بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
مدل سازي تبديل فاز و کنترل وفقي مقاوم سوئيچينگ عملگرهايي از جنس آلياژ حافظه دار
چکيده
آلياژهاي حافظه دار دسته اي از مواد هوشمند هسـتند کـه بـه دليـل پاره اي از خواص ويژه کاربردهاي صنعتي زيادي در شاخه هاي مختلف مهندسي پيدا کرده اند. اين مواد کرنش هاي بـزرگ و قابـل بازگشـت دارند و ميتوان از آن ها در کابردهايي که کرنش زيـادي نيـاز دارنـد استفاده کرد. در اين مقاله ابتـدا بـا تصـحيح فرضـيات Lagoudas مدلي جديد براي تبديل فاز اين مواد هوشمند ارائه کرده ايم و نتايج را با مدل معروف کسينوسي Liang-Rogers مقايسه کرده ايـم . در کاربردهاي مهندسي روش هاي کنترلي مختلفي براي ايـن عملگرهـا استفاده شده است . در ادامه براي اولين بار به کنترل سوئيچينگ اين عملگرها پرداخته ايـم . بـه ايـن منظـور کـاربرد خاصـي از ايـن مـواد هوشمند را انتخاب کرده و با انتخاب يک تابع لياپانوف مشترک براي تمامي زير سيستم ها به اثبات پايـداري سيسـتم تحـت هـر سـوئيچ دلخواه پرداخته و سپس کنترلر وفقـي مقـاوم سـوئيچينگ را بـر آن اعمال نموده ايم . در پايان مسئله تاخير زماني را براي اين عملگرها در نظر گرفته و نشان داده ايم سيستم مورد نظر با وجـود تـاخير زمـاني پايدار مجانبي فراگير خواهد بود.
واژه هاي کليدي
آلياژ حافظه دار، مدل سينتيک تبديل فاز، سيستم سـوئيچينگ ، تابع لياپانوف مشترک، کنترل وفقي -مقاوم ، تاخير زماني.
مقدمه
مواد هوشمند ١ هر يک خواص ويژه اي دارند که آن ها را گزينـه ي مناسبي براي کاربردهاي مهندسي کرده است . انواع مختلفي از مـواد هوشمند شناخته شده انـد، مـوادي همچـون : آلياژهـاي حافظـه دار ليمرهاي الکترواکتيو٣، فلزات مگنتواستريکتيو٤، مواد پيزوالکتريک ٥ و غيره . آلياژهاي حافظه دار موادي هستند که اگر دچـار تغييـر شـکل شوند ميتوانند با حرارت شکل اوليه خود را بـاز يـابي کننـد. از ايـن خاصيت در طراحي عملگرهاي مکانيکي استفاده هاي زيادي ميشود.
رفتار ترمومکانيکي منحصر به فرد اين مواد نتيجه تبديل بين دو فاز آستنيت (مولد) و فاز مارتنزيت (محصول ) و بالعکس ميباشد[١].
اين آلياژها در مقايسه با عملگرهايي چون موتورDC، سلونوئيد و امثال آن ها چگالي انرژي خيلي بالايي دارند. به عنوان عملگر اين مواد کاربردهاي وسيعي در صنايع مختلف يافته اند، همچون رباتيک [٢]، صنايع هوافضا[٣]، کاربردهاي پزشکي و اورتوپدي[٤] و کاربردهاي MEMS٦ [٥]. دو خاصيت مهم آلياژهاي حافظه دار عبارتند از اثر حافظه ي شکلي و خاصيت فوق کشساني. در پديده ي حافظه ي شکلي ماده ابتدا در فاز مارتنزيت قرار دارد که در آن ماده نرم و انطاف پذير است ، اگر ماده در اين حالت تحت بار قرار گيرد دچار تغيير شکل ميشود، اما با اعمال حرارت ماده به فاز مولد رفته و شکل ابتدايي خود را بازيابي مي کند. پس از سرمايش ماده از فاز آستنيت به مارتنزيت دوقلويي ٧ تبديل مي گردد. پس از اعمال بار مارتنزيت دوقلويي به مارتنزيت غير دوقلويي ٨ تبديل گشته و سيکل بالا مجددا تکرار مي شود. در خاصيت فوق کشساني ماده که ابتدا در فاز آستنيت قرار دارد تحت يک تنش خيلي بزرگ مستقيما به فاز مارتنزيت غير دوقلويي تبديل مي گردد. شکل (١) اين دو خاصيت مواد SMA را نشان ميدهد[٦].
شکل ١: a-خاصيت حافظه شکلي وb – خاصيت فوق کشسانيSMA-[٦]
با توجه به خواص SMA معادلات حاکمه آن ها در دوفاز آستنيت و مارتنزيت متفاوت است و در واقع سيستم بين چند معادله مختلف سوئيچ ميکند. در بررسي پايداري سيستم هاي سوئيچينگ روش هاي مختلفي وجود دارد، از جمله تابع لياپانوف مشترک، توابـع لياپـانوف چندگانه و مفهوم زمان توقف ، در این مقاله ابتدا با تصحیح فرضیات lagoudas به ارائه مدل جدیدی برای تبدیل فاز الیاژ های حافظه دار پرداخته ، سپس با استفاده از توابـع لياپـانوف مشـترک بـه اثبات پايداري يک سيستم خاص از اين مواد هوشمند مي پـردازيم و يک قانون کنترل سوئيچينگ طراحي ميکنيم . در پايان نشان مـي- دهيم سيستم مورد نظر در حضور تاخير زماني نيز يک سيستم پايدار مجانبي فراگير خواهد بود.
مدل سازي تبديل فاز SMA
معادلات حاکمه ي آلياژهاي حافظه دار شامل دو بخـش معـادلات ساختاري (رابطه بين نرخ تنش ، کرنش و کسر مارتنزيتي ) و معادلات سينتيک تبديل فاز مي باشـند. در کاربردهـاي مهندسـي اسـتفاده از مدل هاي پديـدار شـناختي SMA اسـتفاده بيشـتري از مـدل هـاي ترموديناميکي SMA ها دارند. معادله ي ساختاري اولين بار توسـط Tanaka ارائه گرديد و به صورت زير است [٧]:
به ترتيب تنش ، کرنش ، دما، کسـر مـارتنزيتي، مدول الاستيک و ضريب انبساط حرارتي ميباشند و Ω ضريبي است که از رابطه ي زير بدست ميآيد:
از معتبرترين مدل هاي پديدار شناختي سينتيک تبديل فاز مدل کسينوسي Liang-Rogers است [٨]. مدل هاي موفق ديگـري نيـز براي تبـديل فـاز ايـن مـواد توسـط افـرادي چـون Tanaka [٧] و Lagoudas [٩] ارائه شده اند. Lagoudas مـدل خـود را در سـال ٢٠٠٠ ارائه کرد. وي در استخراج مـدل خـود از مفـاهيم قـانون دوم ترموديناميک و انرژي آزاد گيبس استفاده کرد و براي هر دو تبـديل مستقيم و معکوس نيروي ترموديناميکي تبديل فاز را به صورت زيـر تعريف نمود:
که در آن σ تانسور تنش ، ΔS ،αΔ و Δc به ترتيب تفاوت تانسور سـفتي، هـدايت حرارتـي و رسـانش گرمـايي در دوفـاز آسـتنيت و مارتنزيت هستند. ΔS0،Δu0 به ترتيـب تغييـرات انتروپـي و انـرژي داخلي نسبت به وضعيت اوليه هستند. T دماي اوليه و f يـک تـابع سفتي بر حسب کسر مارتنزيتي مي باشد که در ادامه معرفي مي شود.
Λ تانسور انتقال است که جهت کرنش تبديل را مشخص ميکنـد و براي دو تبديل مستقيم و معکوس از رابطه زير به دست مي آيد[١٠]:
Hmax ضريبي وابسته به نوع ماده ، 'σ تنش انحرافي ١، 'σ تنش فـن ميــز، ε−rکــرنش تبــديل و ε−r کــرنش تبــديل مــوثر اســت .
Lagoudas در ارائه ي مدل خود فرض کرد تبـديل فـاز زمـاني رخ مي دهد که نيـروي ترمودينـاميکي (٣) در هـر دو فـاز مارتنزيـت و آستنيت به مقداري بحراني رسد. براي محاسبه اين نيـرو وي تـابعي درجه دو بر حسب کسر مارتنزيتي براي تابع سفتي f در نظر گرفت و مدلي براي تبديل فاز SMA ارائه نمود[١٠]. وي در محاسبات خود از روابط زير استفاده کرد:
که در آن Ms،Mf دماهاي آغاز و پايـان فـاز مارتنزيـت و As،Af دماهاي آغاز و پايان فاز آستنيت هستند. معادلـه مهـم ديگـري کـه Lagoudas در محاسبه ي ضرايب مجهول به کار بـرد، ثابـت فـرض کردن انرژي آزاد گيبس در بازه هاي دمايي بود[١٠]:
امـا دو ايـراد عمـده بـر کـار Lagoudas وارد اسـت . اول اينکـه همــانطور کــه از معــادلات (٥) تــا (٨) مشــخص اســت وي نيــروي ترموديناميکي بحراني تبديل فاز(Y) را در هر دو تبديل مسـتقيم و معکوس مساوي و يکسان گرفت . اما با توجه به خواص SMA که فاز آستنيت فازي سخت و فاز مارتنزيت فازي نرم است برابر گرفتن اين نيرو براي اين دوفاز چندان مورد قبول نيست . ايراد دوم ثابت گرفتن انرژي آزاد گيبس در بازه هاي دمايي [Af ٫ Ms] و [As ٫ Mf] به طور جداگانه مي باشد. از آن جايي که انرژي آزاد گيبس تابعيت شديدي از دما دارد باز هم اين تقريب چندان مورد قبول نيست بخصوص بـراي انواعي از اين آلياژها که بازه هاي دمايي فوق بزرگ است . در اين مقاله در صدد رفع اين دو ايراد برآمديم . به همين دليل بـراي هـر يـک از تبديل هاي مستقيم و معکوس Yهاي جداگانه اي در نظر گرفته و بـه جاي معادلات (٩) و (١٠) از ابزار بهينـه سـازي بـراي يـافتن سـاير مجهولات استفاده نموده ايم .
به منظور استخراج رابطه اي براي تبديل فاز مسـتقيم و معکـوس تابع سفتي را به صورت زير معرفي ميکنيم :
که در آن ρ چگـالي مـاده و ضـرايب مجهولات مسئله هستند که bA و bM، Y1 و Y2 را از حل معـادلات (٥) تا (٨) با اين تصحيح که در (٥) و (٦) به جاي Y پارامترY1 و در (٧)و (٨) به جاي Y پارامتر Y2 را قرار مي دهيم . با حل اين معادلات داريم :
با حل معادلات زير
براي تبديل مستقيم و
براي تبديل معکوس به معادلات تبديل فاز زير ميرسيم :
