بخشی از مقاله

چکیده

در این مقاله ابتدا تعریف گراف مقسوم علیه هاي صفر حلقه جابجایی R و گراف مقسوم علیه هاي صفر حلقه ماتریس هاي - M n - R را بیان می کنیم. بطوریکه گراف مقسوم علیه هاي صفر حلقه جابجایی Rوحلقه ماتریس هاي - M n - R را به ترتیب با نماد -  - Rو - -  - M n - Rنشان می دهند.سپس خواص گراف - -  - M n - R را مورد بررسی قرار می دهیم و به دنبال آن روابط بین قطر گراف هاي -  - R و - -  - M n - R را بررسی می کنیم.و در پایان رابطه حلقه نوتري و حلقه مک کوي - McCoy - وقطر گراف - -  - M n - Rرا بیان می کنیم.

کلید واژه: گراف مقسوم علیه هاي صفر، حلقه جابجایی ،حلقه ماتریس ها ، حلقه نوتري.

مقدمه

در این مقاله برخی از تعاریف و خواص مقدماتی گراف مقسوم علیه هاي صفر حلقه جابجایی را که در منابع آمده است یادآوري می کنیم . اولین بار در سال 1988 ،Beck مفهوم گراف مقسوم علیه هاي صفر را براي حلقه جابجایی بیان کرد.سپس به دنبال آن Anderson گراف مقسوم علیه هاي صفر حلقه R را بصورت زیر تعریف کرد. فرض کنید Rحلقه جابجایی و - Z - Rمجموعه مقسوم علیه هاي صفر حلقه R بطوریکه Z - R -   Z - R -   0 باشد در این صورت -  - Rراگراف مقسوم علیه هاي صفر حلقه R - غیرجهت دار - می نامند که مجموعه راس هاي آن Z - R -  وبین دو راس متمایز a و b یک یال وجود دارد اگر و تنها اگر ab  0 باشد .

یک گراف همبند است اگر هر دو راس متمایز آن توسط یک مسیر به هم متصل باشند، فاصله دو راس متمایز a و b را با - d - a , b نشان داده می شود که طول کوتاهترین مسیر بین a و b می باشد .اگر چنین مسیري بین دو راس a و b وجود نداشته باشد آنگاهd - a,b -  است . همچنین قطر گراف با نماد - diam -  نشان داده می شود وبصورت زیر تعریف می شود diam -  -  sup d - a,b - a,b V -  -  که در آن V -  - مجموعه راس هاي گراف  است. بست - دوره - گراف را با g -  - نشان داده می شودکه طول کوتاهترین دور در  می باشد. فرض کنید R حلقه جابجایی ویکدار باشدو - M n - R حلقه ماتریس هاي n  nروي Rباشنددراین صورت - -  - M n - R گراف مقسوم علیه هاي صفر حلقه - M n - R می نامند. قضیه:1 اگر Rحلقه جابجایی و  Z - R -  باشد آنگاه  - R - همبند است وdiam -  - R - - 3 و.g -  - R - -  4 اثبات: به مرجع[1]و [2]مراجعه شود.

با استفاده از قضیه1 به آسانی ثابت می شود اگر Rحلقه جابجایی وگراف -  - Rشامل یک دور باشد آن آنگاه g -  - R - - 1 2diam -  - R - - می دانیم که حتی اگرحلقه Rشامل مقسوم علیه هاي صفر نباشد ولی حلقه - M n - Rداراي مقسوم علیه صفر می باشد زیرا همواره دو ماتریس متمایز - A , B  M n - R وجود دارند بطوریکه AB  0 بنابراین .diam -  - M n - R - - -  2 اگر Rحلقه غیرجابجایی باشد آنگاه - Z L - R و - Z R - R رابه ترتیب مجموعه مقسوم علیه هاي صفر چپ و راست از حلقه R می نامند که در آن - Z - R -  Z L - R - Z R - Rاست.

Redmond درسال2002 گراف مقسوم علیه هاي صفر غیر جهت دار از حلقه غیر جابجایی Rرا تعریف کرد که با  - R - نشان داده می شود و مجموعه راس هاي آن Z - R -  و بین دو راس متمایز a و b یک یال وجود دارد اگر و تنها اگر ab  0 یا b a  0 باشد. همچنین دو قضیه زیر در مورد گراف مقسوم علیه هاي صفر حلقه غیر جابجایی است که توسط Redmond ثابت شده است. قضیه:2 اگر Rحلقه غیرجابجایی و Z - R -   باشدآنگاه -  - R همبند است اگر و تنها اگر - . Z L - R -  Z R - R وهمچنین اگر -  - R همبندباشد آنگاه .diam -  - R - - 3 اثبات: به مرجع[8]مراجعه شود. قضیه:3 اگر Rحلقه غیرجابجایی و Z - R -   باشد آنگاه -  - R همبند است وdiam -  - R - -  3 و . g -  - R - -  4 اثبات: به مرجع[8]مراجعه شود.

قضیه:4 اگر Rحلقه جابجایی باشد آنگاه - -  - M n - R همبند است و.diam -  - M n - R - - -  3 اثبات: طبق قضیه2 یک گراف - جهت دار - مقسوم علیه هاي صفر از یک حلقه غیر جابجایی R همبند است اگر و تنها اگر . Z L - R -  Z R - R - همچنین طبق همین قضیه اگر چنین گرافی همبند باشد آنگاه . diam -  - R - - 3 و همچنین Brown در سال 1993 ثابت کرد ماتریس A یک مقسوم علیه چپ یا راست است اگروتنهااگر - det - A -  Z - R بنابراین ثابت می شود . diam -  - M n - R - - -  3 قضیه:5 اگر Rحلقه جابجایی و Z - R -   باشد آنگاه - - - . diam -  - R - -  diam -  - M n - R اثبات: طبق قضیه1 داریم diam -  - R - - 3 پس: الف - اگرdiam -  - R - - 1 وdiam -  - R - -  2 باشد آنگاه . - - - . diam -  - R - -  2 diam -  - M n - R ب - اگر diam -  - R - - 3 باشدآنگاه عناصر ناصفر متمایز a و b و c و d در Rوجود دارند بطوریکه ab  0 وbc  0 وcd  0 و a  b  c  d کوتاهترین مسیر از a به d در -  - R می باشد . در این صورت ماتریس هاي A  aIn و D  dIn بهZ - M n - R - -  تعلق دارند واضح است که .

AD  0 فرض کنید ماتریسی مانند - - C  [c ij ] Z - M n - R وجود داشته باشد بطوریکه AC CD  0 در این صورت داریم AC  aC  0 و .CD dC  0 بنابراین براي هر i , j 1,2, , n داریمacij dcij  0 و چون فقط صفر هر دوي a و d را پوچ می کند پس براي هر i , j 1,2, , n داریم cij  0 بنابراین C  0 که این یک تناقض است پس - - - . diam -  - R - -  3diam -  - M n - R تعریف: فرض کنید Iیک ایدال از حلقه جابجایی ویکدار Rباشد در این صورت پوچساز ایدال I از حلقه R را با نماد Ann R - I - نشان می دهند و عبارت است از: Ann R - I -   r  R ra 0 a I  لم:1 فرض کنید Rحلقه جابجایی باشداگر هر زیر مجموعه متناهی از - Z - Rیک پوچساز ناصفر داشته باشد آنگاه . diam -  - M n - R - - -  2 تعریف: حلقه R یک حلقه مک کوي - - McCoy است اگر هر ایدال متناهی مولد R مشمول - Z - R داراي پوچساز ناصفر باشد قضیه:6 اگر R حلقه مک کوي باشد بطوریکه diam -  - R - -  2 و - Z - R یک ایده ال اول باشد آنگاه . diam -  - M n - R - - -  2

اثبات: فرض کنید S زیر مجموعه اي متناهی از مقسوم علیه هاي صفر R باشد وهمچنین I ایده ال تولید شده توسط عضو هاي S باشد.چون - Z - R یک ایده ال اول است پس I  Z - R - است. در نتیجه I یک پوچساز ناصفر دارد بنابراین طبق لم1 داریم .diam -  - M n - R - - -  2 نتیجه:1 فرض کنید Rحلقه جابجایی باشد بطوریکهdiam -  - R - -  2 آنگاه Z - R - یک ایده ال است اگر و تنها اگر براي هر دو عضو xو y از - Z - Rوجود داشته باشد یک عضو نا صفر z بطوریکه . xz  yz  0 نتیجه:2 اگر Fیک میدان باشد آنگاه .diam -  - M n - R - - -  2 همچنین نتیجه2را می توان براي حوزه صحیح نیز گسترش داد. به عبارت دیگر اگر Fیک حوزه صحیح باشد آنگاه .diam -  - M n - R - - -  2 نتیجه:3 فرض کنید R حلقه نوتري باشد بطوریکهdiam -  - R - -  2 اگر - Z - R یک ایده ال اولی از R باشد آنگاه
.diam -  - M n - R - - -  2

در متن اصلی مقاله به هم ریختگی وجود ندارد. برای مطالعه بیشتر مقاله آن را خریداری کنید