دانلود مقاله مجموعه های مرکزی و شعاع ها درگراف های مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی

word قابل ویرایش
30 صفحه
8700 تومان
87,000 ریال – خرید و دانلود

خلاصه‌ی مطالب
برآن شدم تا با تلاش مستمر مطالبی را از نظر گرامیتان بگذرانم که بدیع باشد و قابل ارائه، امیدوارم رضایت خاطر شما خوانندگان گرامی را جلب نمایم. دراین‌جا خلاصه‌ای از مطالبی که مطالعه خواهید کرد آورده شده است.

دریک حلقه‌ی جابجایی و یکدار R، گراف مقسوم علیه صفر ، گرافی است که رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر R می باشند که درآن دو رأس مجزای xو y مجاورند هرگاه xy=0. این مقاله اثباتی براین مطلب است که اگر R نوتری باشد آن گاه شعاع ،۰،۱ و یا ۲ می باشد و نشان داده می‌شود که وقتی R آرتینی می‌باشد اجتماع مرکز با مجموعه {۰} اجتماعی از ایده آل های پوچ ساز است. زمانی که مرکز گراف مشخص شده باشد می توان قطر را تعیین کرد و نشان داده

می‌شود که اگر R حلقه‌ی متناهی باشد آن گاه میانه زیر مجموعه ای از مرکز آن است. زمانی که R آرتینی باشد با به کاربردن عناصری از مرکز می‌توان یک مجموعه‌ی غالب از ساخت و نشان داده می شود که برای حلقه‌ی متناهی ، که F میدان متناهی است، عدد غالب مساوی با تعداد ایده آل های ماکسیمال مجزای R است. و هم‌چنین نتایج دیگری روی ساختارهای بیان می‌شود.
واژه های کلیدی
مجموعه های مرکزی؛ حلقه‌ی جابجایی؛ مقسوم علیه صفر؛ گراف مقسوم علیه صفر

فصل اول
۱-مقدمه
حلقه‌ی جابجایی و یکدار R داده شده است. گراف مقسوم علیه صفر، ، گرافی است که رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر حلقه R می باشند، بین دو رأس مجزای x و y یال وجود دارد اگر وفقط اگر xy=0 باشد. گراف مقسوم علیه صفر حلقه‌ی R با نشان داده می شود. این تعریف از ابتدا توسط livings Ston (1999) و Anderson بیان شد که تعداد زیادی از ویژگی های اساسی مورد بررسی قرار گرفت. تعریف اصلی توسط Beck (1988) و Nasser (1993) و Anderson بیان شد که همه‌ی عناصر حلقه به عنوان رأس های گراف انتخاب می شدند.

و Anderson et al.(2001) , De meyer and Schnieider (2002), Smit (2002) مقاله‌های دیگری درارتباط با گراف مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی ارائه دادند. این ساختار های گرافیکی به شکل موضوع های جبری دیگر توسط Cannon et al.(2005) and DeMeyer et al.(2002), Redmond (2002)2003,2004) تعمیم داده شده است، که در ادامه به آن می پردازیم.

درطول این پژوهش برآنیم که نتایجی را روی حلقه های یکدار و جابجایی متناهی بیابیم. این نتایج برای عمومی ترین موارد ممکن بیان می شود. هدف ارائه دادن همه‌ی نظریه های کاربردی از مرکزیت گراف و تحقیق درمورد مفاهیم تقریباً محض از گراف های مقسوم علیه صفر می باشد. ابتدا نشان داده می شود که شعاع های گراف مقسوم علیه صفر یک حلقه نوتری و جابجایی و یکدار ۰، ۱، ۲ می‌باشد. این قضیه دربخش های بعدی برای تعریف خصوصیات سه مجموعه مرکزی (مرکز،

میانه و مجموعه های غالب با اندازه‌ی می نیمال) درگراف های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجایی و یکدار به کاربرده می شود. و نیز ارتباط بین این مجموعه ها مورد بررسی قرار می گیرد. به عنوان پیامدی از این نتایج، ویژگی های دیگری از را بیان می کنیم که از جمله‌ی آن ها قطر و کران ها روی تعداد یال های گراف می‌باشد.
۲-پیش نیازها

بالطبع لازمه‌ی پردازش به مبحث مجموعه های مرکزی و شعاع ها در گراف های مقسوم علیه صفر حلقه های جابجایی واقف بودن به تعاریفی است که آن را باید پیش نیاز نامید:
تعریف ۱٫۲٫۱ پوچ ساز (annihilator) x مجموعه‌ی عناصر می باشد به طوری که xy=0 به عبارت دیگر
تعریف ۲٫۲٫۱عنصر ناصفر x درحلقه‌ی R را یک مقسوم علیه صفر (zero dirisor) گوییم هرگاه عنصر ناصفری از R مانند موجود باشد به طوری که xy=0.
مجموعه‌ی مقسوم علیه های صفر حلقه‌ی R را با Z(R) نشان می دهیم که به صورت زیر می‌باشد:

تعریف ۳٫۲٫۱عنصر راعنصر پوچ توان R (nillpotent) می نامیم هرگاه موجود باشد به طوری که xn=0.

تذکر: بدیهی است که هر عنصر پوچ توان یک مقسوم علیه صفر حلقه می‌باشد.
تعریف ۴٫۲٫۱ پوچ رادیکال (nillradical) حلقه‌ی R ایده آلی شامل همه‌ی عناصر پوچ توان حلقه R می باشد که به صورت nill (R) نمایش داده می شود.
تعریف ۵٫۲٫۱اشتراک همه‌ی ایده آل های ماکسیمال حلقه‌ی R را رادیکال جیکوبسن R (Jacobson) می نامیم و با J(R) نمایش می دهیم.
تعریف ۶٫۲٫۱ حلقه‌ی R راتحویل یافته یا تقلیل یافته (reduced) می نامیم هرگاه عنصر پوچ توان غیرصفر نداشته باشد.

اکنون مروری داریم بر بعضی از تعریفات و نمادهای نظریه گراف:

تعریف ۷٫۲٫۱گرافی مانند G=(V,E) ساختاری است مرکب از یک مجموعه‌ی متناهی مانند V از رئوس (گره ها) که با نماد V(G) نشان داده می شود و یک زیر مجموعه از زیر مجموعه های دو عنصری V مانند E از یال ها، و دو رأس از V مانند w,v مجاورند اگر یالی مانند e از E آن دو را به هم وصل کند. یالی که رأسی را به خودش وصل کند طوقه نام دارد.
V={a,b,c,d}
E={(a,b), (b,c), (a,c), (c,d)}

تعریف ۸٫۲٫۱گراف G که بین دو رأس آن بیش از یک یال وجود داشته باشد را گراف چندگانه می نامیم.

تعریف ۹٫۲٫۱گراف G را ساده می نامند هرگاه طوقه و یال چندگانه نداشته باشد.
تعریف ۱۰٫۲٫۱ دو رأس را مجاور گویند هرگاه کمانی از یکی به سوی دیگری وجود داشته باشد.
تعریف ۱۱٫۲٫۱ گراف Gرا همبند گویند هرگاه بین هر جفت از رئوس آن مسیری وجود داشته باشد.
تعریف ۱۲٫۲٫۱گراف ساده‌ی n رأس را گراف کامل می نامند هرگاه هر رأس آن با همه رئوس دیگر مجاور باشد. یک گراف کامل n رأسی را با kn نمایش می دهیم.

 

تعریف ۱۳٫۲٫۱ گراف G را گراف دو بخشی کامل می نامیم هرگاه: اگر مجموعه‌ی رأس ها اجتماعی از دو مجموعه‌ی مجزای B,A باشد، هر عضو از A با هر عضو از B مجاور باشد ولی هیچ دو عضو از A و هیچ دو عضو از B مجاور نمی باشند، گراف دو بخشی کامل را با kn,m نمایش می دهیم که درآن به طور مثال اگر:
V={1,2,3,4,a,b,c,d}
A={1,2,3,4}
B={a,b,c,d}

گراف دو بخشی کامل k4,4
تعریف ۱۴٫۲٫۱گراف ستاره درختی است که یک رأس مجاور با همه‌ی رئوس دارد. گراف دو بخشی کامل k1,m یک گراف ستاره می باشد که در آن و که هیچ دو عضو از B مجاور نمی باشند.
به طور مثال اگر:
V={1,a,b,c,d}
A={1}
B={a,b,c,d}

تعریف ۱۵٫۲٫۱ گرافی مانند( را زیر گراف G=(V,E) می نامند اگر زیر مجموعه‌ی V و زیر مجموعه‌ای از E باشد. اگر W زیر مجموعه ای دلخواه از V باشد زیر گراف القایی G به وسیله‌ی W عبارت است از گراف H=(W,F) که در آن F یالی در f است هرگاه f={v,u} یالی در E باشد و هر دوی v,u در W باشند.

تعریف ۱۶٫۲٫۱ درجه هر رأس x درگراف G که با نماد deg(x) نشان داده می شود تعداد رأس هایی از گراف G است که با X مجاورند به عبارت دیگر تعداد یال‌های گذرنده از هر رأس را درجه آن رأس می‌نامیم.
تعریف ۱۷٫۲٫۱ طول کوتاه ترین مسیر در گراف G که از x آغاز و به y ختم می شود را فاصله‌ی دو رأس x و y می نامیم و با نماد d(x, y) نمایش می دهیم.

بعد از آشنایی با مباحث فوق به موضوع اصلی یعنی گراف های مقسوم علیه صفر می‌پردازیم. تعاریف ذیل از گراف های مقسوم علیه صفر حاصل تلاش اساتید بزرگی است که جای تعمق و تأمل بسیار دارد:
نخستین تعریف از گراف مقسوم علیه صفر، ، توسط Anderson living ston (1999) بیان شد:
فرض کنید R یک حلقه جابجایی و یکدار باشد و Z(R) مجموعه مقسوم علیه های صفر حلقه R باشد. یک گراف ساده از حلقه R که رأس های آن

Z*(R)= Z(R)-{0} (مجموعه‌ی مقسوم علیه های غیرصفر ازحلقه‌ی R باشند و دو رأس مجزای مجاور باشند اگر و تنها اگر xy=0، می توان ساخت.
ایده‌ی اصلی در مورد گراف های مقسوم علیه صفر توسط Beck (1988) بیان شده بود که البته موضوع مورد علاقه وی رنگ آمیزی گراف ها بود. Naseer وAnderson درسال ۱۹۹۳ این چنین بیان کردند: اگر R یک حلقه‌ی جابجایی ویکدار باشد R به یک گراف ساده که رأس های آن عناصر حلقه‌ی R می باشند، نظیر می‌شود.
مثال: ۱۸٫۲٫۱ با توجه به تعاریف اولیه‌ی گراف های مقسوم علیه صفر، گراف حلقه‌های به صورت زیر می باشد:

گراف گراف

که درآنها تمامی عناصر حلقه به عنوان رئوس گراف در نظر گرفته می‌شوند.
تعریف بعدی توسط F.R.De Meye and T.M chenzie and k.schneider (2002) ارائه شد که درزیر بیان شده است:
یک گراف غیرجهت دار به هر نیم گروه S صفردار جابجایی چندگانه متناظر می‌شود. رئوس گراف بوسیله مقسوم علیه های غیرصفر از S نام گذاری می‌شوند و دو رأس x و y به وسیله یک یال به یکدیگر متصل می شوند هرگاه xy در S مساوی صفر شود. (xy=0).

تعریفی که Beck بیان کرد این چنین بود: برای هر حلقه جابجایی R گراف مقسوم علیه صفر G(R) را می توان گرافی در نظر گرفت که رئوس آن مقسوم علیه های صفر R (شامل ۰) می باشند با دو رأس b,a که مجاورند هرگاه ab=0. مشکل Beck درمورد رنگ آمیزی گراف ها بود که هیچ دو راسی که دریک گراف مجاورند هم رنگ نباشند.
و درنهایت تعریف کلی تری توسط Redmond (2002) ارائه شد که مبنای مباحثی است که دراین مقاله از نظر گرامیتان می گذرد:
برای یک حلقه جابجایی و یکدار R، گراف مقسوم علیه صفر R، که با نشان داده می شود گرافی است که رئوس آن مقسوم علیه های صفر غیر صفر R می‌باشند و دو رأس مجزای y,x مجاورند هرگاه حاصل‌ضرب آن ها صفر باشد. (xy=0)

مثال ۱۹٫۲٫۱ گراف برطبق تعریف اخیر به صورت زیر می باشد :

گراف گراف گراف
قبل از مطالعه‌ی مطالب اصلی مقاله دانستن قضایای زیر الزامی است:
قضیه ۲۰٫۲٫۱ ]قضیه ۲;۲٫۲ [فرض کنید R یک حلقه‌ی جابجایی باشد، آن گاه متناهی است اگر و تنها اگر R متناهی باشد یا حوزه صحیح باشد. به ویژه اگر آن گاه R متناهی است و میدان نمی باشد.
برهان : فرض کنید =Z(R)* متناهی و ناتهی است. آن گاه x,y غیر صفر از ۱R وجود دارد که xy=0. فرض کنید I=ann(x) آن گاه متناهی است و برای هر . اگر R نامتناهی باشد آن گاه وجود دارد که نامتناهی است و برای هر ، (r-s)y=0 بنابراین نامتناهی است و این یک تناقض می باشد پس R باید متناهی باشد.

قضیه ۲۱٫۲٫۱ ]قضیه [ ۲;۲٫۳فرض کنید R یک حلقه‌ی جابجایی باشد. آن گاه همبند است و .
برهان: فرض کنید و مجاور باشند. آن گاه d(x,y)=1. حال فرض کنیم ، اگر x2=y2=0 آن گاه x-xy-y مسیری به طول ۲ می باشد بنابراین d(x,y)=2. اگر x2=0 و آن گاه وجود دارد: با by=0. اگر bx=0 آن گاه x-b-y مسیری به طول ۲ می باشد، اگر ، آن گاه x-bx-y مسیری به طول ۲

می‌باشد. یعنی d(x,y)=2. به طور مشابه اگر y2=0 و . بنابراین فرض می کنیم x2,xy,y2 غیر صفر باشند، بنابراین وجود دارد: به طوری که ax=by=0 . اگر a=b آن گاه x-a-y مسیری به طول ۲ می باشد. پس . اگر ab=0 آن گاه x-a-b-y مسیری به طول ۳ می باشد. بنابراین و اگر آن گاه x-ab-y مسیری به طول ۲ می باشد بنابراین و می باشد.

قضیه ۲۲٫۲٫۱ ]قضیه ۲٫۱۳؛ ۲ [ فرض کنید R یک حلقه جابجایی متناهی با باشد آن گاه گراف ستاره است اگر و تنها اگر که F میدان متناهی است .
برهان : فرض کنید یک گراف ستاره است و با توجه به نتیجه‌ی ۲۳٫۲٫۱ ولم ۲۴٫۲٫۱ که در ادامه آماده است می توان فرض کرد (R,M) موضعی است و برای و فرض کنید M=ann(x) و را به طور دلخواه درنظر می گیریم که ab=ac=ad=x چرا که و بنابراین
a(b-d)=a(b-c)=0 توجه کنید که ann(a)={a,x} و b-c=b-d=2 بنابراین c=d که تناقض است پس و حکم ثابت شد.
نتیجه۲۲٫۲٫۱پ ]نتیجه ۷٫۲؛ ۲ [ فرض کنید R یک حلقه ‌ی جابجایی متناهی است آن گاه یک رأس وجود دارد به طوری که با همه‌ی رئوس مجاور است اگر و تنها اگر که F میدان متناهی است یا R حلقه‌ی موضعی می باشد. به علاوه برای عدد اول P و عدد اگر و اگر R موصفی باشد می باشد.
لم ۲۴٫۲٫۱فرض کنید R یک حلقه جابجایی متناهی باشد. اگر دقیقاً یک رأس مجاور با همه‌ی رئوس داشته باشد آن گاه که F میدان متناهی است با یا R موضعی است با ایده ال ماکسیمال M که و و بنابراین یا ۲n-1 برای عدد اول P و .

 

فصل دوم
۱٫۲-شعاع
تعریف ۱٫۱٫۲ دریک گراف همبند G، ماکسیمم فاصله بین دو رأس مجزا در G را قطر (diameter) گراف می نامیم.
تعریف ۲٫۱٫۲برای هر رأس x از گراف همبند Gماکسیمم فاصله x تا رئوس دیگر خروج از مرکز x (eccentricity) نامیده می شود و با نماد e(x) نمایش می دهیم.

تعریف ۳٫۲٫۱مجموعه رئوس با خروج از مرکز می نیمال را مرکز گراف می نامیم. (center)
تعریف ۴٫۱٫۲ دریک گراف همبند G می نیمم مقدار خروج از مرکز گراف G را شعاع (radius) گراف G می نامیم. (در ادامه خواهیم گفت که قطر و شعاع گراف G صفر است اگر G یالی نداشته باشد و مواردی که مجموعه رئوس گراف تهی است را بررسی نمی کنیم)
مثال ۵٫۱٫۲ درگراف پترسن (petersen) قطر، ۲، خروج از مرکز، ۲ و مرکز مجموعه ای شامل تمامی رئوس و شعاع گراف نیز ۲ می باشد.

مثال ۶٫۱٫۲ ]تمرین ۲٫۱٫۴۷؛۱۵ [ می دانیم که اگر یک گراف همبند با شعاع r و قطر d داشته باشیم آن گاه می باشد. حل:
diam G=d(x0,y0¬)
d(x0¬,y0)<d(x0,z)+d(y0,z)طبق نامساوی مثلث :
radG=d
e(z)=radG : e(z)= max d(z,l)
rad G= min e(p) = e(z)
e (x0)= max d (x0,l) = d (x0y0): diam G= maxe (p) = e (x0)
d(x0,y0)< d (x0,z)+d(y¬۰,z) = e(z)+ e(z) = 2e(z) = 2rad G

درقضیه ۲۰٫۲٫۱ نشان داده شده است که اگر R یک حلقه ی جابجایی باشد آن گاه همبند است و حداکثر ۳ قطر دارد. درزیر مثال هایی از حلقه ها با گراف مقسوم علیه صفری با قطر ۰، ۱، ۲، یا ۳ آورده شده است.
مثال ۲٫۱٫۲ قطر گراف ، ۲ قطر گراف و ، ۱ و قطر و ، ۰ می باشد.

علاوه براین درقضیه ۲۱٫۲٫۱ نشان داده ایم که متناهی و ناتهی است اگر و تنها اگر R متناهی باشد یا حوزه صحیح نباشد.
در ادامه نتایج زیر را اثبات می کنیم: شعاع گراف مقسوم علیه صفر از هر حلقه‌ی جابجایی و یکدار نوتری که حوزه صحیح نباشد ۰ و ۱و یا ۲ می باشد. گراف مقسوم علیه صفر از یک حلقه R دارای شعاع دقیقاً صفر است وقتی که گراف دقیقاً ۱ رأس داشته باشد. در ]۲٫۱ مثال ؛ ۱۹[ اثبات شده است که R ایزومرف است با یا .

دارای دقیقاً یک رأس می باشد.
توجه کنید که هر گراف G با شعاع ۱ لزوما حداقل یک رأس متصل به رئوس دیگر دارد . در ادامه دو نتیجه مهم بیان شده است . ]نتیجه های ۲٫۷و. ۲٫۶؛ ۲ [
قضیه ۸٫۱٫۲فرض کنید R یک حلقه جابجایی و یکدار نوتری باشد . آن‌گاه یک رأس از وجود دارد که با همه رأس های دیگر مجاور است اگر وتنها اگر که A یک حوزه صحیح است یا Z(R) یک ایده آل R است . به علاوه اگر R متناهی باشد آن‌گاه یک رأس از وجود دارد که با همه رأس های دیگر مجاور است یا R حلقه موضعی می باشد .

برهان : فرض کنید (R) Z ایده آل پوچ ساز نباشد ، یک رأس مجاور با رئوس دیگر باشد. و‌ در غیر این صورت z(R)=I یک ایده آل پوچ ساز باشد . بنابراین I در بین پوچ سازها ماکسیمال می باشد . پس ایده آل اول می باشد . اگر آن گاه a3=a2a=0 و بنابراین که تناقض می باشد . پس a2=aو‌‌‌ بنابراین می توان فرض کرد R2 * R1 = R و رأس (۰ ,۱) که مجاور با رئوس دیگر می باشد . برای و راس (c,0) یک مقسوم علیه صفر می باشد (c,0)=(c,0)(1,0)=(0,0) که تناقض است مگر آنکه c =0 . بنابراین . اگر R2حوزه صحیح نباشد آن گاه وجود دارد که (۱,b) یک مقسوم علیه صفر R است که با (۱و۰) مجاور نیست و این یک تناقض می باشد پس R2 باید حوزه صحیح باشد . Z(R) پوچ ساز نبود پس در بین ایده آل های ماکسیمال است پس اول می باشد .

اگر برای هر حوزه صحیحA که (۰ و۱ ) با رئوس دیگر مجاور می‌باشد . اگر z(R)=ann(x) برای آن گاه x با همه‌ی رئوس دیگر مجاور می‌باشد.
نتیجه ۹٫۱٫۲ فرض کنید R یک حلقه جابجایی ویکدار نوتر می باشد شعاع صفر است اگر وتنها اگر یا شعاع ، ۱ است اگر وتنها اگر کهA حوزه صحیح است ، یا Z(R) یک ایده آل R میباشد به علاوه اگر R متناهی باشد شعاع ، ۱ است اگر وتنها اگر که F یک میدان متناهی است یا R حلقه موضعی است.
برهان : با توجه به قضیه بدیهی می باشد .
قضیه ۱۰٫۱٫۲ فرض کنید R یک حلقه جابجایی و یکدار نوتری باشد که حوزه صحیح نیست آن‌گاه شعاع حداکثر ۲ می باشد.

برهان: طبق نتیجه‌ی قبل فرض می کنیم Z(R) ایده آل نباشد. دو حالت درنظر می‌گیریم.
۱- R حلقه‌ی تحویل یافته باشد.
۲- Rحلقه‌ی تحویل نیافته باشد.
اگر R حلقه‌ی تحویل یافته باشد و که Pi ها ایده آل های اول می نیمال می باشند و چون Z(R) ایده آل نیست می باشد. (حلقه نوتری است پس ایده ال های آن متناهی می باشند)
برای =۱,…,n iو و پس و درنتیجه: وجود دارد به طوری که .
حلقه‌ی R کاهش یافته است پس:
j=m

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 8700 تومان در 30 صفحه
87,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد