بخشی از پاورپوینت
اسلاید 1 :
به نام خدا
اسلاید 2 :
مکانیک آماری سیستم های برهمکنشی
روش بسط های خوشه ای
اسلاید 3 :
همه سیستمهایی که در بخشهای قبلی این کتاب مورد بررسی قرارگرفت، ازذرات غیر برهمکنشی تشکیل شده اند که برای سیستم های واقعی با محدودیت هایی مواجهند. برای آنکه بین تجربه وتئوری تماسی برقرار کنیم، می بایست به محاسبه برهمکنش های صورت گرفته بین ذرات سیستم بپردازیم.
کار رابا یک سیستم گازی شامل ذره تک اتمی که از قواعد کلاسیک پیروی میکند، شروع می کنیم که انرژی پتانسیل آن جمع روی پتانسیل برهمکنش دو ذره ای است.
هامیلتونی این سیستم عبارت است از :
اسلاید 4 :
دوم تا محاسبه می شود.
پتانسیل تابعی از بردار است که
باتوجه به هامیلتونی تابع پارش سیستم برابراست با:
اسلاید 6 :
که در آن طول موج گرمایی ذرات می باشد برای یک
سیستم غیربرهمکنشی انتگرال بالا بصورت زیر در می آید
که درتوافق با نتایج قبل است.
برای بررسی گاز غیرایده آل تابع دوذره ای راتعریف میکنیم که با رابطه زیر داده می شود:
اسلاید 7 :
درغیاب برهمکنش داخلی بین ذرات به وضوح این تابع صفر است درحضور برهمکنش ودردماهای به اندازه کافی بالا در مقایسه بایک خیلی خیلی کوچک است.
بنابراین انتظار میرود تابع جهت محاسبه انتگرال با یک بسط دردمای بالا مناسب باشد.
درصفحه بعد نموداری از و مشاهده می شود.
اسلاید 9 :
بنابراین باتوجه به آنچه گفته شد داریم:
برای شمارش عبارتهای انتگرال فوق از روش گراف ذره ای متناظر باهرعبارت استفاده می کنیم. مثلا ًاگر باشد وبخواهیم عبارتهایی مانند:
که درعبارت ظاهر میشود را محاسبه کنیم گراف 8 ذره ای متناظرآنها مانند زیر است:
اسلاید 10 :
به دلیل اینکه فقط به بستگی دارد و به دیگرذرات بستگی ندارد برای عبارت های بالا می توان نوشت:
وبطور مشابه
اسلاید 11 :
بنابراین عبارتی مانند که عضوی از بسط انتگرال است، نمایش دهنده آرایشی با چهار خوشه تک ذره ای ودو خوشه دوذره ای است وبه همین ترتیب نمایش دهنده آرایشی با سه خوشه تک ذره ای ویک خوشه دوذره ای ویک خوشه سه ذره ای است.
بنابراین می توان یک گراف N ذره ای را با مجموعه ای از N دایره مجزای شماره گذاری شده از 1 تا N متناظر دانست که چند خط تعدادی یا همه دایره ها را به هم متصل کرده اند. اگرجفت دایره های مجزا که توسط خطوط به هم متصل شده اند را با نشان دهیم،هر گراف نشان دهنده عبارت زیر است:
گرافهایی که تعداد زوجهای متصل بهم یکسانی دارند نشان دهنده عبارات مجزایی در بسط می باشند، اماهریک ازاینها متعلق به یک دسته ازسیگماهای بسط هستند.
اسلاید 12 :
بنابراین با توجه به تناظریک به یک بین هریک ازعبارتهای بسط وگراف N-ذره ای داریم :
بعلاوه با فاکتورگیری ممکن در عبارات مختلف می توان یک
را یک گراف ذره ای دانست که هر یک از دایرهای آن با اعداد تا بر چسب خورده اند ومستقیم یا غیر مستقیم به دایره ای دیگر متصلند به عنوان مثال یک گراف 5-ذره ای که نیز میباشد به صورت زیر است:
اسلاید 13 :
یک را نمی توان به گراف های ساده تر تجزیه کرد، همانطور که عبارت مربوط به آن غیر قابل تجزیه است.
از طرفی یک گروه ذره ای می تواند به های متفاوتی منجرشود که بعضی ازآنها از لحاظ مقدار یکسان هستند. برای مثال یک گروه سه ذره ای،چهار تولید میکند.
سه تای اولی از لحاظ مقدار یکسانند.
بنابراین با توجه به آنکه یک می تواند به طرق مختلف ظاهرشود ،کمیتی به نام انتگرال خوشه ای تعریف می کنیم.
اسلاید 14 :
این کمیت دارای دو خاصیت زیر است :
1) بدون بعد است. 2)
اثبات 2): اگر یکی از ذرات را در نقطه ثابت فرض کنیم وانتگرال را روی ذره باقیمانده بگیریم، چون تابع درمحدوده کوچکی از مقدار قابل توجهی دارد، حاصل انتگرال خوشه ای از حجم ظرف مستقل خواهد بود. در آخرانتگرال روی مختصات ذره ای که ثابت نگه داشته شده بود،گرفته می شود وعامل درست بدست خواهد آمد که با در مخرج ساده می شود.
تعدادی از این انتگرالهای خوشه ای در صفحه بعد محاسبه شده اند.
اسلاید 16 :
هرگراف ذره ای شامل:
خوشه
خوشه
خوشه و. است.
که برای داریم:
مجموعه کامل گرافهای ذره ای است،لذا:
که جمع کل های مجموعه کل گرافها است.
اسلاید 17 :
که جمع روی همه هایی زده میشود که
این معادله یک روش سیستماتیک برای دسته بندی مجدد گرافها میدهد که درنقطه مقابل دسته بندی (7) می باشد.
اسلاید 18 :
بخاطرعامل اول فاکتور زیر را بدست می آوریم:
اسلاید 19 :
اما هر دو ترکیب بندی که فقط در معاوضه همه ذرات یک خوشه با همه ذرات یک خوشه دیگر به همان سایز متفاوت هستند نمی بایست به عنوان یک حالت مجزاشمرده شوند.لذاتصحیح متناظربا این واقعیت فاکتور
است.
عامل 2 وقتی به طور کامل رعایت میگردد که به جای عبارت بالا عبارت زیررا جانشین کنیم
که بااستفاده از تعریف انتگرال خوشه ای به صورت زیر نوشته میشود
حال s{mL} به صورت حاصلضرب عبارتهای و داده شده است. بنابراین با جایگذاری داریم:
اسلاید 20 :
که در این عبارت از عبارت زیر استفاده شده است
لذا تابع پارش سیستم اکنون عبارت خواهد بود از:
که در آن روی هایی میباشد که در شرط صدق میکنند.
