بخشی از پاورپوینت
اسلاید 2 :
Linear Programming
Manufacturing with Modls
برنامه ریزی خطی _ قالب گیری
اسلاید 3 :
بحث مورد مطالعه در این فصل :
بررسی اینکه برای یک شی داده شده یک قالب مناسب وجود دارد که بتوان شی را
مراحل Casting برای اشیاء فلزی :
براحتی از قالب خارج کرد؟
در واقع در این فصل یک نمای هندسی از ساخت اشیاء توسط قالب گیری مطرح می شود.
اسلاید 4 :
در مورد شکل قبل مراحل به این ترتیب است که ابتدا فلز مایع در قالب ریخته می شود و پس از اینکه مجددا به حالت جامد تبدیل شد باید آن شی را از قالب خارج کنیم.اما باید توجه کرد که مرحله آخر همیشه به این آسانی که به نظر می آید نیست زیرا ممکن است که شی به قالب بچسبد و به عبارتی طوری در قالب قرار گرفته باشد که امکان خروج وجود ندارد در نتیجه مجبور به شکستن قالب خواهیم شد.
اگر امکان خروج شی وجود نداشته باشد،گاهی اوقات می توان از یک قالب دیگر استفاده کرد اما برای همه اشیا این کار امکانپذیر نیست.مثلا برای ساخت کره قالب مناسبی وجود ندارد.
اسلاید 5 :
محدودیت های مسئله :
1. اشیائی که باید ساخته شوند چند وجهی هستند .
2. قالب ها باید یک قطعه باشند ، به عبارتی قالب ها نباید شامل دو قطعه یا بیشتر باشند .(استفاده از قالب هایی که شامل دو قطعه باشند ساخت اشیایی مثل کره را امکانپذیر می کند که با یک قالب یک قطعه ای امکانپذیر نیست.)
3. در انتها شی باید با یک انتقال از قالب خارج شود .به این معنا است که نمی توان آن را با پیچاندن از قالب خارج کرد.
اسلاید 6 :
4.1 The Geometry of Casting
اسلاید 7 :
برای تصمیم گیری در این مورد که یک شی می تواند با Casting ساخته شود باید
یک قالب مناسب برایش پیدا کنیم .
شکل حفره داخل قالب با توجه به شکل شی تعیین می شود و جهت های متفاوت از شی قالب های متفاوتی را ایجاد می کند.
انتخاب چگونگی قرارگیری شی در قالب می تواند مشکل باشد . زیرا در بعضی حالت ها
خروج شی از قالب امکان پذیر نیست .
پس با توجه به اینکه کدام سطح شی را به عنوان سطح بالا در نظر بگیریم قالب های متفاوتی خواهیم داشت.
اسلاید 8 :
سطح بالایی شی است که باید یک سطح افقی (صاف) باشد و با سطوح قالب تماس نداشته
باشد که در هنگام قرار گیری شی در قالب باید موازی با صفحه ی xy باشد .
: Top facet
یک شی را castable گوییم اگر بتواند حداقل از یکی از جهت ها از قالب خارج شود .
برای تصمیم گیری در مورد قابلیت Castability یک شی باید همه جهت ها را بررسی کنیم.
اسلاید 9 :
:(عادی) Ordinary Facet
سطحی از P که top facet نباشد که متناظر با هر وجه عادی f یک سطح در قالب وجود
دارد که با نشان داده می شود .
برای خارج کردن قطعه از قالب باید یک جهت تعیین شود.
با توجه به این که وجهی از شیء که با قالب تماس ندارد (Top facet) در بالای قالب است،
جهت انتخابی باید رو به بالا (یعنی در راستای محور z صعودی) باشد اما این محدودیت یک شرط لازم است و به تنهایی برای داشتن یک جهت خروج معتبر کافی نیست.
اسلاید 10 :
فرض کنید f یک وجه عادی از شی باشد ، برای خارج کردن شی از قالب باید f از روی سطح
از قالب بلند شود یا روی آن بلغزد .
فرض کنید که P یک چند وجهی سه بعدی باشد .
برای تعیین زاویه بین دو بردار باید ابتدا آن دو بردار را طوری در نظر بگیریم که مبدا آنها مبدا دستگاه مختصات باشد ، سپس این دو بردار در صفحه ی متناظرشان دو زاویه دارند که از بین آن دو باید زاویه کوچکتر را در نظر بگیریم.
یک شرط لازم روی این است که زاویه بین و حداقل 90 باشد .
: بردار عمود بر سطح f و به سمت خارج .
اسلاید 11 :
لم 4.1 : چند وجهی Pبه وسیله یک انتقال در جهت میتواند از قالب خارج شود
اگر و تنها اگر حداقل یک زاویه 90 با به ازای همه سطوح P بسازد .
اثبات :
اگر زاویه کمتر از 90 درجه با بسازد آنگاه زمانی که انتقال در جهت
باشد هر نقطه q در سطح f با قالب برخورد می کند .
فرض کنید وقتی که P در جهت حرکت میکند با قالب برخورد کند ،باید نشان دهیم
که در این حالت زاویه کمتر از 90 درجه با ساخته است .فرض شود p نقطه ای
از شی P باشد که با سطح از قالب برخورد کرده است ، به این معناست که Pتقریباً به
اسلاید 12 :
داخل قالب حرکت کرده ، پس یک زاویه بیش از 90 درجه با می سازد آنگاه زاویه ای کمتر از 90 با خواهد ساخت .
اسلاید 13 :
نتیجه :
اگر P بتواند توسط دنباله ای از انتقال های کوچک از قالب خارج شود آنگاه میتوان آنرا
توسط یک انتقال نیز خارج کرد .
هر جهت در فضای 3 بعدی را می توان توسط یک بردار که از مبدا شروع می شود،
نمایش داد .( رو به بالا یعنی دارای مولفه z مثبت )
روند تبدیل مسئله فوق به یک مسئله هندسی :
اسلاید 14 :
همچنین میتوان همه جهت ها را به عنوان نقاطی در صفحه z=1 در نظر گرفت .
نقطه ی(x , y , 1) یک بردار جهت (x , y , 1) را نشان میدهد .
بدین ترتیب یک تناظر یک به یک بین نقاط در صفحه z=1 و بردارهای جهت (x , y, 1) برقرار می شود .
اسلاید 15 :
فرض کنید بردار خروجی از یک وجه عادی باشد . بردار جهت
یک زاویه حداقل 90 درجه با بردار می سازد اگر وتنها اگر ضرب
داخلی آنها مثبت نباشد.
بنابراین یک وجه عادی یک محدودیت به شکل زیر ایجاد می کند :
نامعادله فوق یک نیم صفحه روی صفحه z=1 را توصیف می کند .(نا معادله فوق برای صفحه های افقی که درست نمی باشد چون در این حالت داریم :
اما بیان شد که باید مولفه z مثبت باشد. )
اسلاید 16 :
بنابراین هر وجه غیر افقی از P یک نیم صفحه روی صفحه z=1 تعریف میکند ، و هر نقطه در اشتراک این نیم صفحه ها مطابق با یک بردار جهت است که P می تواند در آن جهت از قالب خارج شود .
اشتراک نیم صفحه ها ممکن است تهی باشد که در این حالت نمی توان P را از قالب خارج
کرد .
با توجه به توضیحات قبل مسئله اولیه به یک مسئله هندسی در صفحه تبدیل می شود .
اسلاید 17 :
مسئله هندسی :
یک مجموعه از نیم صفحه ها داده شده است و یک نقطه در اشترک آنها را باید پیدا کنیم
یا تشخیص دهیم که اشتراکشان تهی است .
اگر چندوجهی داده شده n سطح داشته باشد آنگاه مسئله هندسی بیش از n-1 نیم صفحه ندارد زیرا یک سطح به عنوان Top Facet در نظر گرفته می شود و به ازای هر وجه عادی یک نیم صفحه خواهیم داشت.
قضیه 4.2 :
فرض کنید P یک شی با n وجه باشد ،در زمان انتظار O(n²) و استفاده از O(n)
ذخیره سازی می توان تصمیم گرفت که P ، Castable است یا خیر . علاوه بر این اگر P ، Castable باشد یک قالب و یک بردار جهت معتبر برای خروج P در زمان مشابه محاسبه می شود .
اسلاید 18 :
توضیح در رابطه با قضیه قبل : برای اینکه تشخیص داده شود که یک شی castable یا
خیر ، حداکثر n انتخاب برای Top Facet وجود دارد که با انتخاب هر یک باید اشتراک بین n-1 نیم صفحه به دست آید که با استفاده از الگوریتمی که در بخش 4.4 ارائه خواهد شد در زمان O(n) قابل محاسبه است و بنابراین زمان کل O(n²) است.
برای هر یک از حالات انتخاب برای Top Facet حداکثر باید n-1 نیم صفحه ذخیره شود ،
بنابر این به O(n) ذخیرا سازی نیاز دارد.
اسلاید 19 :
4.2 Half – Plane Intersection
اسلاید 20 :
فرض کنید مجموعه ای از محدودیت ها خطی با دو متغیر به شکل
زیر باشد :
که و و ثابت هایی هستند بطوریکه حداقل یکی از یا مخالف صفر باشند .
از لحاظ هندسی یک محدودیت به عنوان یک نیم صفحه درR² است که توسط خط
کران دار می شود .
