پاورپوینت اجزاء محدود پیشرفته (غیرخطی)

بخشی از پاورپوینت

اسلاید 2 :

اجزاء محدود پیشرفته (غیرخطی)

اسلاید 3 :

فصل اول: تحليل غیرخطی عناصر محدود
(بخش چهارم)

اسلاید 4 :

- در اين فصل، مباني نظريه پلاستيسيته با نگرش به سوي ايجاد و توسعة يك روش عمومي عددي براي محاسبه تنش ارائه مي شود.
بعد از يك مقدّمه مختصر بر مفاهيم اساسي پلاستيسيته، مدل مصالح von Mises تعريف مي شود.
ايجاد، توسعه و كاربرد نظريّات پلاستيسيته براي مسائل مهندسي با كارهاي پيشگامانة Tresca (1864)؛ St. Venant (1870)؛ Levy (1870) آغاز گشته و با كارهاي برجسته و اصلي von Mises (1913)؛ Prandtl (1924) و Reuss (1930) ادامه پيدا كرد.
در حالت كلّي، نظريه هاي پلاستيسيته را به دو رده مي توان تقسيم كرد:
1- نظريات ميكرومكانيكي
2- نظريات ماكرومكانيكي
8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته

اسلاید 5 :

نظريات ميكرومكانيكي، تغيير شكل هاي پلاستيك را در سطح ميكروسكوپي تحليل كرده و در پي تشريح شرايطي در كريستال ها و بلورهاي فلزات هستند كه منجر به جريان پلاستيك مي شود.
8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
1-4-8- مقدمه
نظريات ماكرومكانيكي پلاستيسيته (كه نظريات رياضي نيز ناميده مي شوند)، تغيير شكل هاي پلاستيك را از نقطه نظر پديدارشناسي، در سطح ماكروسكوپي، توصيف نموده و روابطي را بين كميت هاي مكانيكي ماكروسكوپي (نظير تنش ها، كرنش ها و جز آنها) برقرار مي كند. اين روابط بر اساس اصول عمومي مكانيك و مشاهدات تجربي استوار مي باشند.

اسلاید 6 :

روش هاي حل اوليه براساس قضاياي وردشي استوار هستند.

اين روش هاي حل وردشي، قضاياي كران پايين و بالا را براي ظرفيت نهايي باربري سازه ها فراهم مي آورند.

ظرفيت باربري نمونه ها را مي توان با استفاده از روش مشخصه نيز محاسبه نمود.

با استفاده از اين روش هاي كلاسيك، يافتن يك پاسخ الاستوپلاستيك كه كل تاريخچة تغيير شكل را از حالت ارتجاعي تا حالت بارحدّي به دست دهد، عملاً بسيار دشوار و حتي غيرممكن است.

در فضاي امروزين مهندسي، انجام تحليل با جزئيات كامل براي سازه هايي كه داراي هندسة بسيار پيچيده اي مي باشند، الزامي است.

اين تحليل ها بايد تاريخچة كامل پاسخ را از شرايط ارتجاعي تا شرايط پلاستيك، از جملة گسترش تغيير شكل هاي بزرگ و الاستوپلاستيك تا وقوع محتمل خرابي را دنبال نمايند.
8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
1-4-8- مقدمه

اسلاید 7 :

مفاهيم لازم براي فرمول بندي يك مدل مصالح در محاسبة پاسخ مصالح در حين تغيير شكل هاي پلاستيك عبارتند از:
8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
2-4-8- پلاستيسيتة ايزوتروپيك
1- سطح تسليم يا تابع تسليم
شرايط تسليم را مشخص مي كنند.
2- قاعدة سخت شدگي
تغيير سطح تسليم در حين تغيير شكل را نمايش مي دهند.
3- قاعدة روابط تنش ـ كرنش پلاستيك مصالح
در ارائه اين مفاهيم بنيادي، دو روش را اتخاذ خواهيم كرد:
از مشاهدات تجربي شروع كرده و سپس روابط رياضي براي مدل سازي اين مشاهدات را ارائه خواهیم کرد.
روابط رياضي مبتني بر اصول مكانيكي را ايجاد نموده و نتايج تجربي كه مؤيد اين روابط هستند، ارائه می شوند.

اسلاید 8 :

- آزمايشات اساسي: نتايج تجربي حاصل از آزمايش تك­محوري كشش/ فشار يك فلز مطابق با [Smith and Sidebottom (1965)].
اگر يك نمونة فولادي با كربن بالا و بازپخت شده تحت اثر كشش و سپس فشار باشد، كه شامل باربرداري نيز خواهد بود، رفتار تنش ـ كرنش آن به صورت زیر است:
8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك
اين شكل همچنين هنگامي كه نمونه ابتدا تحت اثر فشار و سپس كشش قرار مي گيرد، رفتار تنش ـ كرنش مشابهي را نشان مي دهد.

نتايج مشابهي براي ساير فلزات به دست آمده اند.
بحث خود را از داده های تجربی آغاز خواهیم کرد که نقش مهمی را به عنوان یک پایه و اساس برای ایجاد و توسعه روابط ریاضی برای نمایش رفتار یک، دو و سه بعدی ایفا می نمایند.

اسلاید 9 :

8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك
براساس اين داده هاي آزمايشگاهي، مدل هاي مصالحي را براي تغييرشكل الاستوپلاستيك يك فلز در بارگذاري تك محوري تعريف مي نمائيم:
در بررسي هاي تجربي، منحني تنش ـ كرنش تك محوري به صورت رابطه اي بين تنش حقيقي (تنش Cauchy، نيرو در واحد سطح كنوني) و كرنش حقيقي (كرنش لگاريتمي كه در آن
و به ترتيب طول هاي كنوني و اوّلية نمونة مصالح مورد نظر مي باشند) رسم مي شود.

كرنش در شكست (نقطة شكست F در منحني) مي­تواند 50% يا بيشتر باشد.

اسلاید 10 :

8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك
در اين فصل ، شرايط كرنش هاي كوچك كمتر از چهار درصد مدنظر است. در اين حالت، مي توان در ايجاد و توسعة مدل مصالح، تنش را كه به صورت نيرو در واحد سطح اوليه تعريفمي شود ( تنش kirchhoff) و كرنش مهندسي بي نهايت كوچك e(تغییر طول به طول اولیه) را، استفاده كرد. نمودار در شكل (ب) نشان داده شده است . منحني تنش ـ كرنش تك­محوري در شكل (ب)، نمايشگر منحني بنيادي دركرنش هاي كوچك و تغيير مكان هاي بزرگ، به عبارت ديگر شرايط تغيير شكل كرنش كوچك مي باشد.
منحني تنش Cauchy ـ كرنش لگاريتمي در شكل (الف) نيز منحني بنيادي در تحليل هاي كرنش بزرگ را نمايش مي دهد.
نقطة مهم در نمودارها براي روش هاي حل الاستوپلاستيك، حد ارتجاعي يا نقطة تسليم است (نقطة A).

اگر تنش، پايين تر از تنش تسليم باشد، در اين صورت در اثر باربرداري، مصالح به بافتار تغييرشكل نيافتة خود برمي گردد.

قسمت OA نمودار، ميدان ارتجاعي مصالح را نشان مي دهد. در حالت بارگذاري در بالاتر از تنش تسليم، كرنش پلاستيك دائمي بعد از باربرداري باقي مي ماند.

اسلاید 11 :

كل كرنش e متناظر با تنش عبارت است از:

E مدول يانگ است كه كرنش الاستيك e و تنش را به همديگر ربط مي دهد.

كرنش پلاستيك در تنشِ متناظر با وقوع تسليم، يعني در تنش تسليم ، شروع مي گردد.

آن قسمت از منحني كه بين نقاط A و B قرار دارد، رفتار مصالح در ميدان پلاستيك را مشخص مي نمايد.

در ضمن شكل (ب) قبل، مماس بر منحني را بين نقاط A و B نشان مي دهد كه به عنوان مدول مماسي تعريف شده و فرض بر اين است كه بزرگ تر از صفر مي باشد.
8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك

اسلاید 12 :

از منحني تنش ـ كرنش مدل تك محوري، رابطة بنيادي زير را كه در شكل بعدی نشان داده شده است، مي توان تعيين نمود :
و یا به صورت زیر که نمایشگر شرط تسليم در بارگذاري تك محوري مي باشد:
به این رابطه شرط تسلیم گفته می شود.
شكل فوق نشان مي دهد كه تنش با تغيير شكل پلاستيك افزايش مي يابد.

اين مشخصة مصالح، به عنوان سخت شدگي كرنشي ناميده مي شود كه يك بخش مهم در توصيف رفتار مصالح در منطقة پلاستيك به شمار مي رود.
8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك
سخت شدگي آني در يك نقطة مشخص در منحني تسليم به وسيلة مدول پلاستيك در يك تراز مشخص كرنش پلاستيك توصيف مي شود:
مي توان را برحسب مدول مماسي آني و مدول يانگ E به صورت زير بيان نمود:
يك حالت خاص رابطة تنش ـ كرنش، رابطة دوخطي با شيب E در منطقة ارتجاعي و
ثابت در منطقه پلاستيك است.

براي برخي مصالح شكل پذير، مي توان از سخت شدگي صرف نظر نمود (به عبارت ديگر، به ازاي هر داريم: و ). در اين صورت مصالح به عنوان مصالح كاملاً پلاستيك در نظر گرفته مي شود (به گونه خطوط چين در شكل نشان داده شده است).

اسلاید 13 :

منحني مذكور از آزمايش يك بعدي به دست مي آيد، با اين حال ملاحظه خواهيم كرد كه اين منحني به عنوان رابطه بنيادي مصالح براي توصيف تغيير شكل هاي الاستوپلاستيك دوبعدي و سه بعدي پيچيده نيز مورد استفاده قرار خواهد گرفت.
8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك
كه در آن يك تنش مر جع است (معمولاً از تنش تسليم استفاده مي شود. و ثابت هاي مصالح هستند كه از داده هاي آزمايشگاهي به دست مي آيند.
اغلب، عبارات تحليلي براي توصيف منحني تسليم در پلاستيسيتة فلزي به كار مي روند. در اينجا به فرمول Ramberg-Osgood كه استفاده از آن رايج است اشاره مي كنيم:
كه در آن است .

مقادیر و n ثابت هاي مصالح هستند که مقادير غيرمنفي مي باشند.
توجه: در حالت پلاستيسيتة كامل،
از رابطه فوق استفاده خواهيم كرد.
لذا اين رابطه قابل كاربرد نمي باشد.

اسلاید 14 :

در مدل مصالحي توصیفی قبلی، بارگذاري يكنواخت در كشش يا فشار در نظر گرفته شد.
8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك
فرض كنيد كه مصالح در ابتدا در كشش به طور پلاستيك تغيير شكل مي دهد و سپس تحت فشار قرار مي گيرد.
دربرخي مصالح، ” تنش تسليم جديد“ در فشار بعد از باربرداري، تنشي است كه در آن باربرداري رخ داده است.
ولی عموماً، ” تنش تسليم جديد“ كوچكتر از تنش تسليم حاصل در كشش مي باشد.
اين پديده به عنوان اثر Bauchinger معروف است و مي توان آن را از طريق تغييرات در ميكروسازة فلزي كه ناشي از تغيير شكل پلاستيك مي باشد تشريح نمود.
توجه: به طور مشابه نیز، در هنگامي كه مصالح ابتدا تحت فشار و سپس تحت كشش قرار مي گيرد، تنش تسليم بعدي در كشش كمتر از تنش تسليم حاصل در فشار مي باشد.

اسلاید 15 :

8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك
مدل هاي ساده سازي شده، با در نظر گرفتن اثر Bauschinger
مدل هاي سخت شدگي ايزوتروپيك
در فرض سخت شدگي ايزوتروپيك، از اثر Bauschinger صرف نظر مي شود و در حين بارگذاري چرخه اي، از منحني تسليم يكساني در كشش و فشار استفاده مي شود.
در فرض سخت شدگي سينماتيك، تغيير تنش براي شروع تسليم در بارگذاري معكوس، مساوي با دو برابر تنش تسليم اوليه است.
مدل هاي سخت شدگي سینماتیک
مدل هاي سخت شدگي آمیخته
توجه: در نظر گرفتن اين اثر براي مسائلي كه شامل بارگذاري چرخه اي مي باشند، بسيار حائز اهميت است.
مدل هاي مصالحي كه رفتاري بين اين دو مدل فوق را به نمايش مي گذارند، مدل هاي سخت شدگي آميخته ناميده مي شوند.
براي همة مدل هاي ساده سازي شدة مذكور، منحني هاي سخت شدگي در هنگامي كه بارگذاري معكوس مي شود، شكل مشابهي دارند، ولي از تنش هاي تسليم متفاوتي آغاز مي گردند.
مدل هاي سخت شدگي سينماتيك و آميخته يك ناهمگوني غيرايزوتروپيك را به رفتار فرض شدة مصالح وارد مي كنند.

اسلاید 16 :

8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
3-4-8- تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك
در مدل هاي سخت شدگي ایزوتروپیک
مسير تنش ـ كرنش، OABFF1F2 مي باشد.
در مدل هاي سخت شدگي سینماتیک
مسير تنش ـ كرنش، OABCC1C2 مي باشد.
در مدل هاي سخت شدگي آمیخته
مسير تنش ـ كرنش، OABDD1D2 مي باشد.
تنش تسليم در نقطة C، ، عبارت است از:
رابطه تنش ـ كرنش تك­محوري شماتيكِ يك فولاد نرم براي نرخ هاي متفاوت كرنش

اسلاید 17 :

8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
4-4-8- شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي
در اينجا، مفهوم تسليم اوليه را به شرايط چندمحوري تنش براي يك مصالح ايزوتروپيك اوليه بسط مي دهيم كه در آن همة مؤلفه هاي تنش مي توانند غيرصفر باشند. مي خواهيم يك شرط را براي تسليم اوليه به فرمِ زير ايجاد كنيم:
كه در آن ، تابع تسليم و معادله شرط تسليم ناميده مي شوند. بنابراين، تا هنگامي كه شرط تسليم ارضاء نشده است، ما صرفاً كرنش هاي ارتجاعي را داريم.
ملاحظات عمومي: براي تعيين يك فُرمِ مناسبِ تابع تسليم، از مصالحي استفاده مي كنيم كه به تسليم اوليه به طريقه اي ايزوتروپيك مي رسد؛ به عبارت ديگر مصالح در هر راستايي به طريقه اي يكسان رفتار مي كند.
از آن جا كه مؤلفه هاي تنش با دستگاه مختصات مورد استفاده تغيير مي كنند، از اين رو براي ارضاي شرط ايزوتروپي، تابع تسليم صرفاً مي تواند تابعي از ناورداهاي تنش و
و باشد (كه مستقل از دستگاه مختصات مورد استفاده است):

اسلاید 18 :

8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
4-4-8- شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي
اين تابع تسليم به هرگونه مصالح ايزوتروپيك اوليه قابل اعمال است.
در فلزات، به طور تجربي مشاهده شده است كه غالباً مي توان از اثر نخستين ناوردا،
، يا تنش ميانگين و نيز اثر ناورداي سوم ، در تسليم صرف نظر كرد:
بنابراين، مي توان تابع تسليم را به گونه اي تعريف كرد كه صرفاً به و يا معادل آن صرفاً به دومين ناورداي تنش هاي انحراف دار، ، كه به صورت زير تعريف مي شوند، بستگي داشته باشد:
دلتای Kronecker

اسلاید 19 :

8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
4-4-8- شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي
براي ارائه يك تابع مشخص ، از يك روش بنيادي بنام فرضية انرژي اعوجاج استفاده می نماییم.
فرضية انرژي اعوجاج
براساس اين فرضیه،كه مصالح فلزي هنگامي به حد ارتجاعي خود رسيده و شروع به تغيير شكل پلاستيك مي كند كه انرژي كرنشي ارتجاعي اعوجاج به مقدار معين بحراني برسد.
فرضية انرژي كرنشي ارتجاعي اعوجاج در حالت عمومي تنش/ كرنش رامي توان برحسب تنش هاي انحراف دار به صورت زير بيان نمود:
برای شرايط بارگذاري تك محوري (كشش يا فشار)

اسلاید 20 :

8- کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations)
4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته
4-4-8- شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي
فرض مي كنيم كه در آغاز تسليم، انرژي كرنشي ارتجاعي اعوجاج، داراي مقدار يكساني براي تمام شرايط بارگذاري باشد. در اين صورت بايد داشته باشيم:
و یا بر حسب ناورداي دوم بايد داشته باشيم:
اين معيار تسليم، شرط ايزوتروپي را ارضاء نموده و براساس اصل هم ارزي انرژي اعوجاج استوار است.
اين فرم، به عنوان تابع تسليم Von Mises معروف است و مصالحي كه از اين شرط تسليم ”تبعيت“ مي كنند مصالح Von Mises ناميده مي شوند.
شرط تسليم Von Mises رايج ترين شرط تسليم است كه براي فلزات مورد استفاده قرار مي گيرد.