بخشی از مقاله
خلاصه
معادلات حاکم بر جریان غیر دائمی در کانالهای باز به معادلات سن ونان معروف هستند. این معادلات به شکل معادلات دیفرانسیل جزئی غیر خطی و از نوع هذلولوی میباشندکه به طور تحلیلی قابل حل نیستند و برای حل این معادلات از روش عددی یا گرافیکی استفاده میشود. در این مقاله عمق و هیدروگراف جریان در یک کانال مستطیلی با جریان متغییر تدریجی غیر دائمی از روش مشخصهها و تفاضل محدود با هم مقایسه شدهاند این کار با برنامهنویسی این دو روش در متلب امکان پذیر شد با توجه به بررسیهای انجام شده روشمشخصهها به زمان اجرایی بیشتری برای محاسبه پروفیل سطح آب نسبت به تفاضل محدود صریح نیازمند است و نزدیک بودن عدد کورانت به یک باعث نزدیکی نتایج حاصل از این دو روش شده است.
کلمات کلیدی: معادلات سن ونان ، جریان غیر دائمی ، روش عددی، روش مشخصهها، روش تفاضل محدود
1. مقدمه
جریان آب در طبیعت معمولا به شکل غیر دائمی است یعنی ویژگیهای جریان نسبت به زمان ثابت نیست و علت این تغییرات عوامل طبیعی و انسانی میباشد. سیلابها، ذوب شدن برفها و عملکرد دریچهها در سازههای هیدرولیکی نمونههایی از جریان غیر دائمی بوده که در طبیعت فراوان یافت میشود. معادلات حاکم بر جریان غیر دائمی در کانالهای باز معادلات پیوستگی و اندازه حرکت میباشند که به معادلات سن و نان معروف هستند .[1] تلاشهای بسیاری برای حل این معادلات انجام گرفته است از جمله روشهای عددی که برای حل این معادلات ارائه شده است میتوان به روش مشخصه و روش تفاضل محدود اشاره کرد. مونژ در سال 1789 با حل ترسیمی معادلات دیفرانسیل جزئی به روش مشخصهها رسید. روش مشخصه معادلات دیفرانسیل جزئی را به معمولی تبدیل میکند و در روش تفاضل محدود به جای مشتقهای جزئی از تفاضلهای محدود استفاده میشود و به این صورت مشتقات جزئی با تفاضل محدود تقریب زده میشوند.[2]
2. معادلات حاکم
معادلات حاکم بر جریان رابطه - - 1 پیوستگی و رابطه - - 2 اندازه حرکت است که به معادلات سن ونان معروف هستند. که در آن Vسرعت جریان، y عمق جریان، D A T عمق هیدرولیکی، A سطح مقطع جریان، T عرض سطح آب، S0 شیب کف کانال، S f شیب خط انرژی، x مسافت در طول کانال، t زمان و g شتاب جاذبه زمین هستند.[3] ترکیب دو رابطه - 1 و - 2 تشکیل معادله دیفرانسیل هذلولوی را میطلبد این معادلات از جهات خاصی تاثیر میپذیرند لذا در مسیر خاصی از فضای - x,t - قابل حل هستند. معادلات سن ونان حل تحلیلی عمومی ندارند لذا بایستی یا به صورت عددی یا به شکل گرافیکی حل شوند یا در حالت خاص با صرف نظر کردن از بعضی ترمها حل شوند روش مشخصه ها و تفاضل محدود از جمله روشهای عددی برای حل معادلات سن ونان میباشد.
3. معادلات روش مشخصه
با به کارگیری معادلات پیوستگی و اندازه حرکت به معادلات مشخصه میرسیم که برای این کار با ضرب کردن رابطه - - 2 در ضریب مجهول و جمع کردن آن با رابطه - - 1 این ضریب مجهول را به گونهای تعیین میکنیم که دیفرانسیل کاملی برای معادلات عمق و سرعت جریان حاصل شود و به روابط - 2 و - 3 که به معادلات سازگاری معروفند میرسیم رابطه - - 3 در دستگاه مختصات به شکل یک منحنی رسم میشود که به آن منحنی مشخصه C و رابطه - - 4 به منحنی مشخصه C موسوم است که در شکل - - 1 نشان داده شده است. [4]
4. معادلات روش تفاضل محدود
روش تفاضلات محدود یک راه حل عددی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی می باشد. با تبدیل دامنه فیزیکی پیوسته مسئله به شبکههای گسسته تفاضلات محدود قابل محاسبه است در این روش مقادیر دقیق مشتقات جزئی با تقریبات جبری تفاضلات محدود حاصله از بسط سری تیلور تقریب زده می شود.[6] معادله پیوستگی به شکل رابطه - - 7 قابل بازنویسی است :
5. پایداری روشها
برای اینکه جوابهای روش عددی پایدار شود بایستی بازه زمانی t به گونهای تعیین شده که عددکورانت کوچک تر از یک باشد رابطه - . - 10 از طرفی چون هر چه عدد کورانت کوچک تر شود زمان محاسبات و در نتیجه هزینه محاسباتی بالاتر می رود سعی میشود که این عدد نزدیک به یک انتخاب گردد. لزوم برقراری این شرط به واسطه این است که منحنی C و C ما بین A وB قرار گیرد . [7]
