بخشی از مقاله
چکیده
اگر چه ویژه توابع معادله شرودینگر یک مجموعه کامل را تشکیل می دهند در بسط توابع موج اتمی، اتمهاي بیش از یک ذره بر حسب توابع شرودینگر بایستی از جملات پیوسته صرفنظر نمود با معرفی توابع اشتورمین به حل این موضوع پرداخته و محاسبات انرژي حالت پایه و نمایش ویژه توابع مرور شده است.
مقدمه
معادله ي شرودینگر اساسی ترین معادله ي غیر نسبیتی در مکانیک کوانتومی براي توصیف تحول حالت یک ذره است. معادله ي شرودینگر در سال1926 توسط اروین شرودینگر به ثبت رسید و پس از او نیز هایزنبرگ معادله ي برابري را به صورت عملگرهاي خطی و عملگرهاي جابه جایی به وجود آورد. براي اتم هاي چند الکترونی تابع موج برحسب توابع پایه بسط داده می شود. در این بسطجملات پیوستگی در نظر گرفته نمی شوند، این نه به این دلیل است که مهم نمی باشند بلکه به خاطراینکه معادلات متعاقب آن قابل محاسبه نیستند.سادگی محاسبات که از بسط ویژه توابع دست می آیند از فواید آنها می کاهند اما بسط هاي دقیق تري را می دهند.
- این به معناي نزدیک شدن به یک راه حل صحیح است. - این روش با استفاده از کامپیوترهاي دیجیتال میسر می شود اما حتی کامپیوترهاي دیجیتال مدرن اجازه ي حذف تمام محاسبات را به وسیله ي ساده سازي آنها نمی دهند.استفاده از توابع اشتورمین1 این کنار گذاري را تحت تأثیر قرار می دهد - نامگذاري اشتورمین توسط روتنبرگ ]١[ صورت گرفته است و هیچ اهمیت تاریخی ندارد تنها دلیل روشن این انتخاب این است که این توابع حل شکل خاصی از مساله ي اشتورم-لیوویل است. - اشتورمین ها از ابتدا در مسائل حالت مرزي توسط هولین[2]2، شولبه3 کارولودین[3] 4گرفته شده اند که اخیرا پیشرفت قابل ملاحظه اي را در محاسبات انرژي حالت پایه ي هلیوم به وسیله بسط ویژه تابع هیدروژن که توسط تیلور و پار انجام شد، نشان می دهد.
مشکل همگرایی در مساله ي دوالکترونی ناشی از رابطه ي بازگشت در تابع موج دوالکترونی است. ما در این مقاله توابعی را معرفی می کنیم که این جهت را در بر دارد. معرفی این توابع در بخش نخست می باشد و در بخش دوم توابع اشتورمین کولنی را بررسی نموده ایم و در بخش سوم منحنی هاي این دو تابع رسم شده و با هم مقایسه کرده ایم. در بخش چهارم تصویر توابع اشتورمین بر روي توابع کولنی بیان شده است.
مقدمات ریاضی
تعریف رسمی معادله ي اشتورمین حل غیر بدیهی ونرمالیزه ي معادله ي زیر است:براي n 1,2,... و l 0,1,...n −1 که E0 یک عدد ثابت منفی و αnl یک ویژه مقدار است،معادله ي - 1 - می تواند به عنوان نوعی معادله يشرودینگر در نظر گرفته شود که براي یک انرژي کل ثابت و اندازه حرکت زاویه اي، ثابت هاي جفت شدگی αnl به گونه اي باید پیدا شوند که در معادله ي - 2 - صدق کنند. در شرایط فیزیکی، انرژي پتانسیل با افزایش n افزایش پیدا می کند. - فرض می کنیم - V x جاذبه اي است - بنابراین انرژي جنبشی باید افزایش پیدا کند تا E0 ثابت بمانداز. این رو تعداد نوسانات تابع اشتورمین افزایش می یابد که امکان تعامد را فراهم می کند. یک دستکاري ساده در معادله ي - 1 - شرط تعامد را به صورت زیر می دهد:
معادله ي - 3 - کاملا درست است، اگر - V r از یک علامت باشد. در غیر این صورت - 3 - ممکن است به ازاي n n′ صفر باشد. علامت منفی سمت راست معادله ي - 3 - نتیجه ي این فرض است که - V x به طور کلی منفی است و براي این است که ما می خواهیم Snl حقیقی باشد.اگر V r یک پتانسیل صحیح فیزیکی باشد، آنگاهبه طور واضح یک تابع اشتورمین وجود خواهد داشت که صرف نظر از فاکتور نرمالیزاسیون، همان حالت انرژي E0 شرودینگر است. براي این حالتα 1 خواهد بود. وقتی E0 انرژي حالت پایه باشد، این تابع یک نقش محوري در مسائل پراکندگی الاستیک خواهد داشت.
اگر V r کاملا جاذبه اي باشد، −1 ≤αnl ∞خواهد بود. - V r بایستی هر دو علامت را داشته باشد - براي مثال یک پتانسیل درون اتمی - که در این صورت ویژه مقادیر از منفی تا مثبت بینهایت تغییر خواهند کرد. بنابراین هر دو علامت ویژه مقدارها الزامی است. از این رو توابع به دو دسته تقسیم میشوند : Snl که متناظر با ویژه مقادیر مثبت و Tnlکه متناظر با ویژه مقادیر منفی هستند. هدف از متمایز کردن این دو، انتگرال نرمالیزاسیون - 3 - است. براي Tnl ها علامت منفی حذف می شود.توابع Tnl و Snl هنوز با تابع وزنی - V r باید توجه کرد بخاطر تغییر علامت - V r نظریه اشترملیوویل درباره تعداد مختلف ماکزیموم ها در توابعدو به دو متعامد ثابت باقی نمی ماند.اشتورمین هاي کولنی :
در حل مسئله يمعاتم هیدروژن به ادله ي زیر برمیخوریم که به معادله ي شعاعی معروف است:رسم نمودارها ي توابع هیدروژنی و کولنیچون کهتقریباً تمام توابع هیدروژنی حالت مرزي دارند که درونی ترین صفرهاي تابع ها نسبت به عددکوانتومی اصلی غیر حساسند. براي مثال اولین صفربراي U20 در r 2 شعاع بوهر است. وقتی کهn خیلی بزرگ می شود، مقدار اولین صفر فقط کمی کمتر از 2 یعنی 1/88 شعاع بوهر بدست میآید. این دلیل موجهی بر این واقعیت است که توابع مرزي هیدروژن یک مجموعه کامل را تشکیل نمی دهند. پس لازم است که پیوستگی در محدوده ي مبدا و اولین حد صفر بررسی شود. ماکزیمم مقدارتوابع مرزي کولنی درr ~ n2 است،در حالی کهدر توابع اشتورمین، r به طور خطی با n زیاد میشود. بنابراین زمانی که توابعی با اندازه هاي فضایی بزرگ را بررسی می کنیم، نباید انتظار همگرایی سریع با اشتورمین ها را داشته باشیم. در زیر به ازاي چندین مقدار براي n و l ، نمودارهاي Unl و Snlرهايشکل و 21 رسم شده است.
