بخشی از مقاله
چکیده-
در این مقاله تکنیک کنترل تطبیقی مدل مرجع مورد بررسی قرار گرفته است. برای بهروزرسانی پارامترهای این کنترلکننده از دو روش MIT و لیاپانوف استفاده شده است. به منظور بررسی معایب و مزایای این دو روش، دو آزمون طراحی شده که در یکی از آنها دامنه سیگنال ورودی مرجع ثابت و بهره تطبیق متغیر در نظر گرفته شده و در دیگری برعکس، بهره تطبیق ثابت و دامنه سیگنال ورودی مرجع متغیر فرض شده است. یک سیستم مرتبه اول ساده هم به عنوان سیستم تحت کنترل معرفی شده و پس از شبیهسازی در محیط سیمولینک نرم افزار مطلب نتایج بررسی شده است.
-1 مقدمه
گاهی در طراحی کنترل کننده تطبیقی مدل مرجع - MRAC - به این مشکل برمی خوریم که کدام روش را پیش بگیریم آیا روش MIT بهتر است یا روش لیاپانوف؟ به همین منظور در این مقاله ابتدامختصراً به معرفی این دو روش می پردازیم و سپس به سراغ مقایسه این دو روش و چگونگی تنظیم ضرایب و بررسی معایب و مزایای آنها نسبت به هم می رویم. کلیه شبیه سازیها در محیط Simulink نرم افزار MATLAB انجام شده است.
-2 سیستمهای تطبیقی مدل-مرجع - MRAS -
سیستم تطبیقی مدل-مرجع - MRAS - یکی از کنترل-کنندههای تطبیقی مهم و پرکاربرد است .[10-1] این سیستم را می توان به صورت یک سیستم سروتطبیقی درنظرگرفت که در آن عملکرد مطلوب برحسب مدل مرجعی که به سیگنال فرمان پاسخ مطلوب می دهد بیان شده است. این کار روشی مناسب برای ارائه مشخصات یک مسأله سرو است.
مطابق شکل - - 1 این سیستم دارای یک پسخور معمولی است، که از فرآیند و کنترل کننده تشکیل شده است و یک حلقه پسخور دیگر که پارامترهای کنترل کننده را تغییر میدهد .[11] پارامترها براساس پسخور خطا، که تفاوت بین خروجی سیستم و خروجی مدل -مرجع است، تغییر داده میشوند. حلقه پسخور معمولی، حلقه درونی و حلقه تنظیم پارامتر، حلقه بیرونی نامیده می شوند. حلقه بیرونی پارامترهای کنترل کننده را به طریقی تنظیم می کند که خطا یعنی اختلاف بین خروجی فرآیند - y - و خروجی مدل - - کم شود. مکانیزم تنظیم پارامترها در یک سیستم تطبیقی مدل مرجع از طریق دو روش گرادیان یا نظریه پایداری قابل حصول است.
شکل :1 نمودار بلوکی سیستم تطبیقی مدل مرجع - MRAS -
-1-2 قاعده MIT
این روش برای اولین بار در آزمایشگاه ابزار دقیق در دانشگاه MIT مطرح شده است .[4] برای ارائه قاعده MIT یک سیستم حلقه بسته را در نظر میگیریم که در آن کنترلکننده دارای یک پارامتر قابل تنظیم است. پاسخ مطلوب برای سیستم حلقه بسته به کمک مدل مرجع با خروجی مشخص میشود. فرض کنید که باشد. یک امکان برای تنظیم پارامتر این است که تابع هزینه زیر کمینه گردد:
برای کوچک کردن J منطقی به نظر میرسد که پارامترها را در جهت منفی گرادیان J تغییر دهیم. درنتیجه:
رابطه فوق همان قاعده معروف MIT است. مشتق جزئی که مشتق حساسیت سیستم نامیده میشود بیانگر نحوه تأثیرپذیری خطا از پارامتر قابل تنظیم است. اگر فرض شود که پارامترها بسیار آهسته تر از سایر متغیرهای سیستم تغییر می-کنند، مشتقات تحت شرایط ثابت بودن ، قابل محاسبه هستند. روشهای متعددی برای انتخاب تابع هزینه وجود دارد.
-2-2 نظریه پایداری لیاپانوف
تضمینی وجود ندارد که یک کنترل گر تطبیقی براساس قاعده MIT، سیستم حلقه بسته پایداری نتیجه دهد. واضح است که مایلیم بدانیم آیا روش های دیگری برای طراحی کنترلکنندههای تطبیقی وجود دارد که پایداری سیستم را تضمین کند یا خیر. بعنوان گامی در این جهت، نظریه پایداری لیاپانوف را به طور اجمالی بررسی می کنیم. سهم اساسی نظریه پایداری سیستم های غیرخطی از آن ریاضیدان روسی به نام لیاپانوف است. لیاپانوف معادله دیفرانسیل غیرخطی زیر را مورد بررسی قرار داد:
برای تضمین اینکه یک جواب وجود دارد و یکتاست لازم است نکاتی درباره - - فرض شود. یک فرض کافی آن است که - - در همسایگی مبدا لیپشیتز محلی باشد. درکل، لیاپانوف روشی را برای بررسی پایداری براساس پیدا کردن تابعی با ویژگیهای خاص ارائه کرده است
-3 پیادهسازی روشهای MIT و لیاپانوف
دیاگرام بلوکی سیستم حلقهبسته برای پیادهسازی کنترل-کننده حاصل از قاعده MIT در شکل زیر مشاهده میگردد
شکل MRAC :2 مبتنی بر قاعده MIT
هیچ تضمینی وجود ندارد که یک کنترلکننده طراحی شده برپایه قاعده MIT یک سیستم حلقه بسته پایدار را نتیجه دهد از این رو طراحی یک کنترلکننده تطبیقی که بتواند پایداری سیستم حلقه بسته را تضمین نماید، لازم به نظر میرسد. اگر از قضیه پایداری لیاپانوف برای بدست آوردن کنترلکننده تطبیقی با تضمین پایداری حلقه بسته استفاده نمائیم، می توان تابع کاندید را به صورت زیر اختیار کرد:
با توجه به مثبت معین بودن تابع کاندید و منفی معین بودن مشتق آن، سیستم حلقه بسته به همراه مکانیسم تطبیق، براساس لم مشهور باربالت کلاً پایدار میباشد. در شکل زیر بلوک دیاگرام سیستم بکار رفته برای شبیه سازی کنترلکننده تطبیقی مدل مرجع طراحی شده بر اساس قضیه پایداری لیاپانوف را مشاهده نمائید:
شکل MRAC :3 مبتنی بر تئوری پایداری لیاپانوف
-4 شبیه سازیها و نتایج
در این قسمت به تحلیل و بررسی نتایج حاصل از شبیه-سازی MRAC طراحی شده به روش های MIT و لیاپانوف می پردازیم؛ که به ترتیب یکبار با ثابت در نظر گرفتن دامنه ورودی - - و تغییر دادن مقدار شبیهسازی را در برنامه مطلب انجام میدهیم و بار دیگر میزان را ثابت در نظر گرفته و دامنه ورودی را تغییر می دهیم و در نهایت به مقایسه نتایج این تغییرات میپردازیم.
حالت :1 ابتدا با در نظر گرفتن و دامنهی ورودی 2 تصاویر 4 الی 6 بدست میآیند.
شکل :4 ورودی مرجع و پاسخ سیستم حلقه بسته
شکل :5 نمودار تغییرات پارامتر
شکل :6 نمودار تغییرات پارامتر
حالت :2 در این قسمت با افزایش به 2 و ثابت نگه داشتن دامنهی ورودی در 2 شاهد تصاویر 7 تا 9 خواهیم بود.
