرفته نمیشوند - ، تخمین دقیقتری از رفتار سازه به خصوص برای ورقهای ضخیم در پی خواهد داشت. با توجه به اهمیت موضوع تحقیقات گستردهای در زمینهی ارتعاشات آزاد و پاسخ دینامیکی سازهها به جرم متحرک و یا بار متحرک انجام گرفتهاند.
استیپ و همیگ [2]، با استفاده از روش اجزا محدود اقدام به تحلیل ارتعاشات آزاد ورقهای دایروی توپر نمودند. آنها قسمتهایی از مرزی بیرونی ورق را درگیر و قسمتهایی را نیز آزاد در نظر گرفته و فرکانسهای طبیعی و شکل مودهای متناظر را بدست آوردند. آنها همچنین نتایج آزمایشگاهی را نیز برای مسئلهی مذکور ارائه نموده و صحت تحلیل اجزا محدود خود را تائید نمودند. هاتچینتسون [3] برای ورق دایروی مدل شده بر اساس تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول یک حل دقیق و یک حل تقریبی ارائه نمود و نتایج این دو حل را با یکدیگر مقایسه نمود.
با استفاده از تئوری الاستیسیتهی سهبعدی، ژو و همکارانش [4] اقدام به تحلیل سهبعدی ارتعاشات آزاد ورق دایروی مستقر بر بستر پاسترناک نمودند. آنها با استفاده از چندجملهایهای چبیشف و روش ریتز اقدام به بدست آوردن فرکانسهای طبیعی ورق نمودند. آنها تأثیر نسبت شعاعها و ضرایب بستر را بر روی فرکانسهای طبیعی ورق بررسی نمودند.
یالسین و همکارانش [5] روش تبدیل دیفرانسیلی را به کار گرفته و یک حل نیمه تحلیلی را برای ارتعاشات ورقهای دایروی با شرایط مرزی ساده، درگیر و یا آزاد ارائه نمودند. آنها با استفاده از این روش معادلهی دیفرانسیل حاکم را به یک معادلهی جبری تبدیل نموده و با حل آن تحت شرایط مرزی مختلف فرکانسهای طبیعی و شکل مودهای ورق را بدست آوردند. آنها دقت تحلیل خود را از طریق مقایسهی نتایج با حل دقیق ارائه شده بر اساس توابع بسل بررسی نمودند.
سنجانوویچ و همکارانش [6] با استفاده از توابع بسل یک حل دقیق و جامع را برای تحلیل ارتعاشات آزاد ورقهای دایروی توپر ارائه نمودند. آنها فرکانسهای طبیعی ورق و شکل مودهای ارتعاشی را برای شرایط مرزی مختلف بدست آوردند. با استفاده از نظریهی تغییر شکل برشی مرتبه اول، واثقی امیری و همکارانش[7]، پاسخ دینامیکی یک ورقنسبتاً ضخیم تحت جرم متحرک در یک مسیر دلخواه را مورد بررسی قرار دادند. نکتهی جالب توجه در این کار آن بود که آنها جرم متحرک را هم به شکل متمرکز و هم به صورت گسترده در نظر گرفتند.
اسچیفر و همکارانش [8] یک حل دقیق را برای پاسخ گذرای یک ورق دایروی با لبههای درگیر تحت بار ضربهای بدست آوردند. آنها صحت پاسخ خود را از طریق مقایسهی نتایج با تحلیل عددی ارائه شده به روش اجزا محدود سنجیدند.
با استفاده از توابع بسط سری فوریه، گویونگ و همکارانش [9] به تحلیل سهبعدی ارتعاشات آزاد ورق قطاعی مدرج تابعی با شرایط مرزی دلخواه پرداختند. آنها ماده را غیرهمگن و تغییرات خواص آن را در هر دو جهت شعاعی و ضخامت در نظر گرفته و تأثیر متغیرهای موجود در رابطهی تغییر خواص را بر روی فرکانسهای طبیعی ورق بررسی نمودند. پاسخ ارتعاشات اجباری میرای تیرهای با تکیهگاههای ساده تحت بارهای متحرک سبک و سنگین توسط کومار و همکارانش [10] ارائه شد. آنها تأثیر میرایی را بر روی پاسخ دینامیکی تیر بررسی نمودند.
.2استخراج معادلات حاکم و حل معادلات در حالت ارتعاشات آزاد
در این بخش ضمن بیان هندسهی مسئله، معادلات حاکم و شرایط مرزی با بهرهگیری از اصل هامیلتون و مفاهیم انرژی و کار استخراج خواهند شد و بعد از آن با استفاده از متغیرهای بدون بعد مناسب، شکل بدون بعد آنها بیان خواهند شد.
در شکل 1 هندسهی مسئلهی مورد بررسی نشان داده شده است. مطابق با این شکل یک ورق دایروی با شعاع داخلی b، شعاع داخلی a و ضخامت h در نظر گرفته شده است.
شکل -1 ورق دایروی توخالی مستقر بر بستر الاستیک
بر اساس تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول، میدان جابجایی در یک ورق دایرهای به شکل زیر میباشد :
در این پژوهش به منظور استخراج معادلات حاکم و شرایط مرزی از اصل هامیلتون استفاده خواهد شد. بر اساس اصل هامیلتون با در نظر گرفتن U به عنوان انرژی کرنشی، T به عنوان انرژی جنبشی و W به عنوان کار نیروهای خارجی، معادلات حاکم از رابطهی زیر قابل استخراج خواهند بود
