بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله، تحلیل معادله شرودینگر وابسته به زمان در فضای دو بعدی، به روش بدون المان پتروف- گالرکین محلی ارائه شده است. فرم ضعیف محلی و تقریب حداقل مربعات متحرک پایه این روش است. همچنین تابع آزمون مورد استفاده تابع پله هویساید در نظر گرفته میشود. نقاط گرهای در سرتا سر دامنه تحلیل به طور منظم پخش میشوند که این نقاط برای تقریب متغییرهای مرزی و داخلی مورد استفاده قرار میگیرند. بعلاوه، مقایسه نتایج حاصل با جوابهای دقیق، بیانگر موفقیت این روش در تحلیل معادله شرودینگر وابسته به زمان در فضای دو بعدی میباشد.
مقدمه
معادله شرودینگر، معادله ای است که چگو نگی تغییر حالت کوانتومی یک سیستم فیزیکی را توصیف می کند. این معادله یک معادله موج ریاضی است که بر اساس حرکت های موج پاسخ داده شده است. معادله شرودینگرخطی و غیر خطی به طور گستردهای در مکانیک کوانتومی، اپتیک، زلزله شناسی، فیزیک پلاسما و غیره استفاده میشود. روشهای عددی تجزیه و تحلیل برای هر دو معادله خطی و غیر خطی شرودینگر به طور گسترده بررسی شده است. تقریبا امروزه در همه علوم استفاده از روشهای عددی امری اجتنابناپذیر بوده که در این راستا روشهای تفاضل محدود، المان محدود، حجم محدود و المانهای مرزی بارها توسط محققین برای حل عددی معادلات حاکم مورد استفاده قرار گرفتهاند .[1]
از آنجا که ساختار این روشها همگی وابسته به شبکهبندی دامنه است استفاده از آنها در تحلیل مسائل با هندسه پیچیده بسیار مشکل و پرهزینه میباشد. هر یک از این روشها درشبیه سازی مسائل، مخصوصا مرزهای متغیر با زمان دارای مشکلات خاصی میباشند به طوریکه در هر گام زمانی نیاز به شبکهبندی مجدد بوده و این امر مستلزم صرف وقت فراوان برای ایجاد شبکه ودر نتیجه بالا رفتن هزینه محاسباتی میباشد. علاوه بر این نیاز به نگاشت متغیرهای میدان نیز وجود دارد که منجر به محاسبات اضافی و کاهش دقت میشود. از این رو در سال های اخیر توجه فراوانی به روشهای بدون شبکه شده است. روشهای بدون شبکه، دسته جدیدی از روشهای عددی هستند که توانایی خود را در حل مسائل عددی به خوبی نشان دادهاند.
ویژگی مشترک تمامی آنها، تقریب متغیر میدان با استفاده از یک مجموعه گره در دامنه مساله بدون نیاز به شبکه از پیش تعریف شده است.این روشها بر اساس نوع تعریف توابع شکل و چگونگی حداقل کردن توابع تقریب - شکل قوی و یا شکل ضعیف - تقسیمبندی میشوند. تعداد زیادی از روشهای بدون شبکه برای انتگرالگیری عددی معادلات فرم ضعیف، نیازمند شبکه پس زمینه در کل دامنه میدان هستند. ایده اولیه روشهای بدون شبکه به روش هیدرودینامیک ذرات هموار برای مدلسازی پدیدههای فیزیک نجومی برمیگردد که در سال 1977توسط گینگلد و مناقات ارائه شد .[2] تحقیقات انجام شده بر روی روشهای بدون المان به صورت جدی اولین بار توسط انتشارات روش المان گسترده به وسیله ویلان توزات نایرولز در سال 1992 چاپ گردید .[3] ازروشهای بیشبکه واقعی میتوان به روش بدون المان پتروف گالرکین محلی اشاره کرد که برای حل مسائل مرزی خطی و غیر خطی بسط داده شدهاست.[4]
که برای تقریب متغیر میدان و نیز انتگرالگیری عددی ماتریسهای سیستم نیازی به شبکه ندارد. در این روش بجای ارضای معادلات در فرم ضعیف بر روی کل دامنه مساله که منجر به انتگرالگیری بر روی کل دامنه میدان می شود، معادلات بر روی دامنههای محلی حول هر گره نوشته می شوند، لذا نیازی به شبکه پس زمینه بر روی کل دامنه نیست. برای مثال دهقان و میرزایی از روش بدون شبکه پتروف-گالرکین محلی برای حل عددی معادله شرودینگر غیرخطی دو بعدی استفاده کرده اند .[5] در این مطالعه به منظور حل معادله شرودینگر وابسته به زمان در فضای دو بعدی، از روش بیشبکه پتروف -گالرکین محلی استفاده شد. که در آن، از روش تقریب زنی، حداقل مربعات متحرک استفاده شده است. در نهایت نتایج بدست آمده از این روش با نتایج حل دقیق مقایسه خواهند شد.
تقریب حداقل مربعات متحرک
گسستهسازی معادلات دیفرانسیل درMLPG با استفاده از تقریب حداقل مربعات متحرک انجام میگیرد. این تقریب متشکل از چند جز از قبیل تابع وزن، پایه های چند جملهای و یک سری ضرایب میباشد. تابع وزن را برای هر گره در محدوده مورد بررسی یک دامنه تاثیر تعریف کرده و می تواند برای تمامی گره ها ثابت و یا متغیر باشد. اگر U X یک تابع تغییرات میدانی در محدوده مورد
بررس باشد، تقریب U Xدر نقطه X با X h U نشان داده میشود. تقریب MLS در ابتدا تابع میدانی را به فرم بیان میشود. که در آن X مختصه مورد نظر، p X پایههای چند جملهای، a X ضرایب p X وm تعداد تک جملهایهای تشکیل دهنده p X میباشد. به طور مثال p X وa X به صورت ارائه میشود. در هر نقطه مورد بررسی X a j X به گونهای انتخاب میشود تا باقی مانده وزنی نرم L2 را به شکل حداقل سازد. که در آن X I W Xتابع وزن،nتعداد گرههای همسایگی X که در آن0 X I W X وuI پارامتر گرهای درگره ام, است. با گرفتن مشتق اول J نسبت به a j X برای حداقل کردن معادله - - 4، a X به فرم بیان میشوند. تابع وزن مورد استفاده در تقریبMLS در اینجا تابع وزن اسپلاین است [3] که عبارت است از:
معادله حاکم و روشMLPG
در این روش دامنه مورد بررسی توسط یک مجموعه از گرهها که با هم هیچ ارتباط از پیش تعیین شدهای ندارند ارائه می شود. برای حل معادله شرودینگر وابسته به زمان یک قلمرو دو بعدی با
مرز t u در نظر گرفته می شود. شکل1 که در آن کل قلمرو حل، مرز قلمرو، u مرز شامل شرایط مرزی اساسی، tمرز شامل شرایط مرزی طبیعی است. معادله حاکم برشرایط مرزی به شکل
توجه شود که انتگرال دوم در معادله - 16 - انتگرال خطی است که برای اعمال شرایط مرزی اساسی به دلیل اینکه توابع شکل حداقل مربعات متحرک در روش بیشبکه پتروف-گالرکین محلی فاقد خاصیت تابع دلتای کرونکر هستند، تکنیک ضریب جریمه بهکار رفته است، که در این مقاله ضریب جریمه 10در نظر گرفته شده است.
اگر از معادله 16 انتگرال جز به جز گرفته شود، معادله به صورت بازنویسی میشود. از روش تفاضل متناهی گسستهسازی عبارت زمانی در معادلات - - 15 و - 16 - است.در رابطه - 12 - ، X ,Yتابع موج مجهول است. n و nx yبردارهای نرمال عمود بر ناحیه انتگرالگیری، 1i عدد موهومی، - 0 t T - T زمان نهایی ، B و g ممکن است توابع مختلطی باشند. برای بدست آوردن شکل ضعیف، معادله بالا در تابع وزن W ضرب میشود و از طرفین روی ناحیه q که یک ناحیه محلی انتگرالی است، انتگرال گرفته میشود.
