دانلود مقاله مجموعه های مرکزی و شعاع ها درگراف های مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی

word قابل ویرایش
35 صفحه
8700 تومان
87,000 ریال – خرید و دانلود

قبل از مطالعه‌ی مطالب اصلی مقاله دانستن قضایای زیر الزامی است:
قضیه ۲۰٫۲٫۱ ]قضیه ۲٫۲؛۲[ فرض کنید R یک حلقه‌ی جابجایی باشد، آن گاه متناهی است اگر و تنها اگر R متناهی باشد یا حوزه صحیح باشد. به ویژه اگر آن گاه R متناهی است و میدان نمی باشد.

برهان : فرض کنید =Z(R)* متناهی و ناتهی است. آن گاه x,y غیر صفر از ۱R وجود دارد که xy=0. فرض کنید I=ann(x) آن گاه متناهی است و برای هر . اگر R نامتناهی باشد آن گاه وجود دارد که نامتناهی است و برای هر ، (r-s)y=0 بنابراین نامتناهی است و این یک تناقض می باشد پس R باید متناهی باشد.

قضیه ۲۱٫۲٫۱ ]قضیه ۲٫۳؛۲[ فرض کنید R یک حلقه‌ی جابجایی باشد. آن گاه همبند است و و مجاور باشند. اگر xy=0 آن گاه d(x)y)=1. حال فرض کنیم ، اگر x2=y2=0 آن گاه x-xy-y مسیری به طول ۲ می باشد بنابراین d(x,y)=2. اگر x2=0 و آن گاه وجود دارد: با by=0. اگر bx=0 آن گاه x-b-y مسیری به طول ۲ می باشد، اگر ، آن گاه x-bx-y مسیری به طول ۲ می باشد. یعنی d(x,y)=2. به طور مشابه اگر y2=0 و . بنابراین فرض می کنیم x2,xy,y2 غیر صفر باشند، بنابراین وجود دارد: به طوری که ax=by=0 . اگر a=b آن گاه x-a-y مسیری به طول ۲ می باشد. پس . اگر ab=0 آن گاه x-a-y مسیری به طول ۳ می باشد. بنابراین و اگر آن گاه x-ab-y مسیری به طول ۲ می باشد بنابراین و می باشد.

قضیه ۲۲٫۲٫۱ ]قضیه ۲٫۱۳؛ ۲[ فرض کنید R یک حلقه جابجایی متناهی با باشد آن گاه گراف ستاره است اگر و تنها اگر که F میدان متناهی است .
برهان : فرض کنید یک گراف ستاره است و با توجه به نتیجه‌ی ۲۳٫۲٫۱ ولم ۲۴٫۲٫۱ که در ادامه آماده است می توان فرض کرد (R,M) موصفی است و برای و فرض کنید M=ann(x) و را به طور دلخواه درنظر می گیریم که ab=ac=ad=x چرا که و بنابراین a(b-d)=a(b-c)=0 توجه کنید که ann(a)={a,x} و b-c=b-d=2 بنابراین c=d که x است پس و حکم ثابت شد.

نتیجه ۲۳٫۲٫۱ ]نتیجه ۷-۲؛ ۲[ فرض کنید R یک حلقه ‌ی جابجایی متناهی است آن گاه یک رأس وجود دارد به طوری که با همه‌ی رئوس مجاور است اگر و تنها اگر که F میدان متناهی است یا R حلقه‌ی موضعی می باشد. به علاوه برای عدد اول P و عدد اگر و اگر R موصفی باشد می باشد.
لم ۲۴٫۲٫۱ فرض کنید R یک حلقه جابجایی متناهی باشد. اگر دقیقاً یک رأس مجاور با همه‌ی رئوس داشته باشد آن گاه که F میدان متناهی است با یا R موصفی است با ایده ال ماکسیمال M که و بنابراین یا ۲n-1 برای عدد اول P و .
فصل دوم
۱٫۲-شعاع
تعریف ۱٫۱٫۲ دریک گراف همبند G، ماکسیمم فاصله بین دو رأس مجزا در G را قطر (diameter) گراف می نامیم.
تعریف ۲٫۱٫۲ برای هر رأس x از گراف همبند Gماکسیمم فاصله x تا رئوس دیگر خروج از مرکز x (eccentricity) نامیده می شود و با نماد e(x) نمایش می دهیم.
تعریف ۳٫۱٫۲ مجموعه رئوس با خروج از مرکز می نمیال را مرکز گراف می نامیم. (center)
تعریف ۴٫۱٫۲ دریک گراف همبند G می نیمم مقدار خروج از مرکز گراف G را شعال (radius) گراف G می نامیم. (در ادامه خواهیم گفت که قطر و شعاع گراف G صفر است اگر G یالی نداشته باشد و مواردی که مجموعه رئوس گراف تهی است را بررسی نمی کنیم)

مثال ۵٫۱٫۲ درگراف پترسن (petersen) قطر، ۲، خروج از مرکز، ۲ و مرکز مجموعه ای شامل تمامی رئوس و شعال گراف نیز ۲ می باشد.

مثال ۶٫۱٫۲ ]تمرین ۲٫۱٫۴۷؛۱۵[ می دانیم که اگر یک گراف همبند با شعاع r و قطر d داشته باشیم آن گاه می باشد. حل:
diam G=d(x0,y0¬)
d(x0¬,y0)<d(x0,z)+d(y0,z)طبق نامساوی مثلث :
radG=d
e(z)=radG : e(z)= max d(z,f)
rad G= min e(p) = e(z)
e (x0)= max d (x0,f) = d (x0y0): diam G= maxe (p) = e (x0)
d(x0,y0)< d (x0,z)+d(y0z) = e(z)+ e(z) = 2e(z) = 2rad G
درقضیه ۲۰٫۲٫۱ نشان داده شده است که اگر R یک حلقه ی جابجایی باشد آن گاه همبند است و حداکثر ۳ قطر دارد. درزیر مثال هایی از حلقه ها با گراف مقسوم علیه صفری با قطر ۰، ۱، ۲، یا ۳ آورده شده است

.
مثال ۲٫۱٫۲ قطر گراف ، ۲ قطر گراف و ، ۱ و قطر و ، ۰ می باشد.

علاوه براین درقضیه ۲۱٫۲٫۱ نشان داده ایم که متناهی است و ناتهی است اگر و تنها اگر R متناهی باشد یا حوزه صحیح نباشد.
در ادامه نتایج زیر را اثبات می کنیم: شعاع گراف مقسوم علیه صفر از هر حلقه‌ی جابجایی و یکدار نوتری که حوزه صحیح نباشد . و ۱و یا ۲ می باشد. گراف مقسوم علیه صفر از یک حلقه R دارای شعاع دقیقاً صفر است وقتی که گراف دقیقاً ۱ رأس داشته باشد. در ]۲٫۱ مثال ؛ [ اثبات شده است که R ایزومری است با یا .

دارای دقیقاً یک رأس می باشد. X0
توجه کنید که هر گراف G با شعاع ۱ لزوما حداقل یک رأس متصل به رئوس دیگر دارد . در ادامه دو نتیجه مهم بیان شده است . ]نتیجه های ۲٫۷و۲٫۶ ؛ ۲[
قضیه ۸٫۱٫۲ فرض کنید R یک حلقه جابجایی و یکدار نوترمی باشد . آنگاه یک رأس از وجود دارد که با همه رأس های دیگر مجاور است اگر وتنها اگر یک حوزه صحیح است یا Z(R) یک ایده آل R است . به علاوه اگر R متناهی باشد آنگاه یک رأس از وجود دارد که با همه رأس های دیگر مجاور است یا R حلقه موضعی می باشد .

برهان : ۱ فرض کنید (R) Z ایده آل پوچ ساز نباشد ، یک رأس مجاور با رئوس دیگر باشد. و‌ در غیر این صورت z(R)=z یک ایده آل پوچ ساز باشد . بنابراین I در بین پوچ ساز ماکسیمال می باشد . پس ایده آل اول می باشد . اگر آن گاه a3=2a=0 و بنابراین که تناقض می باشد . پس a2=aو‌‌‌ بنابراین می توان فرض کرد R=R1*Rz و رأس (۰ ,۱) که مجاور با رئوس دیگر می باشد . برای و راس c,0 یک مقسوم علیه صفر می باشد (c,0)=(c,0)(1,0)=(0,0) که تناقض است مگر آنکه c =0 . بنابراین . اگر R2حوزه صحیح نباشد آن گاه وجود دارد که (۱,b) یک مقسوم علیه صفر (R) است که با (۱و۰) مجاور نیست و این یک تناقض می باشد پس R2 باید حوزه صحیح باشد . Z(R) پوچ ساز نبود پس در بین ایده آل های ماکسیمال است پس اول می باشد

.
اگر برای هر حوزه صحیح که (۱ و۰ ) با رئوس دیگر مجاور می‌باشد .
نتیجه ۹٫۱٫۲ فرض کنید R یک حلقه جابجایی ویکدار نوتر می باشد شعاع صفر است اگر وتنها اگر یا شعاع ، ۱ است اگر وتنها اگر کهA حوزه صحیح است ، یا Z(R) یک ایده آل R میباشد به علاوه اگر R متناهی باشد شعاع ، ۱ است اگر وتنها اگر که F یک میدان متناهی است یا R حلقه موضعی است.
برهان : با توجه به قضیه بدیهی می باشد .
قضیه ۱۰٫۱٫۲ فرض کنید R یک حلقه جابجایی و یکدار نوتر میبا شد که حوزه صحیح نیست آنگاه شعاع حداکثر ۲ می باشد.
برهان: طبق نتیجه‌ی قبل فرض می کنیم Z(R) ایده آل نباشد. دو حالت درنظر می‌گیریم.
۱- R حلقه‌ی تحویل یافته باشد.
۲- Rحلقه‌ی تحویل نیافته باشد

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 8700 تومان در 35 صفحه
87,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد