بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله درهمتنیدگی حالت های متعلق به ابر فضای هیلبرت موسوم به ابرکیوبیت ها بررسی می گردد. برای این منظور ابرکیوبیت از مقایسه با کیوبیت معمولی بعنوان نمایشی از گروه ارتوسمپلکتیک - - Orthosymplectic یکانی در نظر گرفته شده و بدین طریق پارامتریزه میگردد. سپس حالت های جایگشتی متقارن و پادمتقارن از این فرم پارامتریزه ساخته و برای آن ها ابر تنگل - super tangle - محاسبه میشود. از جمله نتایج بلافصل آن اثبات ابرمتقارن بودن فرم ارائه شده است.
مقدمه
ابرتقارن نوعی از تقارن است که طی آن به هر ذره ی دخیل درساختار اتم یک جفت ابر متقارن یا اس- ذره با اسپین متضاد نسبت داده می شود. بنابراین اگر ذره بوزون باشد، جفت آن فرمیون است و برعکس. راهکار ریاضی بررسی و مطالعه ابرتقارن جبرهای گراد به ویژه جبر گراسمان است. اما در طرفی دیگر نظریه ی اطلاعات کوانتومی قرار دارد که بنیاد آن مفهوم همبستگی کوانتومی است. دراین مقاله حالت های ابرمتقارن را که حالت هایی بطور همزمان بوزونی و فرمیونی اند معرفی و همبستگی کوانتومی آن ها را مطالعه می کنیم.کیوبیت برهمنهشی از دو حالت بصورتاست . به این ترتیب می توان یک سیستم با هر تعداد کیوبیت داشت. بعنوان مثال یک حالت دو کیوبیتی چنین است:
درهمتنیدگی
درهمتنیدگی خصیصه ی منحصربفرد سیستم های کوانتومیست که با سنجه های مختلفی اندازه گیری می شود. یک معیار پرکاریردبرای سنجش درهمتنیدگی تنگل است. این سنجه برای هر تعدادکیوبیت تعریف شده است[1] که برای دو کیوبیت موسوم به دو-تنگل و بصورت است.
جبر گراسمان
جبر گراسمان بعنوان یک ابر جبر از عناصر پادجابجایی تشکیل می شود. موجودات ریاضی که در این جبرزندگی می کنند بردار های بعدی موسوم به اعداد گراسمان ابرترانهاد همچنین خواص زیر را دارد:برای یک ابرماتریس هم الحاقی وهم ابرالحاقی تعریف می شود:هستند. هر عدد گراسمان را می توان بصورت نوشت.جبر گراسمان بصورت جمع مستقیم زیر جبرهای زوج و فرد نوشته میشود بعبارتی برای هر عدد گراسمان یک گراد بصورت زیر نسبت که خواص زیر را دارا هستند:داده می شود: درجبر گراسمان دونوع عمل ستاره تعریف می شود:[2]و سرانجام این خاصیت مهم که:ابر جمع مستقیم و ابر ضرب تانسوری ابرماتریس ها همان نسخه های معمولیست.
و نیز داریم:که در آن عمل * همان مزدوج مختلط معمولی است. علاوه برابر فضای هیلبرت خواص فوق داریم: وکه برای هر دو نوع عدد گراسمان زوج و فرد صادق است.ابر جبر ماتریسی. یک ابر ماتریستنها یک ماتریس بلوک بندی شده ی است:حالت خاص q=0 و s=0 بترتیب معرف ابر بردارهای سطری و ستونی است. ضرب ابر ماتریس ها همچون ضرب ماتریس های معمولی است درحالیکه سایر عملیات منتسب به ماتریس ها نظیر دترمینان دارای نسخه ی منحصر به فردی برای ابرماتریس هاست.ابرتریس یک ابرماتریس چنین است:حالت های ابر متقارن متعلق به این - ابر - فضا یند.
الف - فضای دوگان.
ابر فضای هیلبرت بعنوان ابر فضای برداری مجهز به نگاشت زیر تعریف می شود:نگاشت فوق یک ضرب داخلی با خواص زیر تعریف می کند: اول. این نگاشت ابر بردارهای بوزونی - فرمیونی - ابر فضای هیلبرت را به بردارهای همجنس در فضای دوگان نگاشت می دهد. دوم. این نگاشت خطی است:
ب - ضرب داخلی
در یک پایه ی متعامد بهنجار ضرب داخلی چنین تعریف می گردد: ابر عملگر های خطی یک ابر عملگر خطی دارای خواص زیر است: با چنین قواعد ترکیبی:یک ابر عملگر خطی زوج - فرد - ×نامیده می شود اگر یک ابر بردار زوج را به یک ابر بردار زوج - فرد - و یک بردار فرد را به یک ابر بردار فرد - زوج - ببرد. ابر الحاقی یک ابر بردار چنین تعریفی دارد:از این ها میتوان رسید به:در یک پایه ی متعامد بهنجار نمایش - ابر - ماتریسی آن می شود:که در آن E ابرماتریس ناوردای گروه Osp - n|2m - موسوم به گروه ارتوسمپلکتیک است. این گروه بدین سان تعریف می شود: که در آن PL - n|2m - ابرماتریس های معکوس پذیر "زوج"اند.جبر مربوطه نیز بدین گونه است:اکنون در تشابه با این حقیقت که کیوبیت نمایش اساسی گروه - SU - 2 است، ابر کیوبیت را نمایش بنیادی گروه ابرمتقارن نظیر که همانا گروه ارتوسمپلکتیک یکانیست در نظر گرفته و شکل صریحی برای ابرکیوبیت که جهت ساخت حالت های متقارن و پادمتقارن جایگشتی مناسب است، بدست می آوریم.
جبر ارتوسمپلکتیک یکانی بصورت زیر تعریف می شود:یک عضو دلخواه از این جبر بصورت زیر داده می شود:که Q ها مولد های فرد - فرمیونی - و A ها مولد های زوج - بوزونی - اند.در مرجع[2] یک حالت ابر متقارن متعلق به ابر فضای هیلبرت با دو بعد بوزونی و یک بعد فرمیونی چنین تعریف می شود:که X = 0,1 معرف عناصر جابجا شونده - بوزونی - و X = معرف عنصر پادجابجا شونده - فرمیونی - است. و از اینجا می توان ابر کیوبیت های مراتب بالاتر را ساخت مثلا ابر دو کیوبیت دارای این فرم کلی است:فضای هیلبرت ابر دو کیوبیت دارای 5 بعد بوزونی و 4 بعد فرمیونی است.
ابر درهمتنیدگی
ابر دو تنگل بعنوان سنجه ای برای اندازه گیری درهمتنیدگی حالت های ابر دو کیوبیتی در مرجع [2] چنین تعریف شده است:ابر دترمینان موجود در آن بدین گونه تعریف می گردد:گروه ماتریس های یکانی متناظر خواهد بود:ر اینجا شکل ماتریسی صریح گروه فوق را بدست آورده و از آن برای پارامتریزاسون ابرکیوبیت استفاده می کنیم.عبارت نمایی دوم را با =2p که p, بترتیب عدد گراسمان فرد و عددی حقیقیست، بدست می آوریم:
