بخشی از مقاله
این مقاله دارای فرمول های زیادی میباشد
چکيده -دراين مقاله پاسخ ديناميکي و سه بعدي مفصل زانوي انسان با استفاده از تئوري هاي سينگولار مورد بررسي قرار گرفته است .مدل هاي ارائه شده براي مفصل زانو معمولاً به صورت معادلات ديفرانسيل -جبري مي باشند که براي حل اين معادلات بهتر است از روش سينگولار استفاده کرد چرا که در اکثر مدلسازي هاي انجام شده ، قيد جبري حاصل ، غير خطي بوده و به راحتي نمي توان با جايگذاري قيد جبري در معادلات ديناميکي مسئله را حل کرد. بنابراين دراين مقاله ، مفصل زانو با استفاده از تئوري هاي سينگولار مدل شده و نتايج شبيه سازي بيان و تحليل شده است .
کليد واژه - زانو، سينگولار، مدلسازي ، معادلات ديفرانسيل -جبري .
۱-مقدمه
سيستم هاي سينگولار در تحليل سيستم هاي مهندسي (از قبيل مدارهاي الکتريکي ، سيستم هاي قدرت ، مهندسي هوا و فضا، پروسه هاي شيميايي ، سيستم هاي اجتماعي ، سياسي و اقتصادي و ... ظاهر مي شوند. تحقيقات مرتبط با اين سيستم ها از دهه ۶۰ و با مطالعه مدارهاي الکتريکي و مدلسازي آنها به صورت يک مدل تکين آغاز گرديد. در واقع اولين کاربردها در مسائل اغتشاشات تکين ظاهر گرديد، چرا که در اين مسائل ، مدل با کاهش درجه به مدلي جبري - ديفرانسيلي تبديل مي گرديد. در مسائل مذکور، از ايده معادلات جبري -ديفرانسيلي براي کاهش پيچيدگي مسائل اصلي استفاده مي شد. با توجه به مسائل فوق و مسائل ديگري که در بررسي آنها با سيستم هاي سينگولار برخورد گرديده است ، نياز به ارائه قضايايي براي توجيه رفتار چنين سيستم هايي بيش از پيش لازم به نظر مي رسيد. درنتيجه تحقيقات گسترده اي صورت گرفت که حاصل آن تئوري سيستم هاي سينگولار مي باشد که در واقع تعميمي است بر نظريه هاي سيستم هاي استاندارد پيشين [۴]. نام هاي ديگر سيستم هاي سينگولار عبارت است از: سيستم هاي توصيفي ١، سيستم هاي ناصريح ٢، سيستم هاي فضاي حالت تعميم يافته ٣، سيستم هاي ديفرانسيل -جبري ٤ و سيستم هاي شبه حالت ٥. سيستم هاي سينگولار کاربردهاي وسيعي در سيستم هاي ابعاد وسيع ، سيستم هاي اقتصادي ، سيستم هاي قدرت ، بيوشيمي ، رباتيک و ... دارند[۴].
همانطور که اشاره شد يکي از کاربردهاي سيستم هاي سينگولار در تحليل سيستم هاي ديفرانسيل - جبري مي باشد و به دليل اين که برخي از سيستم هاي بيولوژيکي به صورت معادلات ديفرانسيل - جبري مدل مي شوند و بطور کلي محققين به منظور حل چنين معادلاتي معمولاً از روش هاي عددي يا از جايگزين کردن قيد جبري در معادلات ديفرانسيل استفاده مي کنند.
بطور کلي در اجسامي که از اتصال چند جرم با مفصل تشکيل شده اند، مفاصل موجود، حرکت اجسام را نسبت به يکديگر مقيد مي کنند، بنابراين در مدل اين سري از مسي يبساتشم ندها، به معماعدالادلات ت جديبفرري انسيکل ه ا بضياافنه گرمي قيشوودند[ا۳ض]ا.فه شده در سيستم هاي مقيد، قيود معمولاً به صورت نتيجه اي از تماس ميان دو ( يا بيشتر) جسم ، حاصل مي گردد و قيود، حرکت اجسامي را که روي آن ها عمل مي کند، محدود مي کند. براي هر قيد يک معادله ي قيدي و يک نيروي قيدي وجود دارد. هندسه و سينماتيک هاي تماسي را معادله قيدي مي نامند و نيروي قيدي ، نيروي تماسي است که عکس العمل نيز ناميده مي شود[۸].
قيود اعمالي به معادلات ديفرانسيل در سيستم هاي مکانيکي وبيومکانيکي را به دو دسته عمده مي توان تقسيم کرد:
۱-قيد هولونوميک
۲-قيد غيرهولونوميک [۸].
درنتيجه مدلسازي و محاسبات سيستم هاي ديناميکي مقيد مانند اجسامي که با مفصل به هم وصل شده اند، معمولاً شامل معادلات ديفرانسيل - جبري با انديس ۱ و انتگرال - هاي عددي مي باشند[۱].
مزيت روش سينگولار بر روش هاي معمول اين است که در روش هاي معمولي در برخي از موارد به علت حجم زياد محاسبات ، امکان حذف قيود سينماتيکي و يا جايگزين کردن آنها در معادلات ديناميکي براحتي وجود ندارد بويژه در قيود غيرهولونوميک که معادلات حاصل از جايگزيني قيود در معادلات ديفرانسيل روابطي برحسب تانژانت متغير خواهد بود. همچنين در مواردي که جايگزيني انجام مي گيرد، احتمال حذف برخي از جواب هاي اصلي و يا وارد شدن جواب هاي خارجي وجود دارد که منجر به پاسخ هاي اآشستانباي ه اممي کاشن وپدذ.يربه نعمبي اربات شدديگخرصاويصن اً جداريگزسييني ستم ههماييشي ه کبه داراي حلقه هاي سينماتيک بسته باشند. همچنين به دليل حذف نقاط سينگولاريتي در روش هاي معمول به نظر مي رسد که مدلسازي دقيق نمي باشد. همچنين برخي از روش هاي معمول براساس روش هاي عددي مي باشند که داراي خطاي بالايي مي باشند. علاوه بر اين مدل سينگولار نسبت به مدل هاي غيرسينگولار توصيف کاملتري از رابطه ورودي -خروجي را نشان مي دهد. چرا که خواص ديناميک و سينماتيک را در يک مدل که شامل معادلات ديفرانسيل - جبري مي باشند، جمع مي نمايد[۸].
بنابراين در اين مقاله سعي شده است يکي از سيستم هاي بيولوژيکي يعني حرکت مفصل زانو که مدل آن به صورت معادلات ديفرانسيل -جبري است با استفاده از تئوري هاي سينگولار مدل گردد.
در اين مقاله پاسخ ديناميکي و سه بعدي مفصل زانوي انسان با استفاده ازتئوري هاي سينگولار مورد بررسي و تحليل قرار گرفته است . مدل ديناميکي -آناتومي سه بعدي ارائه شده ، شامل دو بخش استخوان درشت ني و ران مي باشد که در تماس با يکديگر هستند. در مدل ارائه شده هر سطح مفصلي در مفصل درشت ني - ران به صورت توابع رياضي و رباط هاي مفصل به صورت فنرهاي الاستيک غيرخطي مدل مي شوند. با استفاده از شش پارامتر کينماتيک، شش درجه آزادي براي حرکت مفصل در نظر گرفته شده است [۱].
۲-مدل مفصل زانو
مدل ارائه شده شامل معادلات ديفرانسيل غيرخطي مرتبه دوم و قيدهاي جبري غيرخطي مي باشد. به منظور بدست آوردن مدل ، مفصل زانو را از دو ديدگاه تحليلي سينماتيکي وديناميک حرکت مورد بررسي قرار مي دهيم ، که در اين مقاله ابتدا تحليل سينماتيکي و سپس تحليل ديناميکي بيان شده است [۱].
۲-۱ تحليل سينماتيکي
به طور کلي سينماتيک ، يک ديدگاه و توصيف از حرکت را ارائه مي دهد. ديدگاهي که در آن توجه به هندسه حرکت و بيان آن به صورت تابع زماني مدنظر مي باشد. در سينماتيک هيچ اعتنايي به نيروها و گشتاورهاي مولد حرکت نمي شود.
بلکه صرفاً هدف بدست آوردن يک تحليل رياضي حرکت در زمان مي باشد. اين تحليل شامل بيان موقعيت ها نسبت به زمان است . در تحليل سينماتيک ، دو مسئله سينماتيک مستقيم و سينماتيک معکوس مطرح مي باشد[۸]، معادلات حاصل از تحلیل سینماتیکی حرکت مفصل زانو به صورت روابط 1 تا 8 به دست می اید .
که در روابط 2 و 3 مقدار مختصات نقطه اتصال در سیستم درشت نی ران هستند .
۲-۲ تحليل ديناميکي
معادلات حرکت شامل معادلات ديفرانسيل مرتبه دو غيرخطي نيوتن - اولر مي باشند. معادلات نيوتن شامل روابط زير مي باشد[۱].
که در معادلات نيوتن ، m جرم ساق پا، مولفه هاي شتاب خطي مرکز جرم ساق پا، مولفه هاي وزن ساق پا و مولفه هاي نيروهاي خارجي هستند.
معادلات اولر شامل روابط (۱۲) تا (۲۰) مي باشد:
که در روابط مربوط به معادلات اولر مجموع گشتاورهاي همه نيروهاي اعمالي به درشت ني هستند و ، گشتاور اينرسي اصلي ساق پا مي باشند. حرکت کشيدگي و خميدگي حول محور ران ، حرکت چرخش داخلي - خارجي درشت ني حول محور درشت ني و حرکت دور و نزديک شدن حول محور آزاد تعريف مي گردد. [۶].
