بخشی از مقاله
چکیده
ملحوظ نمودن عدم قطعیت در مهندسی سازه میتواند در مرحله تحلیل و یا در مرحله طراحی صورت پذیرد. در این مقاله اثر گنگ بودن، عدم دقت و دانستههای کیفی - و یا زبانی - و در یک کلام، عدم قطعیت در مرحله تحلیل سازه بکار گرفته میشود. با تقسیمبندی عدم قطعیت به امور عینی و ذهنی میتوان به ترتیب از دو تئوری متفاوت، احتمال و فازی در تحلیل استفاده نمود.
با توجه به نوع عدم قطعیتی که در این مقاله مورد توجه قرار میگیرد - نقایص قواعد استقراﺀ جهت تعیین قانون رفتاری ماده و عدم دقت قانونمندی در چهارچوب مشاهدات - و به عبارت دیگر ذهنی بودن آن، استفاده از تئوری فازی را منطقی می سازد. از طرف دیگر نیاز تئوری احتمال به دانش پیشینی - نظیر لنگر از مرتبههای مختلف و یا تابع چگالی توزیع احتمال به دلیل عینی بودن عدم قطعیت - و عملیات پیچیده ریاضی از نقایص دیگر این تئوری بوده که ضرورت استفاده از تئوری فازی را که دارای محاسبات سادهتر میباشد را جدیتر مینماید.
بر اساس روش رئوس - vertex method - که مبتنی بر منفصل سازی تابع عضویت و با بکارگیری جبر فاصلهها - interval analysis - میباشد، عملیات پیچیده فازی - نظیر حل دستگاه معادلات خطی همزمان فازی، برآورد انتگرال با انتگرانهای فازی و در نهایت حل معادلات دیفرانسیل فازی که پیشنیاز الگوریتم حل به روش اجزاﺀ محدود می باشد - به سادگی در این مقاله انجام و در نهایت پاسخ سازه که شامل عملیاتی نظیر نکات مورد اشاره در روش اجزاﺀ محدود میباشد، به صورت فازی حاصل میگردد. سادگی و صحت نتایج در مقایسه با روشهای موجود، ضمن حل چند مسئله نشان داده میشود.
١- مقدمه
در عمده مسائل مهندسی که مبتنی بر قانونمندیها در چهارچوب مشاهدات است، عدم قطعیت - uncertainity - ناشی از قواعد استقراﺀ و پارامترهای اندازهگیری شده موجب میگردد که جهت انتخاب اجزاﺀ سازه - طراحی سازه - ، حاشیه ایمنی کافی ملحوظ شود.
میزان کمی این احتیاط یا بر مبنای آییننامهها و دستورالعملهای فنی انتخاب میشوند - مرحله طراحی یا تصمیمگیری - که در این حالت، تحلیل سازهها بر اساس مشخصات دقیق سازه و میزان مشخص بارها به صورت قطعی انجام میپذیرد و یا با ملحوظ نمودن عدم قطعیت در ذات مشخصات سازه ها - شامل رفتار و ابعاد هندسی - و میزان بارهای اعمالی، تحلیل سازهها به صورت غیرقطعی انجام میگیرد. لذا تصمیمگیری - انجام طراحی - میتواند به جای بکار گیری از ضرائب آییننامهای که در بعضی سازهها منجر به تصمیمگیری غیراقتصادی و یا حتی غیرمحافظه کارانه و در نتیجه غیرایمن شدن میگردد، در فضای روشنتر و بر مبنای میزان عدم قطعیت موجود و میزان تاثیر آن در نتیجه نهایی صورت پذیرد.
نظر به اینکه ملحوظ نمودن عدم قطعیت در عرف میتواند بر مبنای تئوری احتمال و یا تئوری فازی ]١[ باشد، ولی با توجه به ذهنی بودن بسیاری از عدم قطعیت ها - نظیر مدل رفتاری، خطای ناشی از اندازهگیری، عدم قطعیت در فرمولبندیها - و مزیت سادگی عملیات ریاضی بر مبنای تئوری فازی در مقایسه با تئوری احتمال، در این مقاله، تحلیل سازه ها بر اساس عدم قطعیت از نوع فازی انجام میپذیرد.
اگرچه روش عددی اجزاﺀ محدود ابزار قوی در تحلیل بسیاری از سازهها میباشد، اما اگر خواص رفتاری و ابعاد سازه غیردقیق باشند، در این صورت برآورد ماتریس سختی که از طریق انتگرال گیری انجام میپذیرد و همچنین در کسب نتایج نهائی، چون نیاز به حل دستگاه معادلات خطی همزمان با ضرائب فازی است، راهحل مناسبی نخواهد بود.
رائو و چن با استفاده از مفهوم بهینهسازی ]٣-٢[ به حل بسیار پیچیده معادلات فازی دست یافته که قابل استفاده در مسائل عملی نمیباشد ]٤.[ همچنین والیاپن - Valliapan - با روشی که در حالت عام غیردقیق و در عین حال پیچیده است، محاسبات مربوط به فرمولبندی و حل معادلات ناشی از اجزاﺀ محدود را انجام داده است
در این مقاله بر اساس روش رئوس - vertex method - که جهت برآورد توابع جبری فازی پیشنهاد شده است]٧-٦[ و با تعدیل در روش، در برآورد انتگرال و حتی دستگاه معادلات جبری از آن استفاده شده است.
٢- تشریح مسئله
روش اجزاﺀ محدود یکی از روشهای متعارف در طراحی و آنالیز سازه ها در مهندسی عمران و مکانیک است. در روش کلاسیک بر اساس مقادیر قطعی، گامهای زیر صورت می پذیرد:
١- انتخاب مدل ریاضی مناسب با مسئله - مثلاﹰ مدل دوبعدی یا سه بعدی، رفتار ارتجاعی یا غیرخطی .... -
٢- منفصل سازی حوزه مورد مطالعه
٣- برآورد خواص محیط منفصل شده بر اساس مدل ریاضی انتخابی شامل ماتریس سختی، ماتریس جرم و بردار بارگذاری
٤- سرهم بندی ماتریس خواص و رسیدن به دستگاه معادلات برای کل حوزه منفصل شده
٥- حل دستگاه معادلات به روش مناسب که در مسائل استاتیکی، باید دستگاه معادلات خطی همزمان حل شده و در مسائل دینامیکی، دستگاه معادلات دیفرانسیل درگیر به معادلات دیفرانسیل مجزا، تبدیل و سپس مسئله حل می شود - آنالیز مودال - .
در مسائلی که عدم قطعیت در خواص سازه و همچنین در مدل ریاضی وجود دارد و همچنین به علت عدم دقت در ابعاد، منفصل سازی نیز دارای ابهام می باشد، با مدل نمودن کلیه موارد غیردقیق به صورت مجموعههای فازی - fuzzy set - که نمایانگر چند مقداره بودن - multi-value - پارامترهای مؤثر میباشد، ماتریس خواص محیط منفصل شده، به روش کاملاﹰ ابتکاری برآورد و در نهایت به روش بسیار ساده و دقیق که مبتنی بر تعمیم روش رئوس میباشد، دستگاه معادلات حاصله حل میشود.
٣- مجموعه فازی
گرچه تعریف دقیق مجموعه فازی، تفاوت ابهام فازی با عدم تعین احتمالی و نحوه بیان کمی ابهام فازی در مقاله مقدور نمیباشد ولی مراجع ]٤[ ، ]١[ ، ]٨[ و ]٩[ جهت معرفی مفید میباشند. مجموعه فازی را میتوان بر حسب تابع عضویت که نحوه محاسبه آن بر اساس اندازهگیریهای تجربی در مرجع ]٩[ توضیح داده شده است، بیان مینمایند. تابع عضویت - membership function - نمایانگر میزان گسترش کمی امکانی پارامتر در نمونههای مشاهده شده میباشد.
در مجموعه کلاسیک تابع عضویت یک عضو به صورت دو مقداره شامل صفر و یک میباشد. اگر عضوی در مجموعه وجود داشته باشد، مقدار تابع برابر یک و اگر عضو آن مجموعه نباشد، مقدار تابع برابر صفر میباشد. ولی در مجموعه فازی تابع عضویت، دارای عددی بین - ١و٠ - میباشد. به عبارت دیگر مجموعه فازی A از مجموعه جهانی X به صورت زوج مرتب زیر نشان داده میشود.
هر مقدار بین صفر تا یک، به این مفهوم است که میزان وابستگی یا درستی تعلق عددی به این مجموعه، مبهم و غیرقطعی است. طبق نظریه لطفیزاده مبدع تئوری فازی ] ١٠[، درجه امکان وقوع یک حادثه بزرگتر یا مساوی درجه احتمال آن است و بر مبنای این مفهوم میتوان تابع عضویت را به عنوان معیار امکان وقوع پدیدهها تعریف نمود. چون در روشهای عددی انفصال سازی یکی از اجزای لاینفک روش می باشد، تعمیم این روش در مجموعه فازی را برش آلفا - α −cut - میگویند.
