پاورپوینت روش های عددی در ژئومکانیک

بخشی از پاورپوینت

اسلاید 2 :

روش های عددی در ژئومکانیک

اسلاید 3 :

فصل دوم

مباني رياضي روش عناصر محدود

اسلاید 4 :

1- مقدمه
مدل هاي رياضي:
1- مدل پارامتر متمركز (Lumped parameter model)
يا مدل گسسته سيستم (Discrete system model)
2- مدل مبتني بر مكانيك محيط پيوسته
(Continuum mechanics-based model)
يا مدل پيوسته سيستم ( Continuous system)
در يك مدل رياضي پارامتر متمركز يا گسسته سيستم:
پاسخ واقعي سيستم مستقيما به وسيله حل تعداد محدودي متغير حالت (State Variable) توصيف مي گردد (بحثی در مورد متغیر حالت).
براي يافتن متغيرهاي حالت مجهول، مجموعه اي از معادلات جبري بدست مي آيند.
در يك مدل رياضي پيوسته سيستم :
پاسخ واقعي سيستم به وسيله بينهايت متغير حالت توصيف مي گردد.
براي يافتن متغيرهاي حالت مجهول، به جاي يك مجموعه از معادلات جبري، معادلات ديفرانسيل بر پاسخ سيستم حاكم مي باشد.

اسلاید 5 :

2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم:
براي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم دو روش اساسي مورد استفاده قرار مي گيرد:
- روش مستقيم (Direct method)
- روش وردشي (Variational method)
در روش مستقيم انجام مراحل زير ضروري است:
1- ايده آل سازي سيستم (System idealization): سيستم واقعي به عنوان مجموعه همبسته عناصر محدود ايده آل سازي مي شود.
2- تعادل عناصر(Equilibrium of elements): شرايط تعادل هر عنصر بر حسب متغيرهاي حالت ايجاد مي شوند.
3- سوار كردن عناصر (Element assemblage): شرايط اتصال متقابل عناصر مورد استفاده قرار مي گيرند تا مجموعه اي از معادلات همزمان بر حسب متغيرهاي حالت مجهول ايجاد شود.
4- محاسبه پاسخ: معادلات همزمان جهت پيدا كردن متغيرهاي حالت حل مي شوند و با استفاده از شرايط تعادل عناصر پاسخ هر عنصري محاسبه مي گردد.
الف) روش مستقیم

اسلاید 6 :

مثال: شكل زير يك سيستم متشكل از 3 گاري صلب را در صفحه افقي نشان مي دهد كه به وسيله سيستمي از فنرهاي ارتجاعي خطي به همديگر اتصال يافته اند. تغييرمكان هاي گاري ها را محاسبه نموده و نيروهاي موجود در فنرها را براي بارگذاري نشان داده شده محاسبه كنيد.
حل: تحليل را با دنبال نمودن مراحل 1 تا 4 انجام مي دهيم. تغيير مكان هاي U1 ،U2، U3 را به عنوان متغيرهاي حالت كه پاسخ سيستم را مشخص مي نمايند انتخاب مي كنيم. تغيير مكان هاي مذكور از موقعيت اوليه گاري ها اندازه گرفته مي شوند كه در آن فنرها در حالت آزاد و بدون كشش مي باشند. عناصر انفرادي فنري و شرايط تعادل آنها در شكل هاي بعدي نشان داده مي شوند.
آرايش فيزيكي
7- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم:

اسلاید 7 :

7- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم:

اسلاید 8 :

روابط تعادل عناصر
براي ايجاد معادلات حاكم به ازاي متغيرهاي حالت، شرايط اتصال متقابل عناصر مورد استفاده قرار مي گيرند كه متناظر با تعادل ايستايي هر يك از سه گاري مي باشند:
Fi(j) = نیرویی که به فنرj در اثر تغییرمکان Ui وارد می شود.

اسلاید 9 :

حال مي توان نيروهاي انتهايي عنصري Fi(j) ، J=1,2,…,5 و i=1,2 را با استفاده از شرايط تعادل عناصر كه در شكل (ب) نشان داده شده است، جايگذاري نمود:

اسلاید 10 :

در یک روش دیگر می توان متناظر با مولفه هاي تغييرمكان U1 ،U2، U3 براي عنصر شماره 1 نوشت:
يا براي عنصر شماره 2:

به همین ترتیب برای سایر عناصر این مرحله را انجام می دهیم.

اسلاید 12 :

اين نكته بايد يادآوري شود كه ماتريس ضريب K را مي توان با استفاده از رابطه زير بدست آورد:
كه در آن K(i) ماتريس هاي سختي عنصري اند. به فرآيند جمع براي يافتن ماتريس سختي كل سازه در رابطه بالا با استفاده از جمع مستقيم ماتريس هاي سختي عناصر، روش مستقيم سختی اطلاق مي شود.
بنابراين شرايط اتصال متقابل عناصر به صورت رو به رو در مي آيد:

اسلاید 13 :

بحثی مقدماتی در مورد ویژگی های ماتریس سختی:
2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم:
1- ماتریس سختی، یک ماتریس متقارن می باشد،
2- اعضای قطر اصلی ماتریس سختی، همگی کمیت هایی عددی مثبت می باشند،

اسلاید 14 :

2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم:
3- با توجه به این نکته که برای یافتن بردار تغییرمکان، لازم است که معکوس ماتریس سختی تعیین شود و با توجه به تعریف معکوس ماتریس سختی به صورت زیر، دترمینان ماتریس مخالف صفر و مثبت است:

اسلاید 15 :

ب) روش وردشی (Variational method)
- معادلات تعادل حاکم بر یک مدل ریاضی گسسته سیستم را می توان بر حسب متغیرهای حالت با استفاده از فرمول بندی اکسترمم یا وردشی بدست آورد.
یک مساله اکسترموم، شامل تعیین مجموعه ای از مقادیر متغیرهای حالت Ui و i=1,…,n است که به ازای آنها یک تابعک(Functional) داده شده ماکزیمم، مینیمم یا یک نقطه زینی (Saddle point) است.
در تحلیل سازه ها هنگامی که تغییرمکان های تعمیم یافته به عنوان متغیرهای حالت مورد استفاده قرار می گیرند، پتانسیل کلی ( یا تابعک انرژی پتانسیل کلی ) می باشد، یعنی:
U =انرژی کرنشی سیستم
W = پتانسیل کلی بارها
2- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم:

اسلاید 16 :

- در فرمول بندی اکسترموم یا وردشی مسائل سازه ای از اصل موضوع(Axiom) زیر استفاده می شود:
اصل موضوع: مساوی صفر بودن مشتق تابعک انرژی پتانسیل کلی (Total Potential Energy) نسبت به یک متغیر حالت ( یا متغیرهای حالت)، شرط لازم و کافی برای تعادل یک سیستم سازه ای است.
معادلات تعادل بر حسب متغیرهای حالت بدست می آیند.
(Stationary requirement) شرط مانا بودن

اسلاید 17 :

معادله تعادل
مثال: یک فنر ساده با سختی K و بار وارده R را در نظر بگیرید و با استفاده از روش وردشی معادله تعادل را بدست آورید.
لازم به ذکر است که حسن استفاده از روش وردشی برای ایجاد معادلات تعادل آن است که با استفاده از شرط مانا بودن به طور خودکار شرایط اتصال متقابل عناصر تامین می شود.

اسلاید 18 :

مثال: شکل زیر یک سیستم متشکل از سه گاری صلب که بوسیله سیستمی از فنرهای ارتجاعی خطی به همدیگر اتصال یافته اند را نشان می دهد. تغییرمکان های گاری ها را به روش وردشی محاسبه نموده و نیروهای موجود در فنرها را برای بارگذاری نشان داده شده محاسبه کنید.

اسلاید 19 :

همانند حالت تحلیل مدل های گسسته دو روش مختلف را می توان برای ایجاد معادلات دیفرانسیل حاکم بر سیستم دنبال نمود:
روش مستقیم (فرمول بندی دیفرانسیلی)
روش وردشی
الف) روش مستقیم (فرمول بندی دیفرانسیلی)
در فرمول بندی دیفرانسیلی، شرایط تعادل و روابط مشخصه عناصر دیفرانسیلی نمونه را بر حسب متغیرهای حالت ایجاد می کنیم.
ملاحظات مذکور منجر به یک دستگاه معادلات دیفرانسیل بر حسب متغیرهای حالت می شوند.
در حالت کلی این معادلات باید با معادلات دیفرانسیل کمکی تکمیل شوند. معادلات دیفرانسیل کمکی قیدهای مناسبی را بر متغیرهای حالت اعمال می کنند تا اینکه تمامی شرایط سازگاری ارضا شوند.
سرانجام برای تکمیل فرمول بندی مساله، تمامی شرایط مرزی ( و در یک تحلیل دینامیکی، شرایط اولیه) نیز بیان می شوند.

اسلاید 20 :

مثال: معادلات دیفرانسیل تعادل یک سازه تیری