بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله یک روش جدید برای تخمین ضرایب کواریشن در توزیع غیرگوسی آلفا-پایدار ارائه شده است. عدم وجود آمارگان مرتبهی دوم موجب عدم کارایی کواریانس در خانوادهی توزیع پایدار شده است لذا کواریشن به عنوان ابزاری قدرتمند درحوزهی پردازش سیگنال در این توزیع محسوب میشود . تخمین-گر پیشنهادی با استفاده از تئوری گشتاورهای کسری مراتب پایینتر ارائه و با دو تخمینگر موجود برای تخمین ضرایب کواریشن مقایسه شده است.تخمینگرپیشنهادی در این مقاله برای پارامتر نمایی در بازهی 21دارای عملکرد قابل توجهی نسبت به تخمینگر روش استیگر و تخمینگر روش میانگینمربعات بوده و باعث بهبود عملکرد ضرایب کواریشن تخمینی شده است. همچنین با استفاده از شبیهسازی کامپیوتری مرتبهی گشتاور بهینه برای تخمینگر پیشنهادی برابر با p=1 تعیین شده است. عملکرد روش پیشنهادی در این مقاله با استفاده از شبیهسازیهای کامپیوتری با روشهای موجود مقایسه شده است.
کلید واژه- توزیع آلفا-پایدار، کواریشن، تخمین طیف، نویز غیرگوسی
-1 مقدمه
در برخی از کاربردهای مخابراتی از جمله پردازش سیگنال صحبت، تخمین فرکانس سیگنال، سونار و رادار به دلیل اثرات المانهای مداری و القا گاهی نویز زمینه به شکل ضربهای دامنههای بزرگی را به خود میگیرد. وجود چنین پدیدهای باعث میشود تابع چگالی احتمال گوسی نتواند مدل مناسبی برای بیان چنین سیگنالهایی باشد. برای مدل کردن این گونه نویزهای حاوی ضربه، توزیعهای غیرگوسیِ دارای دم سنگین مناسب به نظر میرسند. یک خانواده مهم از توزیعهای غیرگوسی، خانواده توزیعهای پایدار هستند. این توزیعها برخلاف توزیع گوسی دارای دم منعطفی بوده و میتوانند سیگنالهای حاوی نویز غیرگوسی را مدل کنند.[1]
مفهوم کواریانس بین دو متغیر تصادفی نقشی اساسی را در تئوری گشتاور مرتبه دوم ایفا میکند [ 2]، اما به دلیل عدم وجود واریانس محدود، کواریانس در فضای متغیرهای تصادفی S S ، موجود نمی باشد. مقدار واریانس در توزیع پایدار نامحدود تعریف شده است. به همین دلیل امکان استفاده از تابع همبستگی در این توزیع وجود ندارد.[3-5] عدم وجود آمارگان مرتبهی دوم برای بسیاری از توزیعهای غیرگوسی استفاده از تابع همبستگی و چگالی طیف توان را ناممکن میسازد. به دلیل این ناکارآمدی، در توزیع آلفا-پایدار متقارن، از پارامتری به نام کواریشن استفاده میشود که یک ابزار قدرتمند برای کار کردن با این توزیع به شمار میرود .[ 6-7 ]
در مرجع [8] مسئلهی تخمین پارامترهای مدل AR آلفا-پایدار بدون نویز مشاهده با استفاده از معادلات یول واکر تعمیم یافته بررسی شده است. همچنین در این مرجع به بررسی برازش مدل AR آلفا-پایدار با دستهای از دادهها پرداخته شده است. برازش مدل AR مرتبهی p، با استفاده از p+2 معادله صورت گرفته است. p معادلهی آن شامل معادلات یول واکر تعمیم یافته و دو معادلهی دیگر از طریق تخمین پارامترهای نمایی و پراکندگی توزیع آلفا-پایدار به-دست آمده است. بررسی بازهی قابل اطمینان برای تخمین پارامترهای مدل AR آلفا-پایدار در این مقاله نشان میدهد که بازهی بهدست آمده حاصل از نمونههای تابع کواریشن دارای پوشش احتمالی مناسبتر نسبت به بازهی بهدست آمده از نمونههای تابع همبستگی است.
در این مقاله یک روش پیشنهادی برای تخمین ضرایب کواریشن ارائه شده است. درالگوریتم معرفی شده با استفاده از تئوری گشتاورهای کسری مرتبهی پایینتر به ارائهی یک تخمینگر بهینه پرداخته شده است.در ادامه ابتدا در بخش 2 تئوری توزیع آلفا -پایدار تشریح شده است. در بخش 3 الگوریتم پیشنهادی ارایه و تحلیل میشود. در بخش 4 نتایج حاصل از شبیهسازیهای الگوریتم پیشنهادی ارایه و با روشهای متداول مقایسه میشوند و درنهایت در بخش 5 نتیجهگیری از تحلیلهای صورت گرفته انجام میشود.
-2 تحلیل مسئله
-1-2 توزیع آلفا-پایدار متقارن توزیع آلفا-پایدار متقارن - β=0 - از طریق تابع مشخصه خودتوصیف میشود .[1] تابع توزیع تک متغیری ϕ، را پایدار متقارن گویند اگر تابع مشخصهی آن به شکل زیر باشد: این توزیع به طور کامل با چهار پارامتر خود که شامل پارامتر نمایی ، پارامتر پراکندگی ، پارامتر مکانی و شاخص چولگی است مشخص میشود. توزیع پایدار با مشخصهی نمایی، توزیع آلفا-پایدار نامیده میشود.در شکل - - 1 نمودار تابع چگالی احتمال توزیع آلفا-پایدار متقارن با استفاده از شبیهسازی کامپیوتری برای مقادیر مختلف پارامتر نمایی نمایش داده شده است.
مشخصهی نمایی ، پارامتر قالب توزیع نیز نامیده میشود. این پارامتر بیان کنندهی ضخامت دم دنبالهی تابع چگالی است ومیتواند مقادیر موجود در بازهی - 0 2]را اختیار کند. پارامتر
پراکندگی میتواند هر عدد حقیقی مثبت را اختیار کند ورفتاری شبیه به واریانس دارد. وقتی که 2 ، توزیع پایدارتبدیل به توزیع گوسی میشود. پارامتر مکانمشخص کنندهی مرکز تابع چگالی توزیع است. وقتی که 0 ،توزیع با مرکزیت پارامتر مکانی، دارای تقارن است. توزیع پایدار متقارنبا مشخصهی نمایی ، توزیع آلفا-پایدار متقارن - - S S نامیده میشود. هنگامی که پارامتر پراکندگی برابر با یک باشد توزیع را آلفا-پایدار متقارن استاندارد مینامند.
از آنجا که برای توزیع آلفا -پایدار دنبالهی همبستگی وجود ندارد، به جای آن پارامتری به نام کواریشن تعریف میشود. اگرX و Y دو متغیر تصادفی توام SS با 2 1، پارامترمکانی صفر و پارامتر پراکندگیx وY باشند، کواریشن X و Y به صورت زیر تعریف میشود: برای هر عدد حقیقی z و ثابت 0 a تعریف زیر برای تابع علامت توان ارائه میشود.و ضریب کواریشن بهصورت زیر تعریف میشود:
با توجه به تعریف ارائه شده در - 1-2 - برای کواریشن، تعریفی برای پارامتر پراکندگی به شکل زیر موجود میباشد:
و در انتها برای ضریب کواریشن تعریفی به شکل زیر ارائه شده است:
-2-2 کواریشن و ویژگیهای آن کواریشن به عنوان ابزاری قدرتمند در توزیع آلفا-پایدار متقارن محسوب میشود و نقشی شبیه به تابع همبستگی در توزیع گوسی دارد. در ادامه به برخی ویژگیهای کواریشن اشاره میشود:[9]ویژگی:1کواریشن [X, Y] نسبت به آرگومان اول خود یعنی X، دارای خاصیت خطی میباشد.
ویژگی :2در حالت کلی کواریشن [X, Y] نسبت به آرگومان دوم خود یعنی Y، دارای خاصیت خطی نمیباشد مگر اینکه Y1 و Y2 وجود داشته باشند که از هم مستقل باشند، آنگاه
خواهیم داشت: ویژگی :3 اگر X و Y از هم مستقل و به صورت توام دارای توزیع S S باشند خواهیم داشت:
ویژگی :4 در حالت کلی کواریشن نسبت به آرگومانهای خود متقارن نمیباشد. ویژگی :5 اگرSS - X, Y - 1 داشته باشیم آنگاه نامساوی کوشی-شوارتز به شکل زیر برقرار میباشد :
اگر مسئلهی رگرسیون خطی 1]،[9برای متغیرهای تصادفی S S مورد بحث قرار داده شود، به عنوان یکی از کاربردهای مهم کواریشن مفهوم امید ریاضی شرطی برای حل این مسئله پیشنهاد داده میشود که به صورت زیر بیان میشود:
اگر متغیرهای تصادفی X0 , X1 ,..., Xn به صورت S S توأم با 1 2 باشند آنگاه رگرسیون X0 بر حسبX1,..., Xn ، امید ریاضی شرطی - | X1,..., X n E - X0میباشد. برای حالت گوسی - E - X0 | X1, ..., Xn برابر باترکیب خطی X1,..., Xn میباشد اما برای توزیع S S ، درحالت کلی حاصل برابر با یک ترکیب خطی نمیشود مگر اینکه شرایط مشخصی ارضاء شود. به عنوان مثال، تئوری زیر شرایط لازم و کافی را برای رگرسیون خطی در فضای S S بیان میکند.
قضیه :1 اگر متغیرهای تصادفی X0 , X1 ,..., Xn به صورتS S توأم با 2 1 باشند آنگاه ... an X n - 12 - E - X0 | X1 , ..., X n - a1 X1 a2 X 2اگر و تنها اگر برای تمامی r1,..., rn ها: اگر رگرسیون خطی باشد، سپس ضرائب a1,..., an منحصر به فرد خواهند بود اگر و تنها اگر X1,..., Xn در فضای انتگرالپذیر متغیرهای تصادفی به صورت خطی مستقل باشند. با این وجود تعدادی از حالتهای شناخته شده وجود دارد که در آنها رگرسیون واقعآ خطی میباشد. تئوری زیر بیان کنندهی این موضوع است.
قضیه :2اگر X0 , X1 ,..., Xn متغیرهای تصادفی S S توأم و اگر ,..., Xn X1 مستقل و معکوسپذیرباشند آنگاه : که 0i ضریب کواریشن X0 با 1,..., n X i ,i میباشد. در نتیجه برای هر دو متغیر تصادفی توام X و Y با توزیع SS خواهیم داشت: در حالت کلی محاسبهی تحلیلی کواریشن دو متغیر تصادفی آلفا-پایدار متقارنX و Y ، دشوار میباشد به جز در حالتی که هر دو متغیرXو Y به صورت ترکیب خطی از متغیرهای تصادفی S S مستقل باشند. تئوری زیر بیان کنندهی این موضوع است.
