مقاله مدل سازی آشفتگی ها در تخمین زوایای دریافت توسط الگوریتم MUSIC

بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

مدل سازي آشفتگي ها در تخمين زواياي دريافت توسط الگوريتم MUSIC

چکيده : در اين مقاله ، به بيان بعضي از ضعفهاي الگوريتم MUSIC بعنوان يک الگوريتم مبنا از نوع الگوريتمهاي زير فضاي سيگنال در جهت يابي راديويي خواهيم پرداخت و آشفتگي هايي نظير عدم کاليبراسيون ، نامشخص بودن مشخصات مکاني ، اثر تزويج حسگرها، روي هم افتادگي کانالها و غيره را بصورت رياضي مدلسازي نموده و با ارايه يک نمونه مثال عملي ميزان اثر مخرب هر يک از آشفتگيها را در خطاي جهت يابي توسط اين الگوريتم نشان خواهيم داد. در ادامه با بيان حد کرامر-راو بعنوان حداقل خطاي قابل دستيابي در دو حالت آشکار سازي منابع و جدا سازي آنها از يکديگر، نشان خواهيم داد که اثرات آشفتگيها را مي توان از طريق بهينه نمودن تعدادي از پارامترها نظير شکل هندسي آرايه يا محل قرارگيري حسگرهاي آرايه ، کاهش داد.

واژه هاي کـليدي : الگوريتم MUSIC ، اثرات آشفتگي ها، حدکرامر-راو

۱-مقدمه
استفاده از الگوريتم هاي زير فضاي سيگنال در تخمين جهات دريافت (DOA) سيگنالهاي باند باريک در ميان طراحان و استفاده کنندگان سيستم هاي DF بسيار جذاب نمود پيدا کرده است . در ميان مجموعه الگوريتم هايي که بعـنوان زير فضـاي سيگنـال شنـاخته شده اند الگوريتم MUSIC [ ١،٢ ] بطور وسيعي مورد مطالعه و استفاده قرار گرفته است . آزمايشگاه لينکولن MIT صدها شبيه سازي مختلف از طريق اين الگوريتم انجام داده است و آن را کاملاً اميد بخش دانسته است [٣]. محبوبيت اين الگوريتم شايد بواسطه شموليت گسترده آن باشد تا آنجا که بر روي هر آرايه دلخواهي با ساختار و پاسخ مشخص بکار مي رود و مي تواند حتي چندين پارامتر از يک منبع را نظير زواياي رأس و سمت ، برد، پلاريزاسيون و ... استخراج نمايد. هزينه پرداخت شده براي اين شموليت ، آن است که پاسخ آرايه ، براي تمامي ترکيب هاي محتمل از پارامترهاي منبع مشخص باشد، به اين معنا که يا پاسخ بايد اندازه گيري شود (کاليبره شود) و سپس ذخيره گردد و يا طراح قادر به مشخص سازي آن بطور تحليلي باشد [٤,١] ، بعلاوه دانش اوليه اي از ماهيت آماري نويز و حتي منابع تداخلي احتمالي لازم است . البته اين مفروضات که پاسخ آرايه و کوواريانس نويز بطور دقيق مشخص باشند هرگز در عمل به وقوع نمي پيوندد و اين امر بواسطه مسائل عملي نظير تغييرات در آب و هوا، محيط ، موقعيت آنتن و
... رخ مي دهد. همچنين ممکن است پاسخ آرايه نسبت به زماني که کاليبره شده است ، تغيير کرده باشد و حتي ممکن است عناصر کاملاً مثل هم نباشند و مکانهاي آنها دقيقاً مشخص نباشد.در اين مقاله ، تمرکز برروي شناخت آشفتگي هاي مختلف و مؤثر موجود بر محيط در آشکار سازي و جدا سازي منابع توسط الگوريتم MUSIC خواهد

بود. در قسمت دوم مدل سازي يک سيستم پردازش آرايه ارائه خواهد شد. در بخش سوم به معرفي الگوريتم هاي زير فضاي سيگنال خواهيم پرداخت و در بخش چهارم قالب کلي مدلهاي آشفتگي را به فرمي کاملاً ساده معرفي مي کنيم که نتايج آن در چند شکل شبيه سازي شده است .
از اشکال بدست آمده کاملاً مشخص است که خطاي تخمين جهت دريافت گاهي آنچنان زياد است که الگوريتم
MUSIC را کاملاً ناکارا مي سازد. لذا در بخش پنجم محاسبه حد کرامر-راو١ را براي دو حالت آشکار سازي و جدا سازي منابع نشان مي دهيم . مشخص خواهد شد که خطاي بوجود آمده در الگوريتم MUSIC توسط پارامترهايي نـظير مـکان هنـدسي حسـگرهاي آرايه قابل کاهش است . نتايج اين بخش نيز در پايان براي دو آرايه با ابعاد مختلف آمده است .

٢-مدلسازي آرايه با دقت تفکيک پذيري فوق العاده

در نظر بگيريد آرايه اي شامل N حسگر در حال دريافت M سيگنال بطور همزمان از M جهت متفاوت مي باشد.
چنين آرايه اي در شکل (١) نشان داده شده است .

شکل (١): يک آرايه خطي شامل N حسگر در حال دريافت M سيگنال خــروجـي ظـاهـر شـده در روي هــر عنصـر از آرايــه را مي توان چنين نوشت :

و یا

در فـرمول فـوق بـردار سـيگنالهاي دريافتي توسط آرايـه مـي باشند. همچنين بردار خروجي آرايه و
بـردار نويـز موجـود بر روي حسگرهاي آرايه مي باشد و فرض بر آن است که اين نويز، گوسي ، سفيد و جمع پذير است همچنـين مـاتريسي اسـت شا مل بردارهـاي جهت نماي

جهات سـيگنال هـاي دريافتـي هسـتند کـه بـايد توسط الگوريتم مطلوب که در اين مقاله همـان الگوريـتم MUSIC مي باشد، استخراج شوند. dx و dy نـيز بردارهايـي هسـتند کـه شامل موقعيت هاي مکاني عناصـر آرايه مي باشند و نسبت به نيم موج نرماليزه شده اند. نيز بهرة جهتي عناصر آرايه ميباشد که در حالـت کلـي مـي توانـد بصـورت يک بردار نيز نشان داده شود. در اين صورت :

بـه عنوان ضرب هادامارد و يا ضرب عنصر به عنصر شـناخته شـده اسـت . همچنين بهتر است که مرکز آرايه را بعـنوان مـبدأ فـازي انتخاب کنيم ، در محاسبات بعدي اين مطلـب رعايـت شـده اسـت . همانطور که گفتيم الگوريتم
MUSIC براي آن طراحي شده است تا پاسخ معادله (١) را کـه همـان جها ت دريافت هستند استخراج نمايد، لذا اگر هـيچ نويزي در محيط وجود نداشته باشد يا بعبارت ديگر آنگاه پاسخ آرايه کاملا دقيق خواهد بود، اما بدليل عــدم اجـتـناب از وجـود نويــز پاســخ بدســت آمـده بصورت مجانبي به پاسخ واقعي ميل مي کند.

۳- الگوريتم هاي زير فضاي سيگنال همچــنانکه گفــته شــد مــراحل انجــام تخميــن بــه روش زيرفضـاي سـيگنال توسـط تجـزيه مقاديـر ويـژه ماتريس

در معـادـله (٢) Rssماتريس کوواريـانـس سـيگنـال هـاي تابشـي و تـوان نـويز در بـانـد فرکانسي مشخص شده ميباشـد. همچنيـن {۰}E نشـاندهنده متوسـط عبارت داخل کروشـه مـي باشـد. بـراي آنکه بتوان از الگوريتم MUSIC بخوبي استفاده کنيم ، نياز است که ماتريس کوواريانس Rss داراي مرتـبه کـامل باشد يعني M =Rss() رتبه ، اين مسئله بـدان معنـاسـت که سيگنالهاي محيـطي بايد غير همـبسته باشـند .تـجـزيه ماتريس Rxx به مقادير و بردارهاي ويژه به شکل زير انجام مي پذيرد.

بـردارهاي ويـژه بصـورت يک مجموعه پايه ارتونرمال فرض خواهند شد، به عبارت ديگر
را بعنوان زيرفضاي سيگنال بسـط M بـردار از ماتريس Es تعـريف مي کنند و مؤلفه هاي بسط داده شده توسط En را کـه ارتوگونـال با ES هستند، زيرفضاي نويز مي نامند. اين اصطلاح به اين دليل بکار گرفته مي شود که :

يک روش استخراج بردارهاي جهت نما آن است که بدانيم تصاوير اين مجموعه بردار در فضاي نويز صفرخواهد شد.
يعني اينکه صفرهاي تابع زير را بدست آوريم :

ماتريس تصوير است وبصورت زير نمايش داده ميشود.

(در ايـنجا فقـط مطرح شد که قابل بسط به مي باشد.) با توجه به منابع مختلف خطا که در عمل ممکن اسـت رخ دهـد تـنها تخميني از بردارهاي ويژه زيرفضاي کوواريـانس سـيگنال دريافتـي صورت مي پذيرد. با فرض همبـسته نبـودن سيـگنال هاي موجـود در محيـط با نويز ميتوان گفت [ ٥ ] :
نويز، ،قابل دستيابي خواهند بود که اين خود باعث مي شـود نتوانـيم را بطور دقيق محاسبه کنيم ، يعني به يک روش ديگـــري نيازمـــنديم . لـــذا در روش اســـتفاده از الـگوريـتم MUSIC فـقط به تخميـن هـايي از DOA که عبارت زير را به حداقل مي رسانند خواهيم رسيد.

اگـر نويـز جمـع پذير و بطور مکاني سفيد نباشد ماتريس کوواريانس آن خواهد شد که ديـگر يـک ماتريـس يکـه نيـست و حداقـل سـازي براساس انجام مي پذيرد [٦].
در مـيان تحلـيل هاي موجود از الگوريتم MUSIC ، آقايان Stocia و Nehorai [٧] از يــک بســط درجــه اول مشــتق فـرمول (٥) اسـتفاده نمودنـد تا عبارات خطا را در تخمين DOA بدست آورند. اگرچه آنها توجه خود را براي حالتي کـه تعـداد نمونـه هـاي دريافتـي سـيگنال ها توسط آرايه محـدود اسـت معطوف نمودند اما مي توان تکنيک آنها را بـراي هـر منـبع خطايـي در حضـور بـردارهاي ويژه نويز (زيرفضاي نويز) بسط داد.
۴-آشفتگي و اثرات آن در جهت يابي خطايـي کـه در تخمين DOA توسط الگوريتم MUSIC يا الگوريتمهاي مشابه به آن نظير Root-MUSIC ايجاد ميشود از هر منبعي ميتواند باشد، به اين معنا که منابع خطا محدود نيستند. از مهمترين اين منابع ميتوان به :
١- اثرات تعداد محدود نمونه هاي دريافتي
٢- نامشخص بودن ماتريس کوواريانس نويز، 
٣- آشفتگي در جهت نماي آرايه ، A
اشـاره کـرد. اثـرات تعـداد محـدود نمونـه هـاي دريافتي هنگامـي ايجـاد ميشـود کـه اندازه گيري کاملي از ماتريس کوواريـانس سـيگنال دريافتـي يعنـي Rxx وجود ندارد. در عمـل مـاتريـس کـوواريـانس نمـونه ها بصورت زير
تعريف ميشود.

خود تخميني از Rxx ميباشد. وقتيکه تعداد نمونه ها، L، محدود باشد سيگنال و نويز ديگر از يکديگر مستقل نيستند. البته وقتي که L يا SNR به مقدار کافي بزرگ باشد آنگاه اثرات تعداد محدود نمونه ها قابل صرفنظر کردن ميباشد. در حقيقت ، در اکثر کاربردها آنچه که باعث محدوديت در مشخصات تخمين مي شود به موارد دوم و سوم برميگردد. براي جداسازي اثرات خطاهاي مختلف در مدل تخمين DOA ، اثرات محدود تعداد نمونه ها و همچنين نويز سفيد را قابل اغماض فرض مي کنيم و همچنين فرض مي کنيم که مقدار دقيق ماتريس کوواريانس موجود نيست . لذا ماتريس کوواريانس آشفته شده ١ يعني چنين خواهد شد.

در اين معادله ماتريس هاي آشفتگي هاي مختلف را نشان مي دهند. ماتريس ∆ شامل خطاهايي است که هم روي سيگنال و هم روي نويز اثر مي گذارد.
اين خطاها را مي توان شامل عدم توازن بهره در گيرنده هاي الکترونيکي ، روي هم افتادگي کانالها٢ و اثرات
~
متقابل تزويج دانست . ماتريس خطايي را نشان مي دهد که در پاسخ طبيعي آرايه ايجاد شده است و معمولا” بدليل عدم اطلاع دقيق از محل حسگرها ايجاد مي شود.
اختلالاتي نظير دامنه و فاز پترن آنتن و تزويج متقابل سيگنال ها از اين نوع هستند. سرانجام ، انحراف از مشخصات آماري نويز سفيد گوسي توسط که يک ماتريس هرميتي است نشان داده مي شود. مهمترين مسئله

براي الگوريتم MUSIC آن است که چگونه وجود و بر روي زيرفضاي نويز اثر ميگذارند.[٥] اثبـات ميکنـد کـه تصويـر بـردار جستجـوگـر واقعـي ( منظـور همــان بردار است که جهات واقعي منابع را نشان ميدهد) به درون زير فضاي نويز آشفته شده تقريباً معادل تصوير بردار آشفته شده به درون زيرفضاي نويز واقعي است . اين موضوع نقش کليدي را در توسعه و ايجاد عبارات خطا در تخمين DOA دارد. شکلهاي (۲) تا (۶) اثر اختلالات مختلف را در آشکار سازي دو منبع با زواياي واقعي
توسـط الگوريتم MUSIC بر روي آرايه دايروي متقارن ٢٤ عنصري با فواصل يکسان و شعاع را نشان ميدهند.
بـراي نشـان دادن دقيـقتر اثـرات آشفـتگي اين نـتـايج در جداول (۱) تا (۵) نيز آمده است .
۵-آشکارسازي ، جدا سازي و حد کرامر-راو
ا ن مهم است که هم واريانس مطلق تخمين را تعيين کنيم و هـم ايـنکه ايـن واريـانس باکمترين مقدار قابل دستيابي توسـط هـر الگوريتمـي مقايسـه شود. براي تخمين زن هاي بايـانس نشـده (يعنـي بـا متوسـط خطاي صفر) اين عمل مقايسـه توسـط حـد کرامـر - راو( CRB )تعيين مي گردد.
CRB توسط معکوس کردن ماتريس اطلاعات فيشر٤ که در ايـنجا بـا JF نشـان مـي دهـيم بدسـت مـي آيد. عناصراين ماتريس چنين تعريف مي شوند

نـيز همـان برداري (شامل پارامترهاي حقيقي ) است ، که بايد عناصر آن تخمين زده شوند، چگالي احتمال پارامـترهاي موجـود در است وقتي که حداقل يکبار در خروجي آرايه مشاهده شده اند.

اگـر اين اتفاق L بار واقع شود کوواريانس پارامتر تخميني يعني شرط زير را اغنا مي کند.

بـا ايـن فـرض کـه از يکديگـر مستقل بوده وسـاکن ، سفيد و گوسي با متوسط صفر باشند مي توان نشان
داد که عناصر JF به شکل زير مي باشند [۸] :

مشتق Rxx برحسب i امين عنصر بردار مي باشد.
در اينجا فرم ساده شده حد کرامر- راو را که در [۹] آمده است بيان و از آن استفاده خواهيم نمود:

و اين عبارت شرط زير را برآورده خواهد ساخت .

ايـن بـدان معناسـت کـه هـرچه تعـداد نمونه هاي دريافتي بيـشـتر شود مقدار عبـارت CRB نيز کـمتر خواهـد شـد.
بطورکلـي CRB را غايت خطاي يک تخمين زننده ميدانند و هميشه عبارات واريانس از آن بيشتر خواهند بود. قابليت آشکار سازي يک سيستم جهت ياب قابليت آن سيستم در تعييـن تعداد منابع ، M، که در محيط وجود دارند و اثر آنها در خروجـي آرايـه ظاهـر شده است مي باشد . در واقع اين مقـدار بعـد فضـاي سـيگنال اسـت کـه تعيين کننده تعداد سـيگنالها مـي باشـد. از طرف ديگر قابليت جداسازي يک DF نـه تنها قابليت آن در آشکارسازي سيگنالها و
سيسـتم منابع است ، که علاوه بر آن در بدست آوردن زاويه هرکدام از مـنابع بـه تنهايـي اسـت ، حتي اگر دقيق نباشد. موقعيت مـنابع نـيز از روي طيف الگوريتم MUSIC ، معادله (٥) يا (٦) ، صـفـرها (يـا پيکـهايـي ) که روي اين طيـف ايجـاد مـي شـود مشـخص مـي شوند پس جداسازي موفق منابع نيازمـند وجـود صفرهاي جداگانه و مستقل (يا پيک ها) در اين طيف مي باشد.
اگـر فـرض کنيم که آرايه فقط يک سيگنال را دريافت مي کـند کـه از جهت مي رسد. معادله CRB آن با قراردادن
چنين خواهد شد.

عـبارت کرامر – راو با افزايش تعداد منابع بطور پيچيده اي مشـکل و حجـيم مي شود، چراکه ديگر دقت آرايه در تخمين  فقط بستگي به نويز جمع پذير حسگرها ندارد و عکس العمل منابع نيز روي يکديگر دراين دقت اثر دارد.
بنابرايـن حالتـي را در نظر مي گيريم که از M منبع موجود فقط -M منبع غيروابسته و دو منبع وابسته به يکديگر در محـيط موجـود باشـد. مي توان اثبات نمود که اگر اين دو منـبع وابسـته از زواياي به آرايه برسند و همچنين هـــــــرکدام از مـــــــنابع نـــــــيز داراي قـــــــدرت باشـند و ضريـب همبـستگي آنـها ρ باشد، معادلة (۱۲) را مي توان چنين نوشت :

در حالتـي کـه هـيچکدام از مـنابع به ديگري وابسته نباشد يعني ، آنگاه معادله (۱۴) به معادله زير تبديل ميشود .

در هـر سـه عبارت (١٣) تا (١٥) بايد به اين نکته توجه داشت که مشـتق بـردار جهـت نـما بـرحـسب پارامتر تخميـن (دراينجا ) است و اگر قرار بر محاسبه
باشـد ايـن مشـتق برحسب خواهد بود. نکته ديگري که بـايد بـه آن توجه داشت آن است که در هر دو حالت بالا عـبارت آشکارسـازي را بکـار برديم و بحثي از جداسازي نشد. براي آشکارسازي تک تک منابع از حد کرامر – راو بـراي تـک منبع استفاده ميکنيم و براي داشتن يک عبارت در مـورد جداسـازي ،از عبارت حد کرامر – راو در مورد