دانلود مقاله عناصر و اصطلاحات و مدارهای کوانتومی

word قابل ویرایش
11 صفحه
8700 تومان
87,000 ریال – خرید و دانلود

عناصر و اصطلاحات و مدارهای کوانتومی

مقدمه :
در این بخش می‌خواهیم درباره اصطلاحات و عناصری که در طراحی الگوریتم‌های کوانتومی لازم هستند، صحبت کنیم اصطلاحاتی چون کیوبیت، ثبت‌کننده‌ها، اعمال کنترل شده حالتهای پایه محاسباتی و … برخی از این عناصر معادل‌های کلاسیکی دارند ولی برخی دیگر مختص جهان کوانتومی بوده و معادل کلاسیکی ندارند.

۲-۱٫ بیت‌های کوانتومی و ثبت‌کننده‌ها «Quantum Bit’s and Registers»
bit مفهومی اساسی در فن‌آوری و علم اطلاعات است فلذا بیت‌های کوانتومی که از این به بعد آنها را کیوبیت خواهیم نامید یکی از پایه‌های اساسی Q.C. است. در واقع کیوبیت یک شیء ریاضی با خصوصیتی معین است به بیان دقیقتر یک کیوبیت عبارت از یک بردار واحد در فضای ضرب داخلی دو بعدی است که می‌توانیم آنرا به صورت

{۱۰> 11>} نمایش دهیم. همواره علاقمند هستیم این مفهوم ریاضی را با یک خاصیت فیزیکی قابل لمس نماییم :
فرض کنیم S یک کمیت دوبعدی از یک سیستم کوانتومی با حالتهای متعامد ۰۱> و ۱۱> باشد که این حالتها می‌توانند پایه‌های طبیعی بسط دهنده این سیستم باشند آنگاه یک کیوبیت عبارت است از حالت کوانتومی ۱Ø> که :

راههای زیادی برای حقیقت بخشیدن به مفهوم فوق وجود دارد می‌توان حالت ۱۰> را حالت پایه الکترون در اتم هیدروژن و ۱۱> را اولین حالت برانگیخته در نظر گرفت و یا یک سیستم اسپینی که دو حالت اسپین بالا را ۱۰> و اسپین پایین را با ۱۱> نمایش دهیم

تفاوت اساسی بین کلاسیکی و بیت کوانتومی در آن است که یک بیت کلاسیکی یا در حالت ۱۰> است و یا در حالت ۱۱> در حالی که یک کیوبیت می‌تواند هر بر هم نهی خطی از حالتهای ۱۰> و ۱۱> را بپذیرد بنابراین می‌تواند در تعداد غیر قابل شمارشی از حالتها قرار داشته باشد. مفهوم این جمله آن است که ظاهراً می‌توان اطلاعات فوق‌العاده زیادی حتی به صورت نامحدود در یک بیت کوانتومی با انتخاب مطالب α و β جای داد اما عملاً ثابت شده است که بیت کوانتومی می‌تواند فقط در برخی حالتهای محدود قرار داشته باشد مثلاً یک کیوبیت TRINE کیوبیتی است که فقط یکی از سه حالت

و و یا را به خود بگیرد.
می‌توانیم حالت ۱Ø> را با استفاده از نمایش هندسی کره بلوخ (Bloch sphere) مناسبتر بنویسیم چون همانگونه که در شکل آمده میتوانیم ۲-۱ را به صورت زیر بنویسیم :
(۲)
که در آن ، ، اعداد حقیقی هستند. عامل فازی مشاهده‌پذیر فیزیکی نیست و لذا می‌توان آنرا حذف کرد و لذا :

۲-۲ : اندازه‌گیری کیوبیت ها : qubit measuerment
یکی از مشکلات کیوبیت‌ها این است که تمامی آنچه که وارد یک کیوبیت می‌شود، لزوماً همان خارج نمی‌شود. درکل ، برای یک حالت نامعین از یک کیوبیت تک قابل تشخیص نیست و آن توسط یک اندازه‌گیری تصویری کاملاً امکانپذیر نیست. فیزیک کوانتومی قواعد دقیقی مبنی بر چگونگی استخراج اطلاعات استخراج اطلاعات از یک حالت کوانتومی ناشناس دهد. خروجی هر اندازه‌گیری تصویری از یک کیلوبیت ، باید با عبارت کلاسیکی فرمولبندی شود. دقیقتر، می‌توان از هر

اندازه‌گیری تصویری یک کیلوبیت، فقط یک بیت کلاسیکی از اطلاعات را تهیه کرد. بنابراین با وجود اینکه یک ارتباطی بین حالتهای کوانتومی ممکن از یک کیوبیت منفرد وجود دارد، ولی این حالتها نمی‌توانند از همدیگر تشخیص داده شوند. هیچ اندازه‌گیری نمی تواند بیشتر ازیک بیت از اطلاعات را از دوکیوبیت داده شده، استخراج بکند. ازدیدگاه اطلاعات، از یک کیوبیت می‌توان توسط یک اندازه‌گیری تصویری دقیق، همان مقدار از اطلاعات کلاسیکی را به اندازه یک بیت کلاسیکی دریافت کرد، حقی دیگر به طور نامحدودی بسیاری از حالتهای بالقوه را داشته باشد.

۲-۳ : تحول کیوبیت (Qubit evolution) :
هر تحول کوانتومی یک کیوبیت یا هر عمل کوانتومی روی یک کیوبیت توسط یک ماتریس کیانی معین می‌شود :
(۴)
که هر حالت کوانتومی را به حالت تبدیل می‌کند.
بعنوان مثال، تحول داده شده توسط ماتریس هادامارد (Hadamard)
(5)
که چرخش هادامارد نامیده می‌شود، حالتهای >10 ، >11 ، >10 و >1 ‌‌ را بصورت زیر تبدیل می‌کند :

که درآن تبدیل یافته ‌هادامارد حالتهای پایه هستند.
همچنین تبدیل ‌هادامارد را می‌توان به صورت نگاشتی ازحالتهای پایه نوشت :
(۷)
پایه >}17 ، > 10{ = پایه استاندارد یا پایه محاسباتی نامیده می‌شود، پایه‌های دوتایی یا پایه‌های هادامارد و یا پایه‌های فوریه نامیده می‌شود. می‌توان دید که با بکاربردن H می‌توانیم بین پایه‌های استاندارد و پایه‌های دوتایی ارتباط برقرار کنیم(معادلات ۲-۶). از تعریف H واضح است که H2=I . همچنین پایه‌هایی را می‌توان در نظر گرفت که پایه‌های قطبش نامیده می‌شوند وتوسط ۸ تعریف می‌شوند :
(۸)

که از اهمیت خاصی برخوردارند.
اگرحالتهای ۰>1 ، ۱۱> نسبت به حالتهای پایه استاندارد اندازه‌گیری شوند. هر دو خروجی – ۰ و ۱- را با احتمال یکسان ۲/۱ بدست می‌آیند. عمل H روی حالتهای پایه استاندارد را می‌توان همانند پرتاب یک سکه در نظر گرفت. مثلاً اگر روی شیر سکه به طرف ناظر باشد احتمال اینکه پس از پرتاب شیر یا خط بیاید ۲/۱ است.

۲-۴ : ثبت‌کننده‌های کوانتومی (Quantum Registers)
برای معرفی ثبت‌کننده‌های کوانتومی مناسب است با ثبت کننده دوکیوبیتی شروع کنیم.
۲-۴-۱ : ثبت‌کننده دو کیوبیتی
حاصلضرب تانسوری دوکیوبیت را یک ثبت‌کننده دو کیوبیتی می‌نامیم. فضای هیلبرت متناظر با آن H4 می‌باشد.
معمولاً پایه‌های استاندارد در فضایH4 بصورت زیر نمایش داده می‌شوند :
(۹)
بنابراین فرم عمومی یک ثبت‌کننده دو کیوبیتی برابر است با :
(۱۰)
اندازه‌گیری ثبت‌کننده‌های دوکیوبیتی :
اندازه‌گیری حالت نسبت به پایه‌های استاندارد ، خروجی‌های دوبیتی ij را با احتمال بدست می‌دهد و منجر به فرو ریزش به حالت ij> می‌شود.
اغلب لازم است که فقط یک کیوبیت را اندازه‌ بگیریم. این مطلب می‌تواند برای استفاده مشاهده پذیر انجام بگیرد :
درمورد کیوبیت اول
در مورد کیوبیت دوم
که ، ۱و۰ = I زیر فضای استاندارد با بردارهای ، زیر فضای استاندارد با بردارهای i>} ، i>10{ نامیده می‌شود.
بنابراین اگر کیوبیت اول اندازه‌گیری شود، خروجی حاصل بیتO با احتمال خواهد بود. و حالت پس از اندازه‌گیری عبارتست از :
(۱۱)
توجه کنید که حالت پس از تصویر شدن بهنجار شده است. به روشی مشابه آنچه گذشت می‌توانیم خروجی ۱ را با اندازه‌گیری کیوبیت دوم با احتمال و حالت مربوطه بدست بیاوریم.

تحول کوانتومی دو کیوبیتی :
از تبدیلات یکانی که روی حالتهای دوکیوبیتی اثر میکنند تبدیل زیر از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است :
(۱۲)
که نمایش ماتریسی آن بصورت زیر می‌باشد.
(۱۳)

ماتریس XOR نگاشتی همانند گیت Controlled Not یا به اختصار CNOT را ایجاد می‌کند.
۲-۴-۲ : ثبت‌کننده n- کیوبیتی :
براحتی می توان ثبت‌کننده‌های –nکیوبیتی را از تعمیم ثبت‌کننده ۲- کیوبیتی تعریف کرد :
برای ثبت‌کننده‌های –n کیوبیتی در فضای هیلبوت n2- بعدسی کار میکنیم که مجموعه زیر بردارهای پایه این فضا می‌باشند.
(۱۴)
بردارهای i> 1 را بردارهای استاندارد یا پایه‌های محاسباتی می‌نامیم.

کلی‌ترین فرم برای حالت یک ثبت‌کننده –n کیوبیتی عبارتست از :
(۱۵)
۲-۵ : گیت‌های منطقی کوانتومی (Logical quantum gutes)
یک گیت منطقی کوانتومی، یک وسیله ورودی – خروجی است که ورودی‌هایش متغیرهای کوانتومی گسسته مانند اسپین‌ها هستند. عمل چنین گیتی روی ورودی‌هاش بوسیله یک عملگر یکسانی را توصیف می‌شود که متغیرهای ورودی را ازیک حالت به حالت می‌نگارد مشابه با گیت‌های منطقی کلاسیکی گیت‌های کوانتومی می‌توانند برای تشکیل یک مدار کوانتومی به کار بروند. برحسب اینکه این گیت‌ها بر سیستمهای تک ذره‌ای ،دوذره ای یا –nذره‌ای اثر می‌کنند به ترتیب به گیت‌های یک کیوبیتی ، دو کیوبیتی یا –nکیوبیتی تقسیم می‌شوند. در ادامه برخی از گیت‌های منطقی مهم معرفی می‌شوند.
۲-۵-۱ : گیت‌های تک کیوبیتی :

گیت‌های تک‌کیوبیتی برای تغییر دادن حالت یک کیوبیت بکار می‌روند. یکی از گیت‌های مهم تک کیوبیتی گیت NOT می‌باشد که به صورت زیر می‌آوریم :
NOT-gate : ساده‌ترین گیت تک کیوبیتی گیت NOTمی‌باشد که در محاسبات کلاسیکی نیز معروف می‌باشد (بنابراین NOT یک گیت تک‌بیتی کلاسیکی است. این گیت که ما آنرا N می‌نامیم به صورت زیر عمل می‌کند :
(۱۶) و

و نمایش ماتریسی آن به صورت زیر است :
(۱۷)
که نماد سمت چپ گیت NOT را دریک کوانتومی نشان می‌دهد. و خط نماینده یک کیوبیت خواهد بود. بطور واضح این گیت یک دوران ۱۸۰ را انجام می‌دهد یعنی مثلاً می‌توان با بکاربردن این گیت اسپین بالا را به اسپین پائین و برعکس تبدیل کرد.
ریشه دوم NOT : V ریشه مربع NOT ، یک گیت کاملاً کوانتومی می‌باشد یعنی معادل کلاسیکی ندارد چنانکه از اسمش برمی‌آید V خاصیت زیر را داراست :
و نمایش ماتریسی آن بصورت زیر می‌باشد :
(۱۸)
یکبار دیگر این گیت صرفنظر از عامل فاز عمومی شکل دیده آن زیر را دارد :
(۱۹)
اثر V بردن یک حالت ویژه با برهمنهشتی از حالتهای ویژه است. برای مثال :
(۲۰)
این طبیعت کوانتومی V را می‌ر ساند چون چنین برهمنهشتی معا دل کلاسیکی ندارد. بنابراین این گیت نشان‌دهنده یک دوران ۹۰ درجه برروی کیوبیت‌ها می‌باشد.
البته ، گیت NOT بخوبی می‌تواند بر روی یک ترکیب خطی عمل بکند. داریم :
(۲۱)

این خطی بودن جوابگوی توازی کوانتومی است که در تمامی الگوریتمهای کوانتومی نظری با آن مواجه خواهیم شد. (بخش ۳-۱ را ببیند)
گیت هادامارد : (Hadamard gate)
ریشه موج NOT در تبدیل کردن حالت ویژه به حالت برهمنهشت ، منحصر بفرد نیست. در دوران ۹۰ نیز اثر مشابهی دارد. یک گیت جالب که نظیر این گیت می‌باشد، گیت هادامارد می‌باشد که دوران زیر را انجام می‌دهد :
(۲۲)
و نمایش ماتریسی آن چنین است :
(۲۳)
این گیت دو خاصیت مفید دارد اولاً این گیت >10 را به بر همنهشت کاملاً یکنواختی می‌برد یعنی ضرایب >10 و >11 یکسان هستند. ثانیاً H واردن خودش می‌باشد یعنی با بکار بردن دو بار H معادل این است که هیچ کاری انجام نشده است :
(۲۴) H2=HH=1
گیت‌های دو کیوبیتی :
گیتهای دوکیوبیتی برای تغییر دادن حالت دو کیوبیت بکار می‌روند و روی سیستمهای دو ذره‌ای اثر می‌کنند و نمی‌توانند به مجموعه گیتهای تک کیوبیتی تجزیه شوند. این گیت‌ها در قالب محاسبات کوانتومی قرار دارند.

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 8700 تومان در 11 صفحه
87,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد