بخشی از مقاله
چکیده
یکی از مباحث آنالیز ریاضی که کاربرد هاي وسیعی در مباحث نظري و عملی دارد قضیه نقطه ثابت است. در این مقاله سعی بر آن است که قضیه نقطه ثابت و نقطه ثابت مشترك براي مجموعه هاي مرتب جزئی اثبات شود.
واژه هاي کلیدي: مجموعه مرتب جزئی ، قضیه نقطه ثابت، نقطه ثابت مشترك، دنباله کشی، حافظ ترتیب.
مقدمه
قضیه نقطه ثابت باناخ در بسیاري از شاخه هاي دیگر آنالیز قابل توسعه است. از جمله می توان این مفهوم را براي فضاهاي متریک روي مجموعه هاي مرتب جزئی تعریف و نقطه ثابت را بدست آورد، با این تفاوت که نقطه ثابت به طور مشترك با تابع یا توابع دیگر می باشد. توجه بسیاري از نویسندگان در مورد مفهوم نقطه ثابت و مجموعه هاي فازي می باشد به همین دلیل بررسی نقطه ثابت مشترك روي مجموعه هاي مرتب جزئی از اهمیت خاص برخوردار است.فرض کنید - - X , یک مجموعه مرتب جزئی ، - - X , d فضاي متریک کامل و : - 0, - [0, - تابعی پیوسته باشد به طوري که - t - t براي هر .t 0 به علاوه توابع F ,g : X Xموجود باشند ، F - X - g - X - که F یک g حافظ ترتیب است و - F - X - g - X می توان ثابت نمود این دو تابع داراي نقطه ثابت مشترك می باشند.
تعریف.1 فرض کنید - - X , مجموعه مرتب جزئی یک و F ,g : X X در این صورت F را یک g حافظ ترتیب گوییم هرگاه - . g - x - g - y - F - x - F - yفرض کنید - - X , یک مجموعه مرتب جزئی همچنین - - X , d یک فضاي متریک کامل و : - 0, - [0, - تابعی پیوسته با خاصیت - t - t براي هر t 0 باشد. اکنون توابع F ,g : X X را با خواص زیر در نظر می گیریم:فرض کنید g{ - xn - } Xدنباله اي صعودي در - g - X و - g - X مجموعه اي بسته باشد در این صورت اگر x0 X به طوري که g - x 0 - F - x 0 - آنگاه می توان ثابت نمود که F و g داراي یک نقطه ثابت مشترك می باشند. براي اثبات با استفاده از تعاریف و نمادهاي گفته شده مقدمات اثبات را به شرح زیر می آوریم:
