بخشی از پاورپوینت
اسلاید 1 :
اصول روش هاي المان مجزا در مهندسي سنگ (نظري و عملي)
فصل هشتم
روش المان مجزای صریح برای سیستمهای بلوکی ـ روش المان گسسته
اسلاید 2 :
فهرست مطالب
مقدمه
تقریبهای تفاضل محدود توسط مشتقات
روشهای آزادسازی دینامیکی و استاتیکی
روش آزادسازی دینامیکی برای تحلیل تنش پیوستارهای تغییرشکلپذیر
اسلاید 3 :
مقدمه
المان گسسته
یک روش المان مجزای صریح براساس اصول تفاضالات محدود است.
روش المان گسسته برای شبیهسازی فعل و انفعالات بین بلوکها در اجتماعی از بلوکها بکار میرود که این اجتماع، شبیهسازی ساختمان بلوکی یک تودهسنگ درزهدار است.
در ابتدای دهه 1970 میلادی با کاری برجسته روی حرکات پیشرونده توده سنگها، به عنوان اجتماع بلوکهای صلب دو بعدی، آغاز شد.
اولین تقریبزنی در زمینه هندسهی پیچیدهی دوبعدیِ تغییرشکل بلوکها توسط تانسور کرنش ثابت، همراه با ترجمه این کد به صورت زبان فرترن پیشرفت کرد وSDEM نامیده شد (کاندال و همکاران، 1978).
با استفاده از گسستهسازی درونی کامل بلوکها توسط مشهای تفاضل محدود با المانهای مثلثی شکل، باعث ایجاد نسخههای اولیه کدهای UDEC و 3DEC شد.
اسلاید 4 :
مقدمه
قاعده شبیهسازی تغییر شکلهای بزرگ مقیاس مواد الاستوپلاستیک با استفاده از روشهای تفاضل محدود، توسط ویلکینز در سال 1963 استفاده شد.
اصولاً برای تحلیلهای مکانیکی باید به سه وظیفه مهم توجه داشت:
ایجاد مجموعه بلوکها، ثبت مکان بلوکها با یک ساختار مناسب از دادهها بعلاوهی به روز کردن این دادههای ثبت شده در کل فرایند تغییرشکل.
انتخاب شکل مناسبی از معادلات حرکت و مدلهای ساختاری برای سنگها و ناپیوستگیها و نیز روشهای حل مناسب.
تعیین کردن و بروز کردن رفتار مکانیکی و هندسی تماسهای بین بلوکها در طول مدت فرآیند تغییرشکل.
روش اصلیFDM برای تجمیع کردن معادلات حرکت نیوتن ـ اویلر برای سیستم بلوکی صلب یا معادلات حرکت کوشی برای سیستم بلوکهای تغییرشکلپذیر، بر اساس هر دو تکنیک آزادسازی استاتیکی یا دینامیکی، اعمال میشود.
اسلاید 5 :
مقدمه
تعیین کردن و بروز کردن اتصالها (تماسها) براساس مفهوم "همپوشانی اتصالها" اجرا میشود که در آن مقدار عمق نفوذ بین دو بلوک در یک نقطه تماس، به عنوان تغییرشکل نرمال نسبی دو بلوک در یک نقطه در نظر گرفته میشود.
میتوان روش المان گسسته را در دو دسته طبقهبندی کرد: آنهایی که از اصول آزادسازی استاتیکی استفاده میکنند و آنهایی که از اصول آزادسازی دینامیکی استفاده میکنند.
فرمولبندی روش المان گسسته برای حرکت و تغییرشکل سیستمهای بلوکی، بر اساس سه مرحله اساسی زیر است:
(1) گسستهسازی درونی بلوکها برحسب مناطق تفاضلی محدود یا المانهای حجمی محدود وقتی تغییرشکلپذیرند؛
(2) اجرای روش آزادسازی دینامیکی برای تحلیل تنش بلوکهای تغییرشکلپذیر؛
(3) آشکارسازی و بیان مؤثر اتصالهای بین بلوکی.
اسلاید 6 :
تقریبهای تفاضل محدود توسط مشتقات
تقریبهای تفاضل محدود توسط مشتقات
1- شبکهبندی منظم المانهای مستطیلی
طرح [مشبندی] روش FEM با مشهای منظم مستطیلی شکل نیاز دارد که شکل المانها حتماً به صورت مستطیلهای منظم باشد که در راستای محورهای مختصات چیده شده باشند (اگرچه که میتوان فواصل طولی متفاوتی در جهات مختصاتی متفاوت داشت). اگر شکل محدوده مورد نظر، مخصوصاً در نزدیکی مرزها، به صورت پیچیده و نامنظم باشد، این امر میتواند باعث بروز مشکلات عددی برای مجزاسازی شود.
2- مشها با المانهای دارای شکلهای معمول ـ روش حجم محدود
طرح حجم محدود (یا گاهی اوقات طرح حجم کنترلی) روشهایFDM نامیده میشود و اغلب برای مسائل مکانیک سیالات مورد استفاده قرار میگیرد. این طرح به صورت تعریف انتگرالی از مشتقهای جزئی یک تابع پیوسته، با استفاده از نظریه واگرایی گاوس ، روی دامنهها (یا المانهای) شکلهای معمولاً چندضلعی یا چندوجهی است.
شکل المانهای مختلف برای طرح حجم محدود:
المانهای شش ضلعی، چهارضلعی و مثلثی
اسلاید 7 :
روشهای آزادسازی دینامیکی و استاتیکی
آزادسازی، یک روش حل کلاسیک در مسائل تحلیل ساختاری و تنش است.
مفهوم اصلی این روش "آزاد کردن" بخشی از یا همهی حرکت یا بار، در سیستمی که ابتدا بدون بارگذاری و مقید است (پیوسته یا مجزا) به تدریـج در چندین گام کوچک، که در عین حال، واکنش بین تنشها/نیروها و کرنشها/جابجاییها با المانهای مجاور محاسبه شود و نیز قیدهای اولیه و ایجاد شدهیِ متصل به اعضاء در موقعیتهای مناسب برحسب معادلات حاکم استفاده شده، حذف شوند تا جایی که انرژی درونی (کرنش) ذخیره شده سیستم، کمینه گردد.
الزام تشکیل و حل تعداد زیادی از معادلات هم زمان مانند همان چیزی که در روشFEM استفاده شد، حذف میشود. در عوض، ترکیب کردن اعضا نیز میتواند به عنوان بخشی از آزادسازی مورد استفاده قرار گیرد که آزادسازی گروهی نامیده میشود.
اسلاید 8 :
این تکنیک، که در مورد یک سیستم بلوکی صلب سنگی اعمال شده است، میتواند طی مراحل زیر توضیح داده شود:
1- سیستم بلوکی در ابتدا بدون بار است و در موقعیت اولیه خودش مقید بوده و هیچگونه فعل و انفعال درونی در آن ایجاد نشده است.
2- هنگامیکه یک بارگذاری اعمال می شود (برای مثال بارگذاری/جابجایی مرزها یا از طریق نیروی جاذبه)، اثر این بار به طور همزمان برای همه بلوکها درنظر گرفته نمیشود بلکه در ابتدا بطور جداگانه برای یک بلوک پس از دیگری درنظر گرفته میشود.
3- برای بلوکی که آزادسازی شده است، یعنی درحالیکه همه دیگر بلوکها در موقعیتها و حالات اولیهشان باقی ماندهاند، این بلوک تحت تاثیر بارگذاری قرار گرفته و ازاینرو برطبق معادلات حاکم (در این مورد، معادلات حرکت) دارای حرکات انتقالی و چرخشی خواهد بود، میگوییم که قیدهای روی بلوک مورد نظر ما برداشته شدهاند یعنی بلوک رهاسازی شده است.
4- نیروهای عکسالعمل بین بلوک آزادسازی شده و بلوکهای اطرافش، بر اساس قوانین تماس و موقعیتهای تماس، محاسبه میشود. بنابراین، اثر بارگذاری، از بلوک آزادسازی شده به سیستم انتقال مییابد.
اسلاید 9 :
5- بلوکهای اطراف بلوک آزادسازی شده به نوبت آزادسازی میشوند، یعنی براساس نیروها/ممانهای متقابلی که بواسطه تماسهایشان با بلوکهای اخیراً آزادسازی شده دریافت کردهاند، حرکت میکنند و قیدهای اولیهشان حذف میشود. آزادسازیشان بصورت همزمان انجام نمیشود بلکه تک تک است. بنابراین، هیچ مجموعهای از معادلات همزمان تشکیل نمیشود.
6- مراحل 1 تا 5 برای همه بلوکهای تحت تاثیر بارگذاریهای مرزی (یا همه بلوکهای تحت جاذبه) تکرار میشود.
7- نیروها و ممانهای خارج از تعادل همه بلوکها محاسبه شده و آزادسازی برای دیگر بلوکهای دارای نیروها و ممانهای خارج از تعادل (که این نیروها و ممانها با یک معیار از قبل تعیین شده مقایسه میشود)، ادامه مییابد. همگرایی وقتی بدست میآید که نیروها و ممانهای خارج از تعادل کل سیستم، کمینه شده باشد.
اسلاید 10 :
مثالی از مسأله آزادسازی دینامیکی بلوک صلب سه تایی:
(الف) بدون میرایی جرم (ب) همراه با میرایی جرم (استیوارت، 1981)
اسلاید 11 :
(8-18-الف)
(8-18-ب)
(8-18-ج)
اسلاید 12 :
جدول آزادسازی برای مثال نشان داده شده در شکل 8-2 (استیوارت، 1981)
اسلاید 13 :
روش آزادسازی دینامیکی برای سیستمهای بلوکی
براساس قاعده پیشنهاد شده توسط سوثول (1940)، اوتر و همکاران (1966) یک روش "آزادسازی دینامیکی" را برای حل کردن مسائل تحلیل تنش الاستیسیته، بر اساس فرمولبندی تفاضل محدود پیشنهاد کردند.
این روش، یک انتگرالگیری عددی گام به گام از معادلات دینامیک حرکت (معادلات لرزش) یک پیوستار الاستیک، به عنوان یک مسئله مقدار مرزی اولیه است. ازاینرو عبارت اینرسی نیز وارد محاسبات میشود.
این روش برای رسیدن به جواب وضعیت پایدار، از استهلاک (میرایی) ویسکوز بحرانی استفاده میکند، و این کار را با هدف جذب انرژی جنبشی اضافیِ به وجود آمده توسط مدلهای فنری تماسها انجام میدهد.
تنشها و جابجاییها با استفاده از روشهایFDM اصلی و با استفاده از مجزاسازی درونی بوسیله مش المانی مثلثی، محاسبه میشوند.
اسلاید 14 :
تنشهای موجود روی هر بلوک توسط بلوکهای مجاورش بهروز میشود (یعنی قیدهای بلوک برداشته شده، یا بلوک آزادسازی میشود) این کار فقط بعد از آن صورت میگیرد که همه دیگر بلوکها نیز در همان چرخه تکرار آزادسازی شده باشند، یعنی در انتهای هر چرخه تکرار کامل، برای هر مرحله زمانی.
معادلات دینامیکی حرکت، با استفاده از تقریبهای تفاضل محدود توسط مشتقات و حل کردن المان به المان شکل میگیرند. بنابراین در روش مرسوم تفاضل محدود، به هیچگونه ساختار و راهحلی در زمینه معادلات همزمان نیاز نیست.
یک روش مناسب برای آشکارسازی تماسهای بین بلوکها و مدلهای ساختاری مناسب برای تماسهای متفاوت (تماسهای نقطهای، تماسهای ضلعها و تماسهای وجهها) مورد نیاز است تا تنشهای بلوکها تعیین شوند.
این روش آزادسازی دینامیکی نامیده میشود زیرا جملههای اینرسی (ضرایب جرم و شتاب) در معادلات حرکت، حتی برای مسائل استاتیکی با استفاده از میرایی ویسکوز برای رسیدن به راهحلهای وضعیت پایدار، حضور دارند. این روش در اصل یک روش انتگرالگیری عددی از معادلات حرکت یک سیستم بلوکی مجزا، با استفاده از دو مجموعه از معادلات حاکم است.
اسلاید 15 :
شکل روبرو معادلات حرکت و معادلات قوانین ساختاری. معادلات حرکت برای تعیین کردن گامهای مقادیر جنبشی نظیر جابجاییهای انتقالی و چرخشی، سرعتها و شتابهای هر بلوک (یا در گسستهسازی FDM برای بلوکهای تغییرشکلپذیر، برای هر المان) همراه با گامهای جابجاییهای نسبیِ در تماس با مرزهای بلوکی و گامهای کرنشی در المانهای داخلی، حل میشوند.
چرخههای محاسبه آزادسازی دینامیکی
این راهحل، با تکرار و همراه با گام زمانی به قدر کافی کوچک، اجرا میشود تا زمانی که جمع نیروهای خارج از تعادل کلی (یا سرعت بیشینه) سیستم، بدون ایجاد کردن ناپایداریهای عددی، کمینه گردد.
برای بلوک i، معادله حرکت برای حرکات عمودی برای kاُمین تکرار را میتوان اینگونه نوشت:
(8-19)
اسلاید 16 :
کاربرد روش تفاضل مرکزی همانگونه که در معادلات 8-3 و 8-4 نشان داده شده است، منجر به تقریبی از معادله 8-19 به عنوان یک معادله تفاضلی با گام زمانی t∆ به جای گام عمومی منظم متغیرx ∆ میشود:
با جایگزینی معادله 8-20 در معادله 8-19 و چینش دوباره جملات نتیجه میشود که:
(8-3)
(8-4)
(8-20)
(8-21-الف)
(8-21-ب)
اسلاید 18 :
روش آزادسازی استاتیکی برای سیستم بلوکهای صلب در DEM
این روش بر اساس اصول سوثول (1935 و 1940) بنا نهاده شده و یک فرمولبندی صریح میباشد.
مهمترین خصوصیات این روش:
همان فرآیند تکراری تقابلی حل معادلات حرکت و کاربرد معادلات ساختاری، همراه با همه بلوکها/المانهای آزادسازی شده در انتهای هر گام زمانی، مورد استفاده قرار میگیرد.
در مقایسه با روش آزادسازی دینامیکی، آزادسازی استاتیکی میتواند همه بلوکها/المانها را بطور همزمان و به منظور حذف وابستگی به مسیرهای غیرفیزیکی آزادسازی کند.
بدون استفاده از نیروهای اینرسی و اثرات میرایی ویسکوز در فرمولبندی اصلی این روش فقط تعادل استاتیکی نیروها و گشتاور بلوکهای صلب، لحاظ شدهاند و ازاینرو عبارت آزادسازی استاتیکی برای آن بکار میرود.
اسلاید 19 :
در فرمولبندی اصلی روش آزادسازی استاتیکی برای سیستم بلوکهای سنگی صلب (استیوارت، 1981)، تماس بین بلوکها به دو صورت بیان شده است: 1- تماس رأس-ضلع (نقطه) 2- تماسهای ضلع-ضلع
این راهحل با کاربرد بارهای خارجی (برای مثال بارهای مرزی و گرانش) برای بلوکهای مرتبط در اولین گام زمانی شروع میشود، و سپس گامهای نیروها و گشتاورهای خارج از تعادل، و نیز گامهای جابجاییهای انتقالی و چرخشی این بلوکها ایجاد میشود.
توضیحی از یک بلوکi در تماس با چندین بلوک دیگر در رأسها و در طول اضلاع (استیوارت، 1981). پیکانها نشاندهنده بردارهای نیروی تماسی در نقاط تماس برای هر دو مؤلفه عمل و عکسالعمل هستند.
اسلاید 20 :
در تکرار (K-1) اُم آخر، ارزیابی خواهند شد. ماتریس ایجاد شده از معادله 8-32 به این صورت است:
(8-32)
(8-34)
(8-35)
تا زمانی که همه بلوکهای درون سیستم، آزادسازی شوند و نیروهای (گشتاورهای) خارج از تعادل، کمینه شوند.
