دانلود مقاله عدد π

بخشی از مقاله

مقدمه
عدد پی عددگنگی است که در اکثر محاسبات ریاضی به نحوی حضور دارد و از مهمترین اعداد کاربردی در ریاضیات می‌باشدو آن را با نمایش می‌دهند. در هندسه اقلیدسی دو بعدی، این عدد را نسبت محیط دایره به قطر دایره و یا مساحت دایره ای به شعاع واحد تعریف می‌کنند. در ریاضیات مدرن این عدد را در علم آنالیز و با استفاده از توابع مثلثاتی ، به صورت دقیق ریاضی تعریف می‌کنند.به عنوان نمونه عدد پی رادو برابر کوچکترین مقدار مثبت x ،که به ازای آن cos(x)=0 میشود تعریف می‌کنند.

تاریخچه
بابلیان هنگامی که می‌خواستند مساحت دایره را حساب کنند،مربع شعاع آن را در 3 ضرب می‌کردند.البته لوح‌های قدیمی تری از بابلیان وجود دارد که مشخص می‌کند آنها مقدار تقریبی پی را برابر3.125 می‌دانستند.در مصر باستان مساحت دایره را با استفاده از فرمول محاسبه می‌کردند.( d قطر دایره در نظر گرفته می‌شد )که در نتیجه مقدار تقریبی عدد پی 3.1605 بدست می‌آید.

تقریب اعشاری عدد پی
اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط ارشمیدس بیان شد.این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره بوسیله یک شش ضلعی منتظم
محیطیو یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.
ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیک‌تر شدند.از جمله این دانشمندان جیمز گریگوری بود که برای پیدا کردن مقدار عدد پی از فرمول زیر استفاده کرد:

یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا 6 رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.
در اوایل قرن هجدهم ریاضیدان دیگری به نام جان ماشین فرمول گریگوری را اصلاح کرد که این فرمول امروزه نیز در برنامه های رایانه ای برای محاسبه عدد پی مورد استفاده قرار می‌گیرد.
این فرمول به صورت زیر است:

با استفاده از این فرمول یک انگلیسی به نام ویلیام شانکس مقدار عدد پی را تا 707 رقم اعشار محاسبه کرد،در حالیکه فقط 527رقم آن درست بود.
امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته ترین رایانه ها تا میلیونها رقم محاسبه شده است. و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است.

روش ارشمیدس برای محاسبه عدد پی
عدد پی یا شمار پی (π) یکی از ثابت‌های ریاضی است که در ریاضیات و فیزیک کاربرد دارد.
مردم تمدنهای باستان بخوبی میدانستند که نسبت محیط هر دایره به قطر آن عدد ثابتی است که به ۳ نزدیک است. خاورمیانه‌ای‌ها پیش از ارشمیدس هم کوشش در محاسبه دقیق این عدد کرده بودند، اما ارشمیدس نخستین کسی بود که روشی را برای محاسبه عدد پی ارائه داد.
او مقدار عدد پی را با تقریب محاسبه و اینگونه ارائه کرد:

وی برای محاسبه عدد پی، بر یک دایره به قطر واحد از چندضلعی‌های محیطی و محاطی استفاده کرد.
مردم مصر باستان و تمدن میانرودان (بین النهرین) مقدار عدد پی را بترتیب حدود:
و 3.126
می دانستند. همچنین در یکی از پاپیروسهای مصری بطور مشخص برای نمایش نسبت محیط دایره به قطر آن از عدد:
2(8/9)4 = 3.16

استفاده شده است.
در سال ۱۷۶۱ لامبرت ریاضیدان سوئدی ثابت کرد که عدد پی گنگ است و نمی‌توان آنرا بصوت نسبت دو عدد صحیح نوشت. همچنین در سال ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمان ثابت کرد که عدد پی عددی جبری نیست و (همانند عدد e) نمی‌تواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند. این کشف بزرگ، یعنی این که عدد پی عددی گنگ است، به سالها تلاش ریاضی‌دانان برای تربیع دایره پایان داد.

باوجود آنکه همه ریاضیدانان می‌‌دانند که عدد پی گنگ است و هرگز نمی‌توان آنرا بطور دقیق محاسبه کرد اما ارائه فرمول‌ها و مدلهای محاسبه عدد پی هموار برای آنها از جذابیت زیادی برخوردار بوده است. بسیاری از آنها تمام عمر خود را صرف محاسبه ارقام این عدد زیبا نمودند اما تا قبل از ساخت رایانه هرگز نتوانستند این عدد را بیش از ۱۰۰۰ رقم اعشار محاسبه نمایند.
نخستین محاسبه رایانه‌ای در سال ۱۹۴۹ انجام گرفت و این عدد را تا ۲۰۰۰ رقم محاسبه نمود و در اواخر سال ۱۹۹۹ یکی از ابررایانه‌های دانشگاه توکیو این عدد را تا 206,158,430,000 رقم اعشار محاسبه نمود.

از فرمول‌های زیبای ریاضیات برای محاسبه عدد پی می‌توان به سری معروف لایبنیتز اشاره کرد:
π = 4 * (1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...)
چرا عدد پی را محاسبه می کنیم؟

عدد پی نسبت ثابت بین قطر دایره و محیط آن است.اگر چه هنوز تعداد کمی سعی دارندمنطقی بودن عدد پی را ثابت کنند،اما تمامی ریاضی دانان با غیر منطقی بودن عدد پی موافق هستند.غیر منطقی بودن عدد پی را می توان با معادله ای کوتاه نشان داد.به خاطر غیر منطقی بودن آن است که افراد مجبورند ارقام عدد پی را محاسبه کنند.
اما چرا همه مایل هستند ارقام عدد پی را بیشتر از یکی محاسبه کنند؟

ده رقم اعشاری عدد پی (3.141592654) که در بیشتر ماشین حسابهای علمی وجود دارند،بطور تقریبی برای هر محاسبه حقیقی کافی هستند؛شما میتوانید محیط مدار زمین به دور خورشید را با اشتباهی کمتر از 100 متر محاسبه کنید.حتی محاسبات علمی بسیار دقیق به بیش از بیست رقم اعشار احتیاج ندارند.
واضح است که صدها هزار رقم اعشاری عدد پی،ارزش کاربردی ندارند.ریاضی دانی بنام هرمن شوبرت با ارایه مثالی،بی استفاده بودن صدها رقم اعشاری عدد پی را روشن می سازد؛
کره ای که مرکز آن زمین باشد،گذشتن از آن از میان صور فلکی که با زمین 8.8 سال نوری فاصله دارندرا تصور کنید.سپس تصور کنید که این کره ی عظیم آنچنان از میکروب پوشیده شود که در هر میلیمتر مکعب آن میلیونها میلیون از این موجود وجود داشته باشند.تصور کنید که این میکروبها بر روی خطی راست به اندازه فاصله زمین تا صور فلکی فاصله بیفتد.این خط می کروبی قطر دایره استو با ضرب آن در عدد پی محیط آن را تا صد رقم اعشار بدست می آوریم .

محاسبه محیط دایرهای چنین بزرگ با محاسبه محیط دایره ای میلیونها بار کوچکتر از آن تفاوت خاصی ندارد.
این مثال نشان می دهد که محاسبه عدد پی،تا 100 یا 500 رقم اعشاری کار بی فایده ای است.
عدا ای عقیده دارند که با محاسبه اعداد بی شمار پس از ممیز عدد پی،ریاضیدانان می توانند به صورت تجربی صحت و سقم فرضیات در باره ی عدد پی راثابت کنند.به نظر من این بحث اصلاً قانع کننده نیست.تنها فرضیه ای که ریاضی دانان سعی کردند آن را ثابت کند،این بود که پخش آماری ارقام عدد پی مساوی می باشد.بدان معنا که تکرار ،هم رقم (9.....0) زمانی که شماره ارقام به بی نهایت می رسد به 1 یا 10 منجر می شود.تا سال 1960 گفته می شد که هر تکراری معادل با 16000 رقم ابتدایی عدد پی می باشد.فرضیه دیگری که ریاضی دانان سعی در اثبات آن دارند غیر منطقی بودن عدد پی است

تا زمانی که این فرضیه اخیر معتبر است،عقیده دارم که انگیزه ای برای محاسبه عدد پی وجود دارد.ریاضی دانی بنام پتر بکمن در کتاب تاریخچه ای بر عدد پی می نویسد:شک دارم که نیروی موجود بر پشت پرده این محاسبات،همان روحی باشد که انسان را به غلبه بر آبشار نیاگارا و قطبها وادار می کند .
عدد پی بنیان ساختارهای جهان است،عملاً همه چیز در سطوح پایه به عدد پی وابسته است.مثل نور،صدا،انرژی،جاذبه میدانهای الکترو مغناطیسی و...در حقیقت عدد پی آنچنان مرکزیتی دارد که می توان آن را نماد جهان ما نامید.انسانها دوست دارند که فکر کنند که در جهانی متکی بر عقل زندگی می کنند.آنها دوست دارند جهان بدون نظم را مهار کرده و برای درک آن به آن نظم ببخشند.با وجود این عدد پی از عقلانیت پیشی می گیرد و با چنین کاری نظمی را که دوست داریم ببینیم از بین می برد.منطقی بودن عدد پی به صورتی نمادین،عدم منطق را به جهان انتقال می دهد که ما آن را دوست نداریم،عدد پی نماینده علمی لا یتناهی است که ما هرگز آن را زنده نمی گماریم .پتر بکمن در ادامه چنین می گوید:مانند آنچه از قدیم گفته شده است ،در پایان این طومار که شامل مسایل مختلف ریاضی و راه حلهای آنهاست،مساحت دایره با استفاده از شکل ناموزونی از عدد پی به دست آمده است.
در حدود سال 200 قبل از میلاد ارشمیدس عدد پی را چیزی حدود 3.14 عنوان نمود.(البته به کسر ،چون یونانیان اعداد اعشاری نداشتند.)از آن پس تا قرن هفدهم عدد پی به فراموشی سپرده شد.پس از آن عدد پی را عدد دلفین نامیدند،چرا که ریاضی دان آلمانی به نام اودلف ون کولن دوباره آن را عنوان نمود.اولین کسی که دوباره از این حرف یونانی برای این عدد استفاده کرد ریاضی دانی انگلیسی به نام ویلیام جونز بود که در سال 1706 آنرا ابداع نمود.

فیزیکدانان گفته اند عدد پی همیشه و همه جا در طبیعت موجود است.عدد پی در قرصهای ماه و خورشید به روشنی وجود دارد.منحنیهای دو گانه DNA به دور عدد پی می چرخند.عدد پی در رنگین کمان مستقر است،در مردمک چشم وجود دارد و زمانی که قطره ای باران به آب می افتد،به صورت حلقه های گسترده ظهور می کند.عدد پی را میتوان در انواع مختلف امواج،سطوح ناهموار و طیفهای مختلف یافت.عدد پی در رنگها و موسیقی هم دیده میشود.

طبیعتاً عدد پی در جداول مرگ ومیر هم وجود دارد.در آنچه بنام توزیع شدت میدان مغناطیسی مرگ و میر در میان یک ملت معروف است.یعنی هر گاه شخصی می میرد،در این حادثه عدد پی ملموس است.این یکی از اسراری است که به خاطر آن به نظر می رسد طبیعت،ریاضیات می داند.
با سوزن عدد "PI" را حساب کنید
احتمالا تعجب کنید اگر بشنوید که با سوزن میتوانید عدد مشهور PI را حساب کنید. این مسئله را شخصی بنام بوفن حل کرد و به مسئله سوزن بوفن مشهور است. قضیه از این قرار است که سوزنی را انتخاب میکنید و صفحه خط کشی شده را در نظر میگیرید بطوریکه فاصله بین خطوط از طول سوزن بیشتر باشد. حال اگر سوزن را پرتاب کنیم، با چه احتمالی خط را قطع میکند؟ با محاسبه این احتمال عدد پی ظاهر میشود که از این ترفند میتوان برای محاسبه عدد پی استفاده کرد شما میتوانید برای دیدن این مسئله به بازی گرافیکی ارائه شده در سایت زیر مراجعه کنید