بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
تخمين پارامتر سيستم آشوبي تاخيردار به کمک الگوريتم بهينه سازي توده ذرات فازي بهبود يافته
چکيده
در اين مقاله الگوريتم بهينه سازي توده ذرات فازي بهبود يافته IFPSO براي اولين بار در شناسايي سيستم آشوبي تاخيردار به کار رفته است . مسـئله تخمـين پارامتر سيستم آشوبي تاخيردار در قالب يک مسئله بهينه سازي بيان شده است . الگوريتم پيشنهادي پارامترهاي سيستم را به کمک حداقل سازي خطـاي ميـانگين مربعات تخمين مي زند. بهينه سازي توده ذرات به طور هوشمند به کمک ضريب اينرسي فازي بهبود داده شده تا توانايي جسـتجوي سراسـري و محلـي را بـه طـور متعادل تنظيم نمايد و هر ذره به صورت ديناميکي ضريب اينرسي خود را بر طبق بهترين حافظه ذره با استفاده از مدل فازي غير خطـي تنظـيم مـي - نمايد. در بخش شبيه سازي عملکرد الگوريتم IFPSO با الگوريتم بهينه سازي توده ذرات در تخمين پارامتر سيسـتم آشـوبي منطقـي تـاخير دار از نظر معيارهاي دقت و سرعت همگرايي مقايسه شده است . نتايج شبيه سازي کارآيي روش پيشنهادي را نشان مي دهد.
واژه هاي کليدي: تخمين پارامتر، الگوريتم بهينه سازي توده ذرات بهبود يافته فازي Improved fuzzy particle swarm optimization IFPSO، سيستم آشوبي تاخيردار
١- مقدمه
طبق خصوصيات سيستم هاي غيـر خطـي ، آشـوب رفتـار دينـاميکي ناپايدار کرانداري دارد. به شرايط اوليه حساس و شامل حرکـات تنـاوبي ناپايدار محدود مي باشد.آشوب يک دانـش مـورد توجـه و پيچيـده در ميادين تحقيقاتي مي باشد، که توسط معادلات ديفرانسيلي توصيف مي شود.
در بسياري از سيستم هاي واقعي مثل فرآيندهاي شيميايي سيستم هاي گردش ماشين ، سيستم هاي بيولوژيکي و سيستم هاي اقتصادي، تاخير زماني به طور معمول حضور دارد[١و٢] . سيستم هـاي تـاخيردار رفتـار ديناميکي پيچيده تري نسبت به سيستم هاي بـدون تـاخير دارا مـي - باشند. از زماني که ماکي و گلاس براي اولين بار در آشوب تاخير را پيدا کرد[٣] علاقه مندي ها در اين زمينه بيشتر شده است [٤-٦].
تحقيقات زيادي در جهت تخمين پارامترهـاي سيسـتم آشـوبي بـراي سيستم هاي بدون تاخير زماني ارائه شد. از جمله اين تحقيقات مي تـوان به روش مبتني بر همزمان سـازي [٧و٨] و الگـوريتم تکـاملي [ ٩-١١]
اشاره نمود. تانگ در [١٢] از PSO استفاده نمود تا پارامترهاي مجهول و زمان تاخير سيستم هاي آشوبي تاخيردار را بيابد که زمـان تـاخير بـه عنوان يک پارامتر اضافي در نظر گرفته شد.
PSO نوعي از الگوريتم بهينه سازي هوشمند محاسباتي مي باشد کـه از مدلهاي اجتماعي ساده مانند پرندگان و ماهي ها الهـام گرفتـه شـده است [١٣-١٥] . ديناميک هـاي جمعيتـي PSO هماننـد رفتـار جمـع آوري و خود تشکيلاتي اجتماعي جانوران هوشمند است . اجراي آسان و همگرايي سريع از خصوصيات الگوريتم PSO مي باشند. امـروزه کـاربرد وسيع و توجه ويژه اي به اين الگوريتم شده است .
در [١٦] تخمين پارامترهـا و زمـان هـاي تـاخير سيسـتم هـاي آشوبي غيرخطي با نويز اوليه تصـادفي انجـام شـد. در [١٧] يـک الگوريتم بهينه سازي توده ذرات بهبوديافته IPSO کـه از تکنيـک جديد تکاملي استفاده مي کند براي حل مسئله شناسايي آفلايـن و آنلاين سيستم هاي آشوبي پيشنهاد شد. کيفيت اين روش براي تخمين پارامتر سيستم لورنز نشان داده شد. گرچه PSO چند پيشرفت مهم در فراهم نمودن سـرعت بـالاي همگرايي در مسائل خاص داشـته اسـت امـا چنـد نقصـان در آن وجود دارد [١٨]. الگوريتم PSO اسـتاندارد SPSO يـک توانـايي ضعيف در جستجوي نقطه مناسب بهينه مي باشد زيرا مشکلي در مکانيزم سرعت دارد [١٩و٢٠]. براي غلبه بر اين مشکل شی و ابرهات [21] از یک سیستم فازی استفاده کرده تا ضریب اینرسی که به ان FPSO مـي گويند. در نتيجه عملکرد الگـوريتم PSO بـه خـوبي بهبـود داده شد. اما مدل زيستي مناسبي را ارائه نمي داد.
برای حل این مشکل در FPSO بهبود داده شد که به ان IFPSO یعنی FPSO بهبودداده شده گفته میشود . در این روش بر اساس مقدار بهترين هزينه بدست آمده و مقدار فعلي ضريب اينرسـي ضـريب اينرسي جديد تغييـر مـي کنـد. در [٢٢] از ايـن الگـوريتم بـراي شناسايي هوشمند سيستم غير خطي ناپايدار استفاده شد. در ايـن مقاله از اين الگوريتم براي شناسـايي سيسـتم آشـوبي تـاخيردار استفاده مي نماييم .
الگوريتم IFPSO دو مشخصه جالب توجـه دارد: (١) بـراي غلبـه بـر اختلافات بين ذرات در PSO مي تواند يک مدل زيسـتي و بيولـوژيکي - تري شبيه سازي نمايد، ضريب اينرسي با تعداد ذرات اندازه گيـري مـي شود و (٢) براي برگشت پروسه واقعي ، ضريب اينرسي بر اساس فيدبک گرفته شده از حافظه ذرات تنظيم مي گردد.
هدف اين مقاله نيز ارائه روشي مناسب براي شناسايي سيسـتم هـاي آشوبي تاخيردار مي باشد. در ايـن مقالـه شناسـايي پارامترهـا و زمـان تاخير سيسـتم آشـوبي منطقـي تـاخيردار بـه کمـک روش IFPSO در مقايسه با PSO استاندارد در زمينه سرعت و دقـت محاسـباتي صـورت گرفته است . پـس از ارزيـابي عملکـرد IFPSO ، نتـايج شـبيه سـازي سرانجام موثر بودن روش پيشنهادي را نشان دادند.
در اين مقاله ابتدا معادلات حاکم بـر مسـئله ، ايـده اصـلي الگـوريتم PSO و IFPSO مطرح مي شود. سپس نتايج شبيه سازي بررسي شده و مورد تحليل قرار گرفته است .
٢- معرفي صورت مسئله
براي بررسي چگونگي تخمين پارامتر درسيستم هاي آشوبي تاخيردار ابتدا ساختار سيستم هاي آشوبي تاخيردار معرفي شده، سپس مسئله در قالب يک ساختار بهينه سازي بيان شده است .
٢-١- سيستم آشوبي تاخيردار
سيستم زير را در نظر بگيريد:
که بردار حالت بوده و بردار حالت اوليه مي باشد.
پارامتر سيستمي است و τ تاخير زماني است که بايد تخمين زده شود
ساختارسيستم (١) معلوم در نظر گرفته شده سپس سيستم تخمين زده شده به اين صورت نوشته مي شود:
که بردار حالت تخمين زده شده سيستم (٤)، و
پارامترهاي سيستماتيکي هستند که بايد تخمين زده شوند.
٢-٢- بيان مسئله شناسايي پارامتر در قالب يک ساختار بهينه سازي
براي تخمين پارامترهاي سيستم آشوبي تاخيردار معرفي شـده در بخش قبل ، ابتدا بايد يک معيار عملکرد يا يک تابع هدف تعريف شـود.
به طور کلي ، الگوريتم هاي اکتشافي مانند GA و PSO اسـتاندارد تنهـا نياز به ارزيابي عملکرد براي هدايت جستجوي آن دارند و هيچ نيازي به مشتقات و فرعيات دربـاره سيسـتم نيسـت . در ايـن مطالعـه ، برخـي از خطاهاي مربع بين پاسخ هاي واقعي و تخمين زده شده بـراي تعـدادي معيني از نمونه ها به عنوان تناسب پارامترهاي مدل تخمين زده شده در نظر گرفته شده است . بنابراين ، تابع برازندگي به طريق زير تعريـف مـي شود:
که در آن M طول دادههاي مورد استفاده براي شناسايي پارامتر، و به ترتيب ، مقادير واقعي و تخمين زده شـده در زمـان K هسـتند.
هدف ما تعيين پارامترهاي سيستم ، با استفاده از الگـوريتم هـاي بهينـه سازي هوشمند به طريقي هستيم که مقدار هزينه J به حداقل رسـيده، تا حد امکان به صفر نزديک شود.
٣- الگوريتم بهينه سازي توده ذرات
SPSO -1-3
يکي از ابزارهايي که در ايـن مقالـه بـراي تخمـين پـارامتر سيسـتم آشوبي تاخيردار به کار رفته اسـت الگـوريتم بهينـه سـازي تـوده ذرات استاندارد SPSO مي باشد [١٧]. در اين روش، بـراي تخمـين پـارامتر سيستم ، پارامتر هاي مجهول سيستم به عنوان ذرات در نظر گرفته مي - شوند. الگوريتم بهينه سازي توده ذرات نسلي نسبتا جديد از الگـوريتم - هاي فرا اکنشافي ترکيبـي اسـت کـه مبتنـي بـر اسـتعاره اي از تعامـل اجتماعي يعني هجوم پرندگان يا دسته ماهي ها است [٢٣].
الگوريتم با مقدار دهي اوليه به دسته اي از پرندگان به طور تصـادفي در فضاي جستجو، که در آن هر پرنده يک "ذره" ناميده مي شود. ايـن "ذرات" با يک سرعت خـاص پـرواز مـي کننـد و پـس از چنـد تکـرار، بهترين موقعيت سراسري را پيدا مي کنند. در هـر تکـرار، هـر ذره مـي تواند بردار سرعت خود را بر اساس حرکت و تاثير بهترين موقعيت آن و همين طور بهترين موقعيت براي بهترين فرد، تنظيم نمايد. سپس ايـن ذره به موقعيت محاسبه شده جديد پرواز مي کند. فرض کنيد که فضاي جستجو n- بعدي است ، و سپس موقعيـت و سـرعت ذره i بـه ترتيـب ، با نشان داده مي شـود.
تناسب هر ذره مي تواند طبق تابع هـدف مسـئله بهينـه سـازي ارزيـابي شود. بهترين موقعيت بازديد شده قبلي ذره i ذکـر شـده همـانطور کـه بهتــــرين موقعيــــت سراســــري بــــا و مشخص شده اسـت . موقعيـت بهتـرين فـرد از ازدحــام بــه عنــوان بهتــرين موقعيــت سراســري ذکــر شــده اســت
در هر مرحله ، سرعت ذره و موقعيت جديدش به شرح زير تعيين مي گردد:
که در آن به عنوان وزن اينرسي ناميده مي شود و تاثير سرعت قبلي ذره بر سرعت فعلي اش را کنترل مي کند. r1 و r2 متغيرهـاي تصـادفي توزيع شده به طـور يکنواخـت و بـه طـور مسـتقل در محـدوده [٠,١]
هستند. C1 و C2 پارامترهاي ثابت مثبـت هسـتند کـه ضـريب شـتاب ناميده مي شوند و حداکثر اندازه مرحله را کنترل مي کنند.
در SPSO، معادله (٤) براي محاسبه سرعت جديـد بـر اسـاس سـرعت قبلي اش ، فاصـله موقعيـت کنـوني اش از هـر دو مـورد هـم از بهتـرين موقعيـت شخصـي اش و هـم از بهتـرين موقعيـت سراسـرياش از کـل جمعيت ، مورد استفاده قـرار گرفتـه اسـت . سـپس ذره بـه سـوي يـک موقعيت جديد طبق معادله (٥) پرواز مي کند. اين فرايند تکرار مي شـود تا زماني که به يک معيار توقف برسد.
دراين الگوريتم ،معمولا در نظرگرفته مي شود. w ضريب اينرسي معمولا بين ٠.٩ تا ٠.٤ تغيير مي کند. موقعيت ذرات بدست آمده پس از پايان اجراي الگوريتم همان مقدار پارامتر تخمين زده شده سيستم آشوبي است .
٣-٢- الگوريتم IFPSO [٢٢]
اگرچه SPSO پيشرفت هاي مهمـي بـا فـراهم آوردن سـرعت بـالاي همگرايي در مسائل خاص نشان داده است ، با اين حال کمبودهايي نيـز از خود نشان داده است . گاهي اوقات به دام افتادن در بهينه محلي آسان است ، و نرخ همگرايي در دوره بعدي تکامل به طـور قابـل ملاحظـه اي کاهش يافته است ؛ هنگـام رسـيدن بـه يـک راه حـل مطلـوب نزديـک، الگوريتم بهينه سازي را متوقف مي کند، و در نتيجه دقـت الگـوريتم بـه دست آمده محدود است [٢٣].
روش هاي زيادي براي بهبود عملکرد SPSO به کمک تغييـر ضـريب اينرسي تلاش کرده اند. ضريب اينرسي عامل مهمـي در عملکـرد PSO مي باشد که توانايي جستجوي محلي و توانايي جسـتجوي سراسـري را تعادل مي دهد. ضريب اينرسي بـزرگ توانـايي جسـتجوي سراسـري را بهبود مي بخشد اما همگرايي را کندتر مي نمايد. برعکس ، يک ضـريب اينرسي کوچـک توانـايي جسـتجوي محلـي را بهبـود داده و منجـر بـه رسيدن به نقطه بهينه محلي مي گردد. عـلاوه بـر آن، ضـريب اينرسـي کاهشي خطي و ضريب اينرسي کاهشي غير خطـي پيشـنهاد شـده انـد . [27-24]
با اينحال اين الگوريتم هاي PSO را بهبود داده اند اما واقعـا پروسـه جستجو را بدون فيـدبک گـرفتن آنچـه برازنـدگي ذره از مقـدار بهينـه تخمين زده شده (واقعي ) نمي توانند منتقل نمايند. براي غلبه بـر ايـن مشکل ، شي و ابرهارت [٢١] يک سيستم فـازي بـه صـورت پويـا بـراي تطبيق ضريب اينرسي به نام FPSO ارائه نمودنـد. در نتيجـه ، عملکـرد الگوريتم PSO به خوبي بهبود داده شد.
اما معرفي ضريب اينرسي يکسان بـراي همـه ذرات و ناديـده گـرفتن تفاوت بين عملکرد ذرات يک پيشينه جانوران شبيه سازي بوده که بـه طور کلي يک مدل بيولوژيکي دقيقـي را نشـان نمـي دهـد. در حاليکـه ذرات بر طبق حالات خود بايد به طور متفاوت عمل نمايند. ذره اي کـه برازندگي آن از مقدار بهينه واقعي دور مي باشد، يک سرعت بزرگ هنوز مورد نياز است تا به صورت سراسري فضا را جسـتجو نمايـد و بنـابراين ضريب اينرسي آن بايد به مقدار بزرگي تنظيم شود . بر عکس ، براي ذره اي که برازندگي آن نزديک به مقدار بهينه واقعي است فقط يک حرکت کوچک مورد نياز بوده و بنابراين ضريب اينرسي بايد به مقـدار کوچـک تنظيم گردد تا جستجوي محلي بهتري انجام دهد. اما، ضريب اينرسـي يکسان به حالات بر عکس داده شده است .
بر طبق نکات مذبور، عملکرد FPSO با محاسبه ضريب اينرسي براي هر ذره بر طبق حالات آن بهبود داده شد. هـر ذره معاملـه مختلفـي بـين توانايي سراسري و محلي خواهند داشت ، از وقتـي کـه هـر ذره در يـک محيط پيچيده قرار گرفته و با شرايط مختلف مواجه مي شود. بـر طبـق اين ، يک منطق فازي براي هر ذره طراحي شده تا مقـادير بـردار وزنـي خروجي فراهم نمايد. سيستم فـازي پيشـنهادي دو ورودي دارد. اولـين ورودي برازندگي نرمـال بهتـرين موقعيـت فعلـي هـر ذره ( NFCBP) ناميده مي شود. اين ورودي به صورت زير تعيين مي شود:
که برازندگي بهترين موقعي قبلي ذره i ام در تکرار k ام، FKN جواب بهينه شناخته شده و برازندگي ذره i ام در تکرار اول که بدترين مقدار قابل قبول برازندگي الگوريتم IFPSO بـراي اين ذره مي باشد. ورودي دوم فازي مقدار فعلي ضـريب وزنـي اينرسـي براي ذره i ام مي باشد. خروجي فازي مقدار تغييرات ضريب مي باشد.
هر متغير فازي سه تابع عضويت به نام هاي (S)،M( ) و (L) ، کوچـک، متوسط و بزرگ دارد که به صورت زير مي باشند:
که نشان دهنده تابع عضويت ورودي هاي کريسپ (غيرفازي)، قواعد فازي در جدول (١) داده شده است .
جدول (١) قواعد فازي
توابع عضويت براي ورودي ها و خروجي هاي فازي در IFPSO هماننـد شکلهاي ١-٣ مي باشد.
شکل ١. توابع عضويت مربوط به NFCBP
شکل ٢. توابع عضويت مربوط به ضريب اينرسي
شکل ٣. توابع عضويت مربوط به تغييرات ضريب اينرسي
٤- نتايج شبيه سازي
سيستم آشوبي زير که به نام سيستم منطقي تاخيردار مـي باشـد در نظر مي گيريم [١٢]:
به ازاي مقادير نامي رفتـار ايـن سيسـتم آشوبناک مي باشد. رفتار آشوبي آن در شکل ٤ نشان داده شده اسـت .
زمان تاخير مي باشد.
