بخشی از پاورپوینت
اسلاید 2 :
روش عناصر محدود غيرخطي II
اسلاید 3 :
فصل چهارم:
محاسبات خطا و روش هاي ايجاد شبکه با خطاي يکنواخت
اسلاید 4 :
4
فهرست مطالب فصل:
نرخ همگرايي
حل عناصر محدود همگراي يكنوا
همگرايي نتايج تحليل
محاسبة تنشها و ارزيابي خطا
اسلاید 5 :
ملاحظات همگرايي در تحليل عناصر محدود
خطاهاي تحليل عناصر محدود
بيان اصلکار مجازي به فرم خطي و دوخطي و استفاده ازآن در تعريف همگرايي
مسأله مدل (مدل فيزيکي- رياضي- عناصر محدود)
شرط کامل بودن
شرط سازگاري
همگرايي نتايج تحليل
برگشت به صفحة فهرست
معيارهاي همگرايي يكنوا
بحث و بررسي معيارهاي همگرايي يكنوا در چندين مثال
اسلاید 6 :
مسأله فيزيکي :
مدل رياضي (که مربوط به يک ايده آل سازي مکانيکي مي باشد)
سينماتيک،
به عنوان مثال،
خرپا
تنش مسطح
سه بعدي
صفحه kirchhoff و غيره
مصالح،
به عنوان مثال،
خطي ايزوتروپيک
الاستيک
لاستيک Mooney-Rivlin و غيره
بارگذاري،
به عنوان مثال،
متمرکز
گريز از مرکز و غيره
شرايط مرزي،
به عنوان مثال،
تغييرمکان هاي از پيش تعيين شده و غيره
که منجر به معادلات ديفرانسيل حاکم بر حرکت مي شود،
و معادله اصل کار مجازي
حل عناصر محدود
انتخاب عناصر و روش هاي حل
که منجر به جواب تقريبي مدل رياضي مي شود (پاسخ تقريبي ايده ال سازي مکانيکي حاصل مي شود)
مساله فيزيکي شامل يک سازه واقعي يا جزء سازه اي است که تحت بارگذاري معيني قرار دارد.
به عنوان مثال:
مساله مدل (مدل فيزيکي- رياضي- عناصر محدود)
اسلاید 7 :
تمايز قائل شده در فرايند مزبور، در تحليل هاي عملي اغلب رعايت نمي شود:
زيرا عملاً با معادلات ديفرانسيل حرکت مربوط به مدل رياضي مواجه نيستيم.
ممکن است که اين معادلات در تحليل يک مساله پيچيده نظير تعيين پاسخ يک پوسته سه بعدي نامشخص باشد.
روش عناصر محدود فقط مدل رياضي انتخابي را حل خواهد کرد و کليه فرض هاي مورد نظر در اين مدل در جواب پيش بيني شده انعکاس خواهد يافت.
با استفاده از تحليل عناصر محدود، فقط يافتن درکي از مساله فيزيکي مورد لحاظ امکان پذير است. به عبارت ديگر پاسخ مساله فيزيکي را نمي توان به طور کامل پيش بيني کرد؛ زيرا حتي در تحليل مدل رياضي بسيار تظريف شده نيز در نظر گرفتن تمامي اطلاعات موجود در طبيعت مساله فيزيکي، ممکن نيست.
مساله مدل (مدل فيزيکي- رياضي- عناصر محدود)
در عوض، در يک تحليل عملي، مستقيماً يک مساله واقعي فيزيکي به يک مدل عناصر محدود ايده ال سازي مي شود.
اسلاید 8 :
براي مطالعه همگرايي جواب تحليل عناصر محدود، هنگامي که تعداد عناصر افزايش پيدا مي کند، قبول اين نکته حائز ارزش است که در واقع نمايش عناصر محدود مساله واقعي فيزيکي، به طور ضمني مدل رياضي را در بر دارد. به عبارت ديگر، جواب مناسب تحليل عناصر محدود (به ميزاني که تعداد عناصر افزايش پيدا مي کند) بايد به جواب تحليلي (کامل) معادلات ديفرانسيلي که بر پاسخ مدل رياضي حاکم است، همگرا شود.
رفتار همگرايي، تمامي مشخصات يک تحليل عناصر محدود را به نمايش مي گذارد، زيرا معادلات ديفرانسيل حرکت مدل رياضي، به طريقه اي دقيق و فشرده تمامي شرايط اساسي را که متغيرهاي حل (تنش، تغييرمکان، کرنش و غيره) بايد تامين نمايند، بيان مي کنند.
اگر معادلات ديفرانسيل حرکت، مانند حالت تحليل يک پوسته پيچيده، نامشخص باشند و يا پيدا کردن جواب هاي تحليلي امکان پذير نباشد، همگرايي جواب هاي تحليل عناصر محدود را مي توان تنها بر مبناي اين واقعيت ارزيابي نمود که تمام شرايط اساسي سينماتيک، ايستايي و شرايط مشخصه که در مدل رياضي نهفته هستند، بايد در نهايت در همگرايي تامين شوند.
ملاحظات کلي مربوط به همگرايي :
ملاحظات همگرايي در تحليل عناصر محدود
اسلاید 9 :
خطاهاي تحليل عناصر محدود
خطا
محل وقوع خطا
1- گسسته سازي
استفاده از درون يابي هاي عناصر محدود براي هندسه و متغيرهاي حل
2- انتگرال گيري عددي در فضا
تعيين ماتريس هاي عناصر محدود با استفاده از انتگرال گيري عددي
3- تعيين روابط مشخصه
استفاده از مدل هاي مصالح غيرخطي
4- حل معادلات تعادل ديناميکي
انتگرال گيري مستقيم زماني، جمع آثار مودها
5- حل معادلات عناصر محدود به روش هاي تکراري
Gauss-Seidel، شيب مزدوج، Newton-Raphson، روش هاي شبه نيوتني، روش هاي حل ويژه مسائل
6- گرد کردن
ايجاد معادلات و حل آنها
ضرورت شناخت منابع خطا
در تحليل ارتجاعي خطي، يک جواب کامل منحصر به فرد براي مدل رياضي وجود دارد. به عبارت ديگر جوابي داريم که در معادلات رياضي حاکم صدق مي کند. حال اگر جواب تقريبي تحليل عناصر محدود را با پاسخ کامل رياضي در نظر بگيريم، در اين صورت شناخت منابع خطا که در نتايج تحليل عناصر محدود اثر مي گذارند، ضروري است.
خطاهاي گرد کردن ناشي از دقت محدود عمليات حسابي انجام شده در کامپيوتر مي باشند.
خطاهاي حل در مدل نمودن روابط مشخصه به علت خطي سازي و انتگرال گيري روابط مشخصه مي باشد.
خطاهاي حل در محاسبه پاسخ ديناميکي در هنگام انتگرال گيري عددي معادلات حرکت ظاهر مي شوند يا به علت استفاده تنها از تعداد اندکي مودها در روش جمع آثار مودها مي باشند
خطاهاي حل هنگامي که از روش هاي تکراري استفاده مي شود نيز رخ مي دهند زيرا همگرايي در نموهايي در متغيرهاي حل تعيين مي گردد که کوچک بوده ولي صفر نمي باشند.
خطاهاي گسسته سازي ناشي از درون يابي متغيرهاي حل مي باشند.
اسلاید 10 :
مدلي را در نظر مي گيريم که در آن ساير خطاهاي مزبور در حل رخ نمي دهند: يک مساله ايستايي ارتجاعي خطي با هندسه اي که کاملاً با محاسبه کامل ماتريس هاي عناصر و حل معادلات نمايش داده مي شود و از خطاهاي گرد کردن نيز صرفنظر مي شود. همچنين فرض مي کنيم که تغييرمکان هاي از پيش تعيين شده صفر مي باشند.
معادله اساسي اصل کار مجازي حاکم بر پاسخ مدل رياضي
براي اينکه جواب کامل مدل رياضي باشد، بايد تغييرمکان هاي مجازي اختياري (و کرنش هاي مجازي متناظر ) در
رابطه (1) صدق کنند، با اين شرط که براي تغييرمکان هاي از پيش تعيين شده و متناظر با آن بايد صفر باشد.
(1)
بيان اصل کار مجازي به فرم خطي و دوخطي و استفاده از آن در تعريف همگرايي
اسلاید 11 :
خطي بودن بر اين واقعيت دلالت دارد که به ازاي مقادير ثابت و داريم:
(4)
تغييرمکان هاي (و تنش هاي متناظر با آنها ) را به گونه اي تعيين مي کنيم که براي تمامي هاي قابل قبول داشته باشيم:
(5)
بيان اصل کار مجازي توسط نمادهاي دو خطي و خطي
جواب کامل تغييرمکان، هرگونه تغييرمکان مجازي قابل قبول مي باشد ]قابل قبول به اين دليل که توابع بايد پيوسته بوده و در تغييرمکان هاي از پيش تعيين شده و متناظر با آنها صفر باشند[ و توابع نيرويي (بارهاي و ) را نشان مي دهد. نماد گذاري مورد استفاده در (5) به طور ضمني دلالت بر يک پروسه انتگرال گيري دارد.
نمادگذاري فرم دوخطي و فرم خطي
دو خطي بودن بر اين واقعيت دلالت مي کند که به ازاي مقادير ثابت و داريم:
(2)
(3)
بيان اصل کار مجازي به فرم خطي و دوخطي و استفاده از آن در تعريف همگرايي
اسلاید 12 :
فرض کنيم که جواب تحليل عناصر محدود مي باشد، مشخص است که اين جواب در فضاي عناصر محدود مربوط به توابع درون يابي تغييرمکاني قرار دارد ( در اينجا نشانگر اندازه عنصر عمومي مي باشد و از اينرو يک شبکه خاص را نشان مي دهد). در اين صورت همگرايي را به صورت زير تعريف مي کنيم:
يا معادل آن به صورت زير بيان مي گردد.
(6)
(7)
با توجه به اينکه انرژي کرنشي مربوط به جواب کامل به صورت به دست مي آيد، لذا از نقطه نظر فيزيکي، گزاره مذکور بدين معني است که به ميزاني که شبکه عناصر محدود ريزتر مي شود، انرژي کرنشي محاسبه شده از طريق حل عناصر محدود به انرژي کرنشي کامل مدل رياضي همگرا مي شود.
بيان اصل کار مجازي به فرم خطي و دوخطي و استفاده از آن در تعريف همگرايي
اسلاید 13 :
مثال: فرض کنيد تحليل يک سازه غشايي پيش تنيده با تکيه گاههاي سرتاسري ساده و با کشش (ثابت) پيش تنيدگي T که تحت اثر بارگذاري جانبي p مي باشد، مورد نظر است. براي اين مساله فرم (5) با اسفاده از اصل کار مجازي ايجاد نمائيد.
براي اين مساله، به کار گيري اصل کار مجازي نتيجه زير را مي دهد:
که در آن تغييرمکان جانبي است. سمت چپ اين معادله فرم دوخطي با و را به دست مي دهد. و حاصل انتگرال گيري سمت راست، مي باشد.
بر حسب عناصر محدود خاص مبتني بر تغييرمکان که در تحليل مساله تعريف شده در بالا مورد استفاده قرار مي گيرند (و به طور مناسب فرمول بندي شده اند)، به ميزاني که تعداد عناصر محدود افزايش پيدا مي کنند، همگرايي به جواب کامل ممکن است به صورت يکنوا يا غيريکنوا باشد.
بيان اصل کار مجازي به فرم خطي و دوخطي و استفاده از آن در تعريف همگرايي
اسلاید 14 :
معيارهاي همگرايي يکنوا
براي همگرايي يکنوا، عناصر بايد کامل بوده و نيز عناصر و شبکه بايد سازگار باشند.
اگر اين شرايط تامين شوند، به ميزاني که ريز کردن شبکه عناصر محدود ادامه پيدا مي کند، دقت نتايج حل به طور پيوسته افزايش خواهند يافت.
تظريف شبکه بايد از طريق تقسيم نمودن عناصر استفاده شده پيشين به دو عنصر يا بيشتر انجام گيرد، در اين صورت شبکه قديمي در شبکه جديد ”محاط مي شود“. از نکته نظر رياضي اين بدان معني است که فضاي جديد توابع درون يابي عناصر محدود، شامل فضاي استفاده شده پيشين خواهد بود و به ميزاني که شبکه ريزتر مي شود، بعد فضاي جواب هاي عناصر محدود به طور پيوسته افزايش پيدا مي کند تا در نهايت شامل جواب کامل شود.
شرط کامل بودن يک عنصر بدين معني است که توابع تغييرمکان عنصر بايد قادر باشند که تغييرمکان هاي صلب جسمي و حالت هاي کرنش ثابت را به نمايش گذارند.
تغييرمکان هاي صلب جسمي آن مودهاي تغييرمکاني هستند که عنصر بايد قادر باشد به عنوان يک جسم صلب آنها را تحمل کند بدون اينکه تنش هايي در آن ايجاد شود.
شرط کامل بودن يک عنصر
اسلاید 15 :
معيارهاي همگرايي يکنوا- شرط کامل بودن
به عنوان مثال يک عنصر تنش مسطح دو بعدي بايد قادر باشد که به طور يکنواخت در هر دو جهت صفحه خودش حرکت انتقالي نموده و نيز دوران نمايد، بدون اينکه کرنشي در آن ايجاد شود.
عنصري که در انتهاي آزاد سمت راست تير قرار دارد- با هر اندازه اي- بايد بدون ايجاد تنش، حرکت انتقالي و دوراني نمايد. زيرا از روابط ساده ايستايي مي توان فهميد تيره طره در آنسوي محل اعمال بار تحت اثر تنش نمي باشد.
اسلاید 16 :
روش هاي تعيين تعداد مودهاي صلب جسمي :
* براي عناصر محدود پيچيده تر، تعداد مودهاي کرنشي منفرد و مودهاي صلب جسمي را مي توان به طور موثري با نمايش ماتريس سختي بر مبناي ويژه بردارها نشان داد.
* تعداد مودهاي صلب جسمي يک عنصر مساوي تعداد درجات آزادي عنصر منهاي تعداد مودهاي کرنشي (يا مودهاي طبيعي) آن مي باشد.
به عنوان مثال، يک عنصر خرپايي دوگرهي، يک مود کرنشي (حالت کرنش ثابت) داشته و از اينرو داراي يک، سه، پنج مود صلب جسمي به ترتيب در شرايط يک، دو و سه بعدي مي باشد.
ويژه مساله:
(8)
(9)
که در آن ماتريسي است که ويژه بردارهاي را در بر دارد و يک ماتريس قطري است که شامل ويژه مقادير متناظر مي باشد، . در اين صورت با استفاده از خاصيت يکاتعامدي ويژه بردارها، داريم:
(10)
را مي توان ماتريس سختي عنصري متناظر با مودهاي تغييرمکاني ويژه بردار تلقي نمود. ضرايب سختي مستقيماً ميزان سختي عنصر را در مود تغييرمکان مربوطه نشان مي دهد. تبديل (10) نشان مي دهد که آيا مودهاي صلب جسمي وجود دارند يا نه و نيز چه مودهاي کرنشي اضافي موجود هستند.
معيارهاي همگرايي يکنوا- شرط کامل بودن
اسلاید 17 :
معيارهاي همگرايي يکنوا- شرط کامل بودن
مثال: هشت ويژه بردار و ويژه مقادير متناظر مربوط به يک عنصر چهار گرهي
از آنجا که تحليل عناصر محدود، سختي سازه را بيش از اندازه واقعي تخمين مي زند، از اينرو هر اندازه ويژه مقادير ”کوچکتر“ باشند، عنصر موثرتر خواهد بود.
* تعداد مودهاي صلب جسمي يک عنصر را مي توان از مطالعه ماتريس کرنش- تغييرمکان عنصر نيز مشخص نمود.
اسلاید 18 :
معيارهاي همگرايي يکنوا- شرط کامل بودن
ضرورت وجود حالات کرنش ثابت از نکته نظر فيزيکي :
اگر تصور کنيم که براي نمايش سازه از عناصر بيشتر و بيشتري در مجموعه همبسته عناصر استفاده مي شود، آنگاه ضرورت وجود حالات کرنش ثابت را مي توان به طور فيزيکي فهميد. در اين صورت، در حد، هنگامي که هر عنصر به يک اندازه بسيار کوچک ميل مي کند، کرنش در هر عنصر به يک مقدار ثابت نزديک مي شود و هرگونه تغيير پيچيده تنش در سازه را مي توان تقريب سازي کرد. به عنوان مثال عنصر تنش مسطح نشان داده شده در شکل زير بايد قادر باشد که دو شرط تنش عمودي ثابت و يک شرط تنش برشي ثابت را به نمايش گذارد.
اسلاید 19 :
معيارهاي همگرايي يکنوا- شرط کامل بودن در عناصر تک پارامتري
يک عنصر سه بعدي محيط پيوسته را در نظر مي گيريم. براي امکان پذير بودن حالات صلب جسمي و کرنش ثابت، فرمول بندي تک پارامتري بايد تغييرمکان هاي زير را که در دستگاه مختصات محلي عنصر تعريف مي شوند، در برگيرد.
(11)
تغييرمکان هاي نقاط گرهي متناظر با اين ميدان تغييرمکان عبارتند از:
(12)
شماره گره ها:
اسلاید 20 :
آزمون کامل بودن عنصر :
در فرمول بندي تک پارامتري:
(13)
تغييرمکان هاي تعريف شده در (13) مشابه تغيير مکان هاي تعريف شده در (11) مي باشند، البته به شرط اينکه براي هر عنصر داشته باشيم:
اين شرط قطعاً در عناصر تک پارامتري تامين مي شود. ولي براي اينکه يک عنصر تک پارامتري به طور مناسبي ايجاد شود، شرط مذکور بايد براي تمام نقاط در عنصر تامين شود.
معيارهاي همگرايي يکنوا- شرط کامل بودن در عناصر تک پارامتري
