دانلود مقاله توزیع فشار در کانالها

توزیع فشار در کانالها

هدف از تعیین توزیع فشار در کانالها، مشخص نمودن نحوه تغییرات پارامتر فشار در عرض و در عمق در مقطع خاصی از کانال می باشد. با داشتن توزیع فشار در کانالها و یا با انتگرال گیری از نیروهای جزء فشاری می توان برآیند حاصل از این نیروهای فشاری

را بر روی تاسیسات هیدرولیکی تعیین نمود .  علاوه بر این اطلاع از چگونگی توزیع فشار در به کار بردن آگاهانه معادلات انرژی و اندازه حرکت در کانالها سودمند خواهد بود . در این قسمت روابط لازم در تعیین تغییرات فشار در سه حالت مختلف یعنی جریان های یکنواخت (موازی) ، جریان های متغیر تدریجی و جریان های با انحناء در صفحه قائم ارائه خواهد شد.

توزیع فشار در جریان های یکنواخت (موازی)

کانالی که  با هر سطح شیب دار و سطح مقطع دلخواه را در نظر گرفته و فرض می کنیم که در این کانال جریان یکنواخت برقرار است. جهت به دست آوردن توزیع فشار در مقطع خاصی از این کانال مطابق شکل ۱-۹ الف ، ستونی از آب به عمق h    (در صفحه عمود بر جهت عمومی جریان) و سطح مقطع dA را در نظر گرفته و تغییرات فشار در امتداد این ستون را مورد بررسی قرار می دهیم.

در صورتی که معادله حرکت برای جرم این ستون و در جهت عمود بر خطوط جریان نوشته شود با توجه به این که خطوط جریان موازی هستند (حریان موازی) مؤلفه شتاب در جهت عمود بر خطوط جریان نمایش داده شده وجود نداشته و لذا :

مؤلفه وزن در جهت عمود بر خطوط جریان = نیروی فشار  

•     

P در این رابطه ، که به قانون تغییرات هیدرواستاتیکی فشار موسوم است بر مبنای فشار نسبی بیان گردیده است و h تغییرات عمق را در موضع مورد نظر در صفحه أی عمود بر جهت عمومی جریان نمایش می دهد .    و   نیز به ترتیب وزن مخصوص آب و زاویه شیب کانال می باشد . در صورتی که تعیین مقدار فشار در کف کانال مورد نظر باشد با قراردادنd به جای h می توان از رابطه زیر برای به دست آوردن فشار استفاده نمود :      

(۱-۸)                                                                                                                                                                                  

در شکل ۱-۹ ب، نحوه تغییرات فشار در جریان یکنواخت ترسیم گردیده است که براساس آن ، فشار مربوطه به صورت خطی از صفر تا مقدار  تغییر می نماید . با توجه به موارد ذکر شده در صورتی که پیزومترهای فرضی در مقطع جریان در موضع مورد نظر از کانال قرارداده شود سطح این پیزومترها منطبق بر سطح آزاد نخواهد بود. نکته ای که در این رابطه قابل ذکر است این است که در صورتی که شیب کف کانال کم باشد(کم بودن کانال شیب امری است نسبی است و در این مورد زاویه ۶۰ <   به عنوان شیب کم در نظر گرفته می شود. این زاویه شیبی در حدود ده درصد را مطرح می کند که در مسایل عملی چنین شیب زیادی کمتر پیش می آید)

 

 

 

 می توان را تقریباً معادل یک در نظر گرفت و در نتیجه در کانال با شیب کم روابط ۱-۷ و ۱-۸ به صورت زیر در خواهند آمد :

لذا در کانال با شیب کم است که می توان خط تراز هیدرولیکی (سطح پیزومتری) را منطبق بر سطح آزاد در نظر گرفت .

توزیع فشار در جریان های متغیر تدریجی

با توجه به ویژگی هایی که از جریان متغیر تدریجی ذکر گردید ، توزیع فشار در این حالت نیز از قانون تغییرات هیدرواستاتیکی فشار تبعیت خواهد کرد. و روابط ۱-۷ و ۱-۸ در این حالت نیز صادق می باشند.  فرض  بر قرار بودن قانون تغییرات هیدرواستاتیکی فشار در جریان های متغیر تدریجی یکی از فرضیات اساسی در به دست آوردن معادله حاکم بر این گونه جریان ها می باشد که در فصل پنجم توضیح داده خواهد شد.

توزیع فشار در جریان های با انحناء در صفحه قائم

در مطالعات چگونگی تغییرات فشار در قسمت تاج سر ریزها و یا در انحناء پای سر ریزها با توجه به انحناء شدیدی که جریان در این مواضع به خود می گیرد دیگر نمی توان از رابطه      ۱-۷   استفاده نمود بلکه باید تصحیحاتی که در برگیرنده تاثیر انحنای جریان باشد اعمال گردد. بدین منظور نخست جریانی با تقعر به سمت بالا را در نظر گرفته (شکل ۱-۱۰) و تغییرات فشار را در مقطعی که کاملاً در صفحه قائم قرار داد مورد بررسی قرار می دهیم .

از آنجایی که هندسه دقیق جریان و نیز نحوه تغییرات سرعت در این موضع روشن نمی باشد بررسی چگونگی تغییرات فشار نیاز به فرضیاتی دارد.

مطابق شکل ۱-۱۰ الف، ستونی از آب به عمق مقطع dA  در مقطع مورد نظر انتخاب کرده  معادله حرکت در جهت عمود بر خطوط جریان نوشته می شود :

(۱-۹)                                                                                                                     یا          

در روابط فوق ،  شتاب جانب به مرکز ، r  شعاع انحناء ،  V سرعت یکنواخت و متوسط جریان در مقطع مورد نظر و h^‘  ارتفاع معادل فشار بر حسب ستون آب می باشند .

چنانکه رابطه ۱-۹ دو فرض اساسی در نظر گرفته شده است که یک فرض مربوط به توزیع یکنواخت سرعت در مقطع می باشد و دیگری شعاع انحناء را در ستون آب انتخابی یکسان و ثابت در نظر می گیرد در این روش که توسط Chow ارائه گردیده پیشنهاد می شود

که در صورتی که فشار در کف کانال مد نظر باشد در رابطه ۱-۹ بجای d  ,h  عمق جریان و به جای r شعاع انحناء کف کانال قرار داده شوند ولی منطقی به نظر می رسد که در هر عمق از جریان شعاع انحناء مربوط به نصف آن عمق به عنوان شعاع انحناء در رابطه ۱-۹ قرار داده شود.

شکل ۱-۱۰ ب چگونگی تغییرات فشار حقیقی را نسبت به تغییرات هیدرواستاتیکی فشار نشان می دهد. در این شکل ارتفاع صعود آب درون یک پیزومتر فرضی نیز دیده می شود

 

 

در شکل ۱-۱۱ حالتهای کاملی با انحناء در صفحه قائم ، شامل جریان محدب در صفحه کاملاً قائم و نیز جریان های محدب و مقعر در صفحه دارای شیب   نشان داده شده اند که روابط ارائه شده در هر قسمت به صورت کاملاً با رابطه ۱-۹ قابل استخراج می باشند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

بررسی معادلات اساسی حاکم بر حرکت سیالات

در توضیح قوانین حاکم بر حرکت سیالات و به کار بردن این قوانین در کانال‌ها، نکات زیر لازم به توضیح می‌باشند:

الف- در به دست آوردن معادلات اساسی، علی‌رغم توزیع غیر یکنواخت سرعت در مقطع، تغییرات عرضی سرعت در نظر گرفته نمی‌شود و در نتیجه محاسبات بر مبنای سرعت متوسط در مقطع صورت می‌گیرد که این به معنی تحلیل یک بعدی از جریان می‌باشد. سپس با در نظر گرفتن توزیع سرعت واقعی در مقطع تصحیح مربوط به یک بعدی فرض نمودن جریان در معادلات وارد می‌گردد. در تحلیل یک بعدی از جریان، در هر مقطع از جریان یک سرعت ثابت و فشار ثابت در نظر گرفته می‌شود.

ب- با توجه به این که در مکانیک سیالات با جریان پیوسته‌ای از سیال در یک حوزه‌ی وسیع روبه‌رو هستیم لذا تحلیل مسائل سیالات و بررسی مشخصات جریان در محدوده‌ی خاصی از حوزه‌ی جریان و با استفاده از حجم ثابتی در فضا صورت می‌گیرد که موقعیت و شکل این حجم در فضا ثابت در نظر گرفته می‌شود و عبور پیوسته جرم سیال به داخل این حجم وجود دارد. چنین حجمی کنترل (Control Volume) نامیده می‌شود.

حجم کنترل شبیه ترسیمه‌ی آزاد در مکانیک جامدات می‌باشد که در انتخاب مناسب آن باید دقت نمود. مرزهای حجم کنترل سطوح کنترل (Control Surface) نامیده می‌شوند. این سطوح در نقاط تماس با مرز جامد منطبق بر مرز جامد و در نقاط تماس با جریان سیال، عمود بر جهت عمومی جریان سیال، عمود بر جهت عمومی جریان سیال انتخاب می‌شوند. شکل ۱-۱۳ یک حجم کنترل انتخابی در حوزه‌ی جریان سیال را نشان می‌دهد.

 

 

 

 

 

با انتخاب مناسب حجم کنترل می‌توان در هر لحظه اثر جرم سیال قرار گرفته در درون حجم کنترل را بر روی حجم کنترل و یا اثر متقابل حجم کنترل بر روی جرم سیال را پیدا نمود. این اثرات خواصی از جریان هستند که در تحلیل‌های مکانیکی مدنظر قرار می‌گیرند.

در تحلیل جریان با استفاده از حجم کنترل این مطلب وجود دارد که معادلات اساسی و یا معادلات بقاء به جرم خاص و معینی از سیال اطلاق می‌شوند و یا به عبارت دیگر معادلات بقاء در هر لحظه برای سیستم، که می‌تواند جرم قرار گرفته درون حجم کنترل باشد،

قابل بیان هستند، ولی روابط بیان شده برای سیستم را می‌توان توسط قضیه‌ای موسوم به قضیه‌ی انتقال رینولدز به حجم کنترل انتقال داد و در هر لحظه و در محدوده‌ی خاصی از جریان سیال نتیجه‌ی لازمه را در پیدا کردن مشخصات مکانیکی جریان که در تحلیل‌های مهندسی لازم می‌آید به دست آورد.

رابطه‌ی بین سیستم و حجم کنترل به صورت زیر نوشته می‌شود.[۱]

       = تغییراتN در واحد زمان مربوطه به سیستم

(N ورودی در واحد زمان از سطوح کنترل –N خروجی در واحد زمان از سطوح کنترل) + تغییرات N در داخل حجم کنترل)

(N ورودی در واحد زمان از سطوح کنترل –N خروجی در واحد زمان از سطوح کنترل) +

(۱-۱۱)

در رابطه‌ی ۱-۱۱ ، N یک کمیت نسبت داده شده به جرم خاص نظیر اندازه‌ی حرکت یا انرژی می‌باشد. در صورتی که مقدار خاصیت N در واحد جرم به  نمایش داده شود   رابطه ۱-۱۱ در مکانیک سیالات به رابطه‌ی زیر تبدیل می‌گردد:

(۱-۱۲)                                                                                                                                  

عبارت اول در سمت راست رابطه‌ی ۱-۱۲ که در آن انتگرال روی حجم کنترل تعریف گردیده است، بیانگر تغییرات N در داخل حجم کنترل در زمان بوده که در جریان‌های غیردائمی ظاهر می‌شود.

عبارت دوم که در آن انتگرال روی سطح تعریف شده است بیانگر تغییرات N در روی سطوح کنترل می‌باشد که در جریان‌های دائمی و غیر دائمی وجود خواهد داشت.

با انتخاب دلخواه N و استفاده از رابطه کلی ۱-۱۲ ، می‌توان معادلات اساسی حاکم بر جریان سیالات را استخراج نمود:

۱- رابطه پیوستگی : این رابطه بیان گر قانون بقای جرم برای یک سیستم می‌باشد. لذا در این حالت  و  بوده و با توجه به این که  می‌باشد، با استفاده از رابطه‌ی ۱-۱۱ می‌توان نوشت:

(جرم ورودی در واحد زمان از سطوح کنترل- جرم خروجی در واحد زمان از سطوح کنترل)+

یعنی:

تغییر  در داخل حجم کنترل در واحد زمان خروجی در واحد زمان از حجم کنترل ورودی در واحد زمان به حجم کنترل

 

(۱-۱۳)

رابطه ۱-۱۳، برای یک حجم کنترل به خوبی قابل درک می‌باشد و در صورتی که جریان دائمی باشد عبارت سمت راست برابر صفر است و این رابطه نشان می‌دهد که جرم ورودی در واحد زمان به حجم کنترل معادل جرم خروجی در واحد زمان از حجم کنترل می‌باشد.

۲- رابطه اندازه حرکت : در استفاده از رابطه ۱-۱۱، یا رابطه ۱-۱۲، جهت استخراج معادله اندازه حرکت کمیت‌های برداری  و  انتخاب می‌شوند. با توجه به قانون بقای اندازه حرکت خطی می‌توان نوشت:

(۱-۱۴)                                                                                                                                              

در رابطه ۱-۱۴،  به جای اندازه حرکت خطی سیستم انتخاب گردیده و  برآیند نیروهای خارجی وارد بر جرم داخل حجم کنترل می‌باشد. این نیروها می‌توانند شامل اثرات نیروهای سطحی یعنی نیروهای فشاری و مماسی و نیروهای جسمی نظیر وزن باشند.

با به کار بردن رابطه ۱-۱۱، می‌توان نوشت:

(۱-۱۵)                                                                                                                        

و یا

(۱-۱۶)                                                                                                                                   

عبارت اول در سمت راست رابطه ۱-۱۶، تغییرات اندازه حرکت در داخل حجم کنترل در واحد زمان بوده که فقط در جریان‌های غیردائمی ظاهر می‌شود. در حقیقت این عبارت ناشی از شتاب موضعی ذرات سیال می‌باشد.

عبارت دوم در سمت راست رابطه مذکور، تغییرات اندازه حرکت بر روی سطوح کنترل را نشان می‌دهد که در جریان‌های دائمی و غیر دائمی وجود داشته و ناشی از شتاب جابه‌جایی ذرات سیال می‌باشد.

۳- رابطه انرژی : مطابق قانون اول ترمودینامیک در مورد یک سیستم می‌توان نوشت:

(۱-۱۷)                                                                                                                                            

رابطه فوق نشان می‌دهد که در صورتی که از گرمای داده شده به سیستم (+) کار انجام شده توسط سیستم (+) کاسته گردد، تغییر در انرژی کلی سیستم به دست می‌آید. انرژی کلی سیستم متشکل از انرژی پتانسیل، انرژی جنبشی و انرژی داخلی (ناشی از وضعیت قرار گرفتن مولکول‌ها) می‌باشد.

در صورتی که رابطه ۱-۱۲ در ارتباط دادن تغییر لحظه‌ای خواص سیستم به حجم کنترل به کار رود و  در نظر گرفته شود:

(۱-۱۸)                                                                                                                           

رابطه ۱-۱۸، برای حرکت کلیه سیالات اعم از تراکم‌پذیر و تراکم‌ناپذیر و با در نظر گرفتن کلیه اشکال انرژی یعنی انرژی‌های مکانیکی و حرارتی نوشته شده است.

در جریان‌ دائمی یک سیال تراکم‌ناپذیر، قدری از انرژی مکانیکی به صورت گرما از محیط خارج می‌شود و با توجه به این که این انرژی بازگشت‌ ناپذیر باشد به عنوان افت انرژی در نظر گرفته می‌شود. بررسی بیشتر روی معادله انرژی نشان می‌دهد که در جریان دائمی سیال تراکم‌ناپذیر برای حجم کنترل انتخابی می‌توان نوشت :

انرژی ورودی در واحد زمان به حجم کنترل – افت انرژی در واحد زمان = انرژی خروجی در واحد زمان از حجم کنترل

(۱-۱۹)

در رابطه‌ی (۱-۱۹) منظور از انرژی‌های ورودی و خروجی، انرژی مکانیکی می‌باشد و با توجه به این که این انرژی‌ها در روی سطوح کنترل تعریف می‌شوند، کار نیروی فشاری در روی سطوح کنترل تعریف می‌شوند، کار نیروی فشاری در روی سطوح کنترل نیز به عنوان انرژی معادل فشار در این عبارات در نظر گرفته می‌شود. بدیهی است افت انرژی شامل انرژی از دست رفته از توده سیال به صورت گرما می‌باشد.

در پایان لازم به ذکر است که روابط پیوستگی، اندازه‌ی حرکت و نیز انرژی مطرح شده در این قسمت به معادلات انتگرالی در تحلیل جریان موسوم هستند که در تحلیل بسیاری از مسایلی عملی هیدرولیک کاربرد دارند.

کاربرد روابط اساسی حاکم بر حرکت سیالات در جریان آب در کانال‌های باز

رابطه‌ی پیوستگی حجم کنترل انتخابی محصور بین دو مقطع ۱ و ۲ از شکل ۱-۱۴ الف را که نشان‌دهنده‌ی جریان دائمی در یک کانال باز است در نظر می‌گیریم.

 

 

 

 

 

حجم جریان یافته در واحد زمان از مقطع ۱ و یا ۲ از حاصل‌ضرب سرعت در مساحت مقطع جریان به دست می‌آید. این حاصل‌ضرب، ضدت حجمی جریان و یا دبی جریان نامیده می‌شود یعنی :                                                                                                   

مطابق رابطه‌ی ۱-۱۳ رابطه‌ی پیوستگی برای حجم کنترل انتخابی به صورت زیر نوشته می‌شود:

جرم خروجی در واحد زمان از حجم کنترل = جرم ورودی در واحد زمان به حجم کنترل

(۱-۲۰)                                                                                                                  

رابطه‌ی فوق رابطه‌ی پیوستگی در ساده‌ترین شکل برای حجم کنترل انتخابی می‌باشد. رابطه‌ی ۱-۲۰ نیاز به هیچ گونه تصحیحی در ارتباط با یک بعدی فرض نمودن جریان ندارد زیرا مطابق تعریف، سرعت متوسط سرعتی است که همان دبی جریان یافته بر مبنای توزیع سرعت حقیقی را تأمین می‌کند. به عبارت دیگر در هر مقطع از جریان:

رابطه‌ی اندازه‌ی حرکت

شکل ۱-۱۴ ب حجم کنترل انتخابی بین دو مقطع از جریان دائمی در یک کانال منشوری با هر سطح مقطع دلخواه را نشان می‌دهد. مطابق ۱-۱۵ و بر اساس یک تحلیل یک بعدی می‌توان نوشت:

(۱-۲۱)                                                                                                                                                                        

نیروهای خارجی مؤثر بر جرم قرار گرفته در داخل حجم کنترل عبارتند از:

W- وزن آب داخل حجم کنترل

Fp₁– نیروی فشاری در مقطع ۱

Fp₂– نیروی فشاری در مقطع ۲

F_f– نیروی اصطکاک کف کانال که در صورت غیرمنشوری بودن کانال می‌تواند در برگیرنده‌ی نیروی ناشی از جداره‌ها و یا هر مانع دیگر در مسیر جریان باشد .

در صورتی که رابطه‌ی برداری ۱-۲۱ در جهت حرکت نوشته شود :

(۱-۲۲)                                                                                                         رابطه‌ی ۱-۲۲ می‌تواند شامل نیروی اصطکاک ناشی از مقاومت هوا بر روی جرم داخل حجم کنترل نیز باشد که به دلیل کم بودن مقدار آن، در تحلیل ارائه شده در نظر گرفته نشده است. طرف دوم رابطه‌ی ۱-۲۲ بر مبنای توزیع سرعت متوسط نوشته شده است، لذا باید مقادیر اندازه‌ی حرکت جاری شده در واحد زمان در هر مقطع را بر اساس توزیع سرعت حقیقی در آن مقاطع تصحیح نمود که از ضریب تصحیح  به شکل زیر استفاده می‌گردد.

(۱-۲۳)      = اندازه‌ی حرکت جاری شده در مقطع در واحد زمان بر مبنای سرعت متوسط

با توجه به رابطه‌ی ۱-۲۳ اندازه‌ی حرکت جاری شده بر مبنای سرعت حقیقی در هر قسمت به صورت زیر نوشته می‌شود:

(۱-۲۴)        اندازه‌ی حرکت جاری شده در مقطع در واحد زمان بر مبنای سرعت حقیقی

که در آن v نشان دهنده‌ی مقدار سرعت حقیقی در هر جزء مقطع d A می‌باشد. در نتیجه می‌توان  را به عنوان ضریبی معرفی نمود که هر گاه در اندازه‌ی حرکت جاری شده در مقطع در واحد زمان بر مبنای سرعت متوسط ضرب شود، اندازه‌ی حرکت حقیقی را ایجاد کند لذا :

 

با توجه به متفاوت بودن توزیع سرعت در هر مقطع و با وارد کردن اثر تصحیحی  ، رابطه‌ی ۱-۲۵ به صورت کامل زیر نوشته می‌شود:

(۱-۲۶)                                                                                

 و  ضرایب تصحیح اندازه‌ی حرکت مربوط به یک بعدی فرض نمودن جریان می‌باشند که برای یک توزیع سرعت حقیقی همواره مقداری بزرگ‌تر یا مساوی یک دارند.  تابع توزیع سرعت در مقطع ۱ و  تابع توزیع سرعت در مقطع ۲ می‌باشد به گونه‌ای که:

رابطه انرژی رابطه‌ی انرژی در جریان دائمی آب در یک کانال باز برای حجم کنترل انتخاب شده در شکل ۱-۱۴ ج به صورت زیر می‌باشد:

انرژی خروجی در واحد زمان از حجم کنترل = افت انرژی در واحد زمان– انرژی ورودی در واحد زمان به حجم کنترل

(۱-۲۷)

اگر رابطه‌ی فوق بر وزن عبوری در واحد زمان تقسیم شود  به صورت زیر نوشته خواهد شد:

(۱-۲۸)                                                                                                                                                     

با توجه به این که هر یک از دو پارامتر عددی  و  مشتمل بر انرژی پتانسیل، انرژی جنبشی و کار نیروی فشاری می‌باشند، رابطه‌ی ۱-۲۸ بر مبنای تحلیل یک بعدی به رابطه‌ی زیر تبدیل خواهد شد:

(۱-۲۹)                                                                                                            

که این رابطه بر اساس یک تحلیل ترمودینامیکی از رابطه‌ی ۱-۱۸ نیز قابل استخراج می‌باشد. در صورتی که  از رابطه‌ی ۱-۲۹ حذف گردد، این رابطه همان معادله‌ی برنولی است که نشان می‌دهد در جریان یک سیال ایده‌آل (بدون اصطکاک و تراکم‌ناپذیر) مجموع عبارات  و Z و  بر روی یک خط جریان ثابت می‌باشد ولی با توجه به وجود افت انرژی در یک جریان حقیقی، نگرش ترمودینامیکی به معادله‌ی انرژی از مفهوم بیشتری برخوردار است.

رابطه‌ی ۱-۲۹ بر مبنای تحلیل یک بعدی نوشته شده است ولی باید ضریب تصحیح انرژی جنبشی مربوط به یک بعدی فرض نمودن جریان به این معادله اعمال شود:

(۱-۳۰)                                                                                                 

مطابق شکل ۱-۱۵ باید در نظر داشت که در جریان یکنواخت (موازی) و جریان متغیر تدریجی با توجه به فرض توزیع فشار هیدرواستاتیک در هر مقطع، جمع دو عبارت   وZ روی تمام نقاط سطح مقطع ثابت می‌باشد و لذا تصحیحی برای  در نظر گرفته نمی‌شود.

 

 

 

 

از نقطه نظر محاسباتی، رابطه‌ی انرژی باید در محلی نوشته شود که خطوط جریان نسبتاً موازی و فرض توزیع هیدرواستاتیکی فشار برقرار باشد.

مقدار  نیز با استفاده از روابط زیر نتیجه‌گیری می‌شود:

 انرژی جنبشی جاری شده از سطح مقطع در واحد زمان بر مبنای توزیع سرعت حقیقی

 انرژی جنبشی جاری شده از سطح مقطع در واحد زمان بر مبنای سرعت متوسط

در نتیجه با توجه به شکل ۱-۱۴ ج کامل‌ترین شکل معادله‌ی انرژی به صورت‌های زیر نوشته خواهد شد:

(۱-۳۱)                                             

 

بررسی مقادیر  و

 و  تابع توزیع سرعت در مقطع جریان بوده و از آن جا که رابطه‌ی کلی در توزیع سرعت در کانال‌ها در دسترس نمی‌باشد، لذا مبنای نظری دقیقی در تعیین  و  وجود ندارد و این عوامل به صورت کلی تحت تأثیر عوامل مؤثر در توزیع سرعت در کانال می‌باشند ولی مسلما مقدار  همواره بزرگ‌تر از  و هر دو بزرگ‌تر از یک می‌باشند  که اثبات ریاضی این مطلب به عنوان تمرین به عهده‌ی مطالعه‌کنندگان گذاشته شده است.

[۱]– لازم به توضیح است که تمام روابط که دارای علامت تساوی هستند از چپ به راست خوانده می‌شوند.