بخشی از مقاله
چکیده -
در این مقاله یک روش تحلیلی جدید به منظور محاسبه نمای لیاپانوف مبتنی بر روش تبدیل دیفرانسیلی - DTM - در یک نمونه آزمایشی از لیزر Nd:YAG پمپ شده توسط یک لیزر دیودی کوپل شده با یک نوسانساز راسلر - Rossler - آشوبناک ارائه شده است. سپس تغییرات نمای لیاپانوف به ازای پارامترهای مختلف سیستم نشان داده شده است. تاکنون محاسبه نمای لیاپانوف و تغییرات آن نسبت پارامترهای مختلف سیستم براساس این روش و بصورت تحلیلی انجام نپذیرفته است.
کلید واژه- آشوبناک، روش تبدیل دیفرانسیلی، لیزر Nd:YAG پمپ شده توسط یک لیزر دیودی ، نمای لیاپانوف، نوسانساز راسلر.
-1 مقدمه
یکی از انواع رفتار پیچیده در سیستم های غیرخطی، رفتار آشوب آن می باشد. آشوب بطور گسترده در علوم مهندسی و سیستم های طبیعی کاربرد پیدا کرده است. هدف نظریه آشوب شناسایی راه های تشخیص نظم نهفته در سیستم های بسیار پیچیده است که در صورت موفقیت اجازه می دهند تا روند آتی حرکت آنها برخلاف باورهای قبلی پیش بینی شود.[1-3] نکته اصلی تئوری آشوب این است که در هر بی نظمی، نظمی نهفته است به این معنا که نباید نظم را تنها در یک مقیاس جستجو کرد .[2] در واقع رفتار آشوب یک سیستم غیرخطی بسیار حساس به شرایط اولیه می باشد، بطوری که تغییر کوچکی در شرایط اولیه تغییرات بسیار زیادی در خروجی خواهد داشت.[4] یکی از روش هایی که آشوب یک سیستم غیرخطی را بررسی می کند، نمای لیاپانوف سیستم است.[2] لیزر Nd:YAG پمپ شده توسط یک لیزر دیودی کوپل شده با نوسانساز راسلر - Rossler - ، تا کنون بررسی برای سنکرون سازی بین سیستم ها بوده و بصورت تحلیلی به منظور بررسی آشوبناکی و پایداری آن مطالعه نشده است. نوسانساز راسلر دارای رفتاری شبیه به سیستم لورنز می باشد اما در تجزیه و تحلیل نسبت به آن سادهتر است 6]و.[5
-2 مروری بر روش تبدیل دیفرانسیلی - DTM -
-1-4 محاسبه نمای لیاپانوف
طبق روابط - 7 - و - 9 - با جایگزینی عبارات سیستم تا n جمله در بسط تیلور، نمای لیاپانوف سیستم محاسبه می شود. جدول - 2 - نماهای لیاپانوف لیزر Nd:YAG پمپ شده توسط یک لیزر دیودی کوپل شده با نوسان ساز راسلر تحت شرایط اولیه مختلف را نشان می دهد. همانطور که در جدول - 2 - مشاهده می شود، کوچکترین تغییرات در شرایط اولیه، باعث بروز تغییرات در نماهای لیاپانوف سیستم می شود. در شرایط اولیه برابر با - 0.1, 0.1, 1e-5 - سیستم به سمت پایداری میل کرده است. به منظور وضوح بیشتر مطالب در این مقاله، نتایج شبیه سازی بیان شده است. شکل - 2 - منحنی فاز سیستم آشوبناک را در شرایط اولیه مختلف نشان می دهد. سیستم های آشوبناک نسبت به شرایط اولیه بسیار حساس هستند؛ همانطور که در این شکل مشاهده می شود با تغییر شرایط اولیه رفتار سیستم تغییر می کند.
ا شکال 3 تا 6، تغییرات نمای لیاپانوف لیزر Nd:YAG پمپ شده تو سط یک لیزر دیودی کوپل شده با نو سان ساز را سلر برا ساس تغییرات پارامترهای مختلف سیستم، توسط نرم افزار MATLAB را نشان میدهد. هدف از این شبیه سازی، بررسی تأثیر پارامترها در رفتار آشوبگونه سیستم است. شکل - 3 - نمودار تغییرات نمای-لیاپانوف نسبت به تغییرات پارامتر وقتی b 0.2, c 5.7, w 37kHz را نشان می دهد. همانطور که م شاهده می شود به ازای برخی مقادیر سی ستم پایدار میبا شد چون تمامی نماهای لیاپانوف منفی میشوند و به ازای برخی مقادیر به علت مثبت شدن حداقل یکی از نماهای لیاپانوف سیستم آشوبناک میشود. بعنوان مثال در بازه تمامی مقادیر نماهای لیاپانوف مثبت می شوند.
