بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
کاربرد حساب - تغییرات برای کاهش ارتفاع موج در کانالها با جریان ناپایدار
چکیده
چنانچه مشخصات جریان در یک مقطع از کانال نسبت به زمان تغییر کنتد جریان را ناپایدار گویند. در صورتیکه تغییرات فوق بطور ناگهانیصورت پذیرد، جریان را ناپایدار متغیر سریع (Rapidly - Varied Unsteady Flow) و چنانچه تغییرات به آهستگی انجام شود، جریان راناپایدار متغیر تدریجی، (Gradually - Varied Unsteady Flow) مینامند.
اگر در اثر بهرهبرداری نادرست و یا غفلت اپراتور، مثلا در یک نیروگاه و یا در یک ایستگاه پمپاﮊ دبی جریان در کانال تغییر ناگهانی پیدا نماید،امواج((Negative or Positive surges حاصله بطرف بالادست و یا پایین دست کانال حرکت نموده و نوسانات نامطلوبی درسطح آب پدیدمی آورند. این پدیده ناشی از ایجاد جریان نوع RVUF میباشد و در عمل بایستی تحت کنترل قرار گیرد. زیرا ممکن است موجب تخریب دیوارهکانالها و یا سایر تجهیزات گردد.
این پژوهش نشان میدهد که با استفاده از تکنیک حساب - تغییرات و با ایجاد تغییر دبی (کنترل شده) جریان در یک انتهای کانال ، میتوان دامنهامواج (ناخواسته) بوجود آمده در انتهای دیگر کانال را کاهش داد و از خسارات احتمالی آن جلوگیری نمود. توضیح اینکه با بهرهگیری از این تکنیکمیتوان امکان حداقل نمودن نوسانات سطح آب ناشی از امواج نامطلوب را از قبل، ارزیابی و با یک سیستم رایانهای مانع از خسارات احتمالی درتأسیسات آبی گردید. در این تحقیق از معادلات ناپایدار حاکم بر جریان متغیر تدریجی برای تقریب جریانهای متغیر سریع استفاده گردیده است . دقتعملی در کنترل جریان بستگی تام به برآورد ضررهای مالی ناشی از نوسانات سطح آب خواهد داشت.
مقدمه
چنانچه مشخصات جریان مانند دبی جریان در هر نقطهای از کانال نسبت به زمان تغییر کند، جریان را ناپایدار گویند. در صورتیکه تغییرات فوقناگهانی باشد، جریان را ناپایدار متغیر سریع و در صورتیکه تغییرات به آهستگی انجام شود، جریان را ناپایدار متغیر تدریجی مینامند. در حالتجریانهای متغیر سریع، حالت پلهکانی در سطح آب ممکن است دیده شود که به آن Shock یا boreگویند. جریانهای متغیر سریع در حالاتمختلفی از جمله طرحهای هیدروالکتریک یا ایستگاههای پمپاﮊ در اثر تغییر ناگهانی دبی جریان بوجود آمده و باعث تغییرات نامطلوبی در اثر ایجادامواج میشود و بسته به اهمیت طرح ممکن است نوسانهای سطح آب بوجود آمده موجب خساراتی نظیر فرسایش دیواره کانال، تخریب تجهیزات،افزایش مخارج بهرهبرداری و کاهش بازدهی گردد.]١[
در این پژوهش از معادلات حاکم بر جریانهای متغیر تدریجی برای تقریب جریانهای متغییر سریع استفاده گردیده است. بفرض کانالی داشتهباشیم که در دو انتهای آن دو ایستگاه پمپاﮊ قرار گرفته است. در حالت عادی که میزان پمپاﮊ در این دو
١
سومین کنفرانس هیدرولیک ایران
ایستگاه برابرند، مشکلی بوجود نخواهد آمد. ولیاگر در اثر بهرهبرداری نادرست و غفلت اپراتور مثلا ظرفیت ایستگاه پمپاﮊ پایین دست یا بالادست تغییر ناگهانی نماید، موج بوجود آمده بطرف بالادستیا پاییندست حرکت کرده و نوسانهای سطح آب در کانال ممکن است باعث خساراتی گردد. این امکان وجود دارد که با ایجاد تغییر دبی (کنترل شده) دریک انتهای کانال، موج نامطلوب بوجود آمده درکانال را کاهش داد. بعبارت دیگر با ایجاد هرگونه تغییر دبی جریان با زمان در یک انتهای کانال، تعیینمیزان تغییر دبی جریان در انتهای دیگر کانال که باعث حداقل گردیدن نوسانهای سطح آب در کانال شود، امکانپذیر است. برای این منظور از »مسئلهتغییرات(Variational Problem) « استفاده میگردد.]٢[
در این روش میزان عملی کنترل دبی جریان بستگی به میزان ضررهای مالی ناشی از نوسانهای سطح آب خواهد
داشت.
مسأله حداقل زمان برنولی
حساب تغییرات از مسأله پیشنهاد شده بوسیله ریاضی دان سوئیسی جان برنولی (١٦٦٧-١٧٤٨) ناشی شده است. او به یک منحنی بین دو نقطهثابت A و B در صفحه قائم احتیاج داشت که جسمی در آن (تحت نیروی ثقل و بدون اصطکاک) بلغزد و در مینیمم زمان به پایین بیابد. جواب اینمسأله بدیهی نبود. خط مستقیم بین A و B جواب مسأله نیست.]٣[
برای طرح مسأله به صورت ریاضی، محورهای مختصات را مانند شکل (١ (در نظر میگیریم به قسمی که A در نقطه (o,o) و B در نقطه((a,b قرار گیرد. فرض میکنیم ذرهای از حالت سکون از نقطه A تحت اثر نیروی ثقل رها شود. از اصل بقای انرﮊی داریم:
درx = 0 ، انرﮊی جنبشی صفر است. اگر v مقدار سرعت ذره باشد، داریم:
عنصر طول قوس را تقریباﹰ میتوان به صورت زیر محاسبه کرد:
اگر آن را بر dt تقسیم کرده و dt ط ٠ را به سمت صفر میل دهیم داریم :
که در آن s طول قوس در امتداد منحنی است، از (١) و (٤) نتیجه میشود :
که با انتگرالگیری، مدت زمان پایین آمدن به دست میآید.
حال میخواهیم مسیر y = y (x) را به قسمی تعیین کنیم که در شرایط y(a)=b,y(0)=0 صدق کرده، (٦) را مینیمم
کند.
معادله اویلر
مسأله فوق یک حالت خاص پیداکردن مقادیر اکسترمم تابعیهایی (Functionals) به صورت زیر است :
که در آن F تابعی از است و یک مسیر بین
است، یعنی:
میتوان ثابت کرد که با حل معادله اویلر که در شرایط (٨) صدق کند، جواب اکسترمم (٧) بدست خواهد آمد. معادل اویلر بصورت زیر است:
کاربرد مسئله تغییرات در مجاری روباز
ابتدا باید کمیتی که قرار است حداقل گردد، مشخص گردد. یک روش تعیین مقدار اختلاف ارتفاع سطح آب y(x,t) از یک مقدار مطلوب yoمیباشد. بنابراین برای هر بازه طولی L از کانال و فاصله زمانی T تعریف زیر میتواند مورد استفاده قرارگیرد ] ٢: [
که در آن X فاصله بطرف پاییندست کانال (شکل ٢ ) ∆y حد مجاز مقدار انحراف از سطح آب مطلوب yo و r یک عدد صحیح مثبت است.هدف کنترل جریان بنحوی است که مقدار I حداقل گردد.
برای تعیین پروفیل سطح آب بین دو انتهای کانال باید سطح آب ودبی جریان در دو انتهای کانال مشخص شوند. بعلاوه معادلات حاکم برجریان در بازه کانال بایستی مشخص گردند. هدف از این پژوهش معرفی یک ابزار قوی ریاضی برای مسائل بهینهسازی جریان در کانالهای روباز است.بعنوان مثال حالت سادهای که شامل یک کانال با مقطع ذوزنقهای، شیب کف ناچیز، عرض کف bo و شیب جانبی mاست، را درنظر بگیرید. (شکل ٢).همچنین
