بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
انتقال حرارت جابجایی آزاد سیالات غیر نیوتنی مدل پاورلا همراه با اثر جریان مگنتوهیدرودینامیک بر روي یک صفحه عمودي همراه با دمش و مکش یکنواخت در شرایط شار دیواره ثابت و همچنین دماي دیواره ثابت
چکیده
در این مقاله انتقال حرارت جابجایی آزاد سیالات مدل غیرنیوتنی پاورلا همراه با اثر جریان مگنتوهیدرودینامیک بر روي یک صفحه عمودي همراه با اثر مکش و دمش یکنواخت سطحی در شرایط شار دیواره ثابت و همچنین دماي دیواره ثابت مورد مطالعه قرار گرفته است. با استفاده از پارامترهاي تشابهی مناسب معادلات مومنتوم و انرژي بی بعد شده اند. این معادلات بدون بعد بدست آمده با استفاده از روش عددي دیفرانسیل محدود ضمنی کرانک- نیکلسون حل شده اند. پروفیل هاي سرعت، دما، عدد نوسلت و همچنین ضریب اصطکاك رسم شده اند. اثر پارامترهایی چون عدد پرنتل، شاخص جریان، پارامتر مگنتو هیدرو دینامیک ، پارامتر نرخ نفوذ سطحی سیال به صورت نمودارهاي بر روي بروي انتقال حرارت جریان جابجایی آزاد سیال غیرنیوتنی مدل پاورلا روي صفحه عمودي همراه با نفوذ سطحی سیال در شرایط دماي دیواره ثابت و همچنین شار حرارتی دیواره ثابت مورد بررسی قرار گرفته شده است. از آن مشاهده می شود که با افزایش شاخص جریان مقدار سرعت افزایش پیدا می کند در حالی که دما کاهش می یابد. همچنین با افزایش پارامتر مگنتو هیدرو دینامیک پروفیل سرعت کاهش اما پروفیل دما افزایش می یابد. با افزایش عدد پرانتل پروفیل دما و سرعت هردو کاهش می یابند. با افزایش دمش سطحی مقدار دما و سرعت افزایش می یابد.
کلمات کلیدي: جریان جابجایی آزاد، مگنتوهیدرودینامیک، سیال غیرنیوتنی مدل پاورلا، صفحه متخلخل، صفحه عمودي
مقدمه
در سالهاي اخیر رفتار جریان و انتقال حرارت سیالات غیر نیوتنی ، بخصوص سیالات مدل پاورلا به خاطر کاربرد وسیع آنها در صنایع مختلف از جمله صنایع غذایی ، مذابهاي پلیمري، دارویی و بیوتکنولوژي ، خمیر کاغذ و رنگ ها مورد توجه قرار گرفته است
. همچنین انتقال حرارت جابجایی آزاد بر روي سطح قائم به خاطر کاربرد عملی شان در هندسهاي مختلف توجه زیادي را به خود جلب کرده است.از کاربردهاي عمده آن می توان به پره هاي دفع حرارت کلکتورهاي خورشیدي و کندانسور ها و غیره اشاره کرد یکی دیگر از موارد استفاده از صفحات مواج به کارگیري این صفحات در ساخت مبدلهاي صفحه است. همچنین امروزه اثر میدان مغناطیسی بر انتقال حرارت در جابجایی آزاد یک سیال نیوتنی بر روي صفحه عمودي با شرایط مرزي دما ثابت یا شار ثابت توجه بسیاري را به خود معطوف نموده است. این علاقه تاشی از کاربردهاي صنعتی بسیاري نظیر مبدلهاي حرارتی، تجهیزات مورد استفاده در صنایع شیمیایی، تجهیزات زمین گرمایی و خنک کاري راکتورهاي هسته اي مشاهده نمود. از تحقیقاتی که در این زمینه شده است، ستار و همکارانش انتقال حرارت جابجایی آزاد همراه با انتقال جرم بر روي یک صفحه متخلخل عمودي در یک محیط متخلخل همراه با نرخ مکش متغیر را مورد مطالعه قرار داد. (Sattar& Alam,2000 : 17)سوندالکار و همکارانش انتقال حرارت جابحایی آزاد در حالت ناپایدار عبوري از روي یک صفحه عمودي همراه با مکش ثابت و انتقال جرم را مورد بررسی قرار داد
. وي با استفاده از روش عددي دیفرانسیل محدود معادلات بی بعد شده را دیسکریتایز کرده و آن را حل کرد و نتایج خود را ارائه داد(.(Raptis ,1986 : 97 راپید و کافوسیا انتقال حرارت در محیط متخلخل همرا با جریان یکنواخت مگنتوهیدرودینامیک بر روي یک صفحه عمودي مورد مطالعه قرار داد و نتایج خود را ارائه کرد. گوخال انتقال حرارت جابجایی آزاد همراه با جریان یکنواخت مگنتوهیدرودینامیک بر روي یک صفحه متخلخل عمودي در شرایط شار حرارتی دیواره ثابت مورد بررسی قرار داد( Gokhan .(,1991 : 1451 احمد انتقال حرارت جابجایی آزاد همراه با اثر مگنتوهیدرودینامیک یکنواخت از سیال غیرنیوتنی مدل پاورلا بر روي یک صفحه مورد بررسی قرار داد و شرایط مرزي دما ثابت را در نظر گرفت وي اثرات تخلخل را در نظر نگرفت و معادلا خود را به صورت عددي حل کرد و نتایج خود را ارائه داد(.(Emad,2005 نادي و همکارانش (Naby,2004) اثرات تشعشع بر روي انتقال حرارت جابجایی آزاد همراه با مگنتوهیدروداینامیک یکنواخت بر روي یک صفحه متخلخل عمودي مورد بررسی قرار داد وي معادلات خود را بعد از اینکه بی بعد کرد با استفاده از روش عددي دیفرانسیل محدود ضمنی حل کرد و نتایج خود را ارائه داد(.(Yang,2001 کیم انتقال حرارت جابجایی آزاد همراه با اثر مگنتوهیدرودینامیک براي سیال پولار بر روي یک صفحه متحرك متخلخل عمودي در یک محیط متخلخل مورد مطالعه قرار داد. شرمن و سینگ انتقال حرارت جابجایی آزاد همراه با انتقال جرم بر روي یک صفحه متخلخل عمودي همرا با مکش متغییر و منبع تولید حرارت را مورد بررسی قرار داد وي بعد از بدست آوردن پارامترهاي تشابهی ، آن را درمعادلات مومنتوم و انرژي و انتقال جرم قرار داد و یک سري معادلات بی بعد شده را بدست آورد و آنها را با استفاده از روش عددي رانج کوتا و همچنین روش شوتینگ حل کرد و نتایج خود را ارائه داد(.(Sharma,2008 تاخار و
گانسن (Ganesan & Takhar : 1997 : 280)انتقال حرارت جابجایی آزاد بر روي یک صفحه عمودي با طول نا محدود با دماي سطح متغییر را مورد مطالعه قرار دادند و نتایج خود را ارائه دادند. گبهرت و پرا (Gebhart & Pera ,1971 : 323) انتقال حرارت جابجایی آزاد همراه با اثر بویانسی و انتقال جرم را مورد بررسی قرار داد. کالهان و مارنر (Callahan & Marner , 1976 : 165) انتقال حرارت همراه با انتقال جرم از روي یک صفحه عمودي را مورد مطالعه قرا داد. سوندالکار و گانسن ( Soundalgekar & (Ganesan , 1981 : 757 انتقال حرارت جابحایی آزاد همراه با انتقال جرم عبوري از روي یک صفحه عمودي با دماي سطح یکنواخت و ثابت را به صورت عددي حل کرد و نتایج خود را ارائه داد( .(Ekambavannan & Ganesan , 1995: 19 انتقال حرارت جابجایی آزاد همراه با انتقال جرم بر روي یک صفحه شیب دار با دماي سطح متغییر مورد بررسی قرار داد و بعد از بدست آوردن متغییرهاي تشابهی و قرار دادن آن در معادلات ،معادلات را را بی بعد کرده و سپس آنها را با استفاده از روش دیفرانسیل محدود حل کرد(.(Ganesan & Palani ,2000 : 329 گانسن و پالانی جریان جابجایی آزاد بر روي یک صفحه شیب دار با دماي سطح متغییر همراه با انتقال جرم را مورد بررسی و مطالعه قرار داد و نتایج خود را ارائه داد. سوندالکار و کاپتا ( Soundalgekar & (Cupta , 1979 : 309 اثرات انتقال حرارت جابحایی آزاد همراه با انتقال جرم عبوري از روي یک صفحه عمودي بر جریان مگنوهیدرودینامیک یکنواختی که به صفحه اعمال می شود را مورد بررسی قرار داد. نتایج خود را ارائه داد. ساچتی و چاندان و سینگ (Singh & Et al , 1994 : 142)یک حل دقیق براي جریان جابجایی آزاد همراه با اثر مگنتوهیدرودینامیک در شرایط شار حرارتی دیواره ثابت را مورد مطالعه قرار داد. شانکر و کیشان (Shanker & KISHAN , 1997 : 273) اثرات انتقال جرم بر جریان مگنتوهیدرودینامیک بر روي یک صفحه عمودي با دماي حرارتی متغییر دیواره و یا شار حرارتی متغییر دیواره در حالتی که صفحه به طور ناگهانی حرکت می کند را مورد بررسی قرار داد. الباشبشی (Elbashbeshy ,1997 : 515)انتقال حرارت و انتقال جرم بر روي یک صفحه عمودي با دماي متغییر سطح همراه با اثر مگنتوهیدروداینامیک را مورد بررسی و مطالعه قرار داد و نتایج خود را ارائه داد. هلمی (Helmy , 1998 : 255)جریان ناپایدار انتقال حرارت جابجایی آزاد بر روي یک صفحه متخلخل عمودي را مورد بررسی قرار داد(.(Takhar, 2003 : 304 تاخار و شمخا انتقال حرارت ناپایدار ترکیبی از یک مخروط عمودي در حال چرخش همراه با جریان مگنتو هیدروداینامیک را مورد مطالع قرار داده و نتایج خود را ارائه کرده اند. گانسن و پالانی(Ganesan & (Palani ,2004 : 184 جریان ناپایدار جابجایی آزاد بر روي یک صفحه عمودي با دماي سطح متغییر همراه با اثر مگنتوهیدروداینامیک را به صورت عددي مورد بررسی و مطالعه قرار داد و معادلات خود را به صورت عددي حل کرد و نتایج خود را ارائه داد. در این مقاله انتقال حرارت جابجایی آزاد سیالات مدل غیرنیوتنی پاورلا همراه با اثر جریان مگنتوهیدرودینامیک بر روي یک صفحه عمودي همراه با اثر مکش و دمش یکنواخت سطحی در شرایط شار دیواره ثابت و همچنین دماي دیواره ثابت مورد مطالعه قرار گرفته است.. با استفاده از پارامترهاي تشابهی مناسب معادلات مومنتوم و انرژي به بعد شده اند. این معادلات بدون بعد بدست آمده با استفاده از روش عددي دیفرانسیل محدود ضمنی کرانک-نیکلسون حل شده اند..
فرمول بندي ریاضی
جریان لایه مرزي سیال مورد نظر ما از روي یک سطح عمودي میگذرد. سطح در دماي ثابت Tw و یا شار ثابت qw بوده که از دماي محیط T بیشتر است. سرعت سطح آزاد و سرعت ورودي ( لبه حمله صفحه) صفر است .شکل (1) مدل فیزیکی و سیستم مختصاتی مساله را نشان می دهد. در این سیستم مختصاتی y در طول صفحات و در جهت جریان و x عمود بر جریان میباشد. همچنین جریان سیال آرام،غیر قابل تراکم ،پایا و دو بعدي است اثر اتلافات ویسکوز هم نادیده گرفته شده است. بنابراین معادلات با در نظر گرفتن اثر مگنتوهیدرودینامیک به شکل زیر نوشته می شود.
شکل :(1) مدل فیزیکی و سیستم مختصاتی مساله
معادله پیوستگی :
معادلات مومنتوم :
معادله انرژي :
در معادلات فوق، u و v بردار سرعت سیال در جهت x و y، چگالی سیال،T دماي سیال،t زمان، ضریب گسترش گرمایی، ویسکوزیته ظاهري سیال، g شتاب ثقلی، k ضریب هدایت گرمایی، نفوذ حرارتی سیال، ضریب هدایت الکتریکی، B0 قدرت میدان مغناطیسی می باشد. سیال غیرنیوتنی مدل پاورلا از فرمول زیر تبعیت می کند :
که در آنجا، تنش اعمالی به سیال، نرخ برش، m شاخص پایداري وn شاخص جریان می باشد. شرایط مرزي میدان سرعت به شرح زیر می باشند:
عبارت رابطه (5) بیانگر این است که سرعت در جهت y و x در ابتدا برابر صفر است . عبارت رابطه (6) نیز همان شرط عدم لغزش سیال لزج و شرط دیواره متخلخل می باشد. عبارت رابطه (8) بر اساس حل غیر لزج بدست آمده اند بدین شکل که اولی بیانگر این موضوع است که شیب تغییرات سرعت u در دور دست با شیب آن در حل غیر لزج یکسان بوده و به سمت صفر میل می کند. یعنی که اگر به حد کافی از دیواره دور شویم آنگاه سرعت u سیال لزج همان سرعت u سیال غیر لزج می شود. عبارت رابطه (7) نشان دهنده این است که تغییرات سرعت در ابتدا صفر است. شرایط مرزي میدان دما در اینجا براي دو حالت دماي دیواره معلوم و شار حرارتی دیواره معلوم در نظر گرفته شده است. این شرایط عبارتند از :
(1 حالت دماي دیواره معلوم
(2 حالت شار حرارتی دیواره معلوم
که Tw بیانگر دماي دیواره و بیانگر دماي جریان آزاد یا همان دماي سیال دور از دیواره می باشد. k همان ضریب هدایت سیال و qw شار حرارتی معلوم دیواره می باشند. با استفاده از روش هاي تشابهی کردن معادلات و با استفاده از روش سعی و خطا نهایتآ تغییر متغیرهاي زیر براي کاستن معادلات ناویر–استوکس به معادلات نیمه تشابهی بی بعد بدست آمده اند:
در معادلات فوق، U و V بردار سرعت بدون بعد سیال در جهت X و Y ، دماي بدون بعد سیال، t زمان بدون بعد ، 0
ویسکوزیته دینامیکی مرجع ، ویسکوزیته ظاهري بدون بعد سیال ، L طول صفحه ، Mn پارامتر مگنتوهیدرودینامیک ، Gr عدد گراشف ، Pr عدد پرانتل و 0 ویسکوزیته سینماتیکی مرجع سیال می باشد. تغییر متغیرهاي فوق به طور خودکار در معادله پیوستگی صدق می کنند و با قرار دادن آنها در معادلات مومنتوم روابط زیر بدست می آیند:
با توجه به شرایط مرزي میدان سرعت 5 تا 8 شرایط مرزي براي معادله (18-19) به شکل زیر خواهند بود .
که در اینجا S V 0 را به عنوان نفوذ سطحی بدون بعد صفحه در نظر می گیریم. براي حالت مکش سطحی S را مثبت و حالت دمش سطحی S را منفی در نظر می گیریم. براي تغییر معادله انرژي به شکل معادله نیمه تشابهی بدون بعد براي دو حالت دماي دیواره معلوم و شار حرارتی دیواره معلوم از تغییر متغیرهاي زیر استفاده می کنیم.. در حالت دماي دیواره معلوم فرض می کنیم متغیر جدید که بیانگر دماي بی بعد می باشد به صورت زیر باشد :
با اعمال تغییر متغیر فوق در معادله انرژي (3) معادله نیمه تشابهی زیر بدست می آید :
با توجه به شرایط مرزي میدان دما (9) تا (12) شرایط مرزي معادله (25) به صورت زیر بدست می آید:
حالت شارحرارتی دیواره معلوم براي شکل زیر را انتخاب می کنیم :
که با اعمال آن در معادله انرژي معادله زیر بدست می آید:
به طریقه مشابه شرایط مرزي معادله فوق از شرایط مرزي میدان دما((13 تا (16) به صورت زیر بدست می آید:
در معادلات فوق همان عدد پرانتل می باشد.
عدد نوسلت و تنش برشی روي سطح صفحه
(1 حالت دماي دیواره معلوم
(2 حالت شار حرارتی دیواره معلوم
(3 تنش برشی روي صفحه
روش حل مسئله
براي حل معادلات جریان جابجایی آزاد بر روي صفحه متخلخل قائم از یک سیال غیرنیوتنی مدل پاورلا در حضور جریان یکنواخت مگنتوهیدرودینامیک با استفاده از روش دیفرانسیل محدود ضمنی کرانک – نیکلسون استفاده گردیده است که ابتدا معادلات دیسکریتایز می شوند و سپس برنامه اي کامپیوتري نوشته می شود که در این برنامه دستگاه معادلات جبري بدست آمده در هر پله زمانی منجر به یک ماتریس سه قطري می گردد که باید با الگوریتم TDM (دستگاه معادلات سه قطري) حل گردند . براي بدست آوردن جواب در هر پله زمانی ، پله زمانی قبلی به عنوان حدس اول جواب پله زمانی فوق در نظر گرفته می شود ، که با تکرار جواب آن پله زمانی بدست می آید. معادله به صورت زیر دیسکریتایز می شود:
نتایج
معادلات بدون بعد بدست آمده با استفاده از روش عددي دیفرانسیل محدود ضمنی کرانک- نیکلسون حل شده اند. پروفیل هاي سرعت، دما، عددنوسلت و همچنین ضریب اصطکاك رسم شده اند. اثر پارامترهایی چون عدد پرنتل، شاخص جریان، پارامتر مگنتوهیدرودینامیک، پارامتر نرخ نفوذ سطحی سیال به صورت نمودارهاي بر روي بروي انتقال حرارت جریان جابجایی آزاد سیال غیرنیوتنی مدل پاورلا روي صفحه عمودي همراه با نفوذ سطحی سیال در شرایط دماي دیواره ثابت و همچنین شار حرارتی دیواره ثابت مورد بررسی قرار گرفته شده است. که در شکل هاي 2-24 رسم شده اند. شکل هاي (2) ، (3) و (4) نمودار پروفیل دما و سرعت را براي شاخص هاي مختلف جریان نشان می دهد که در آن هم شرایط دماي سطح ثابت و هم شار عبوري از دیواره ثابت در نظر گرفته شده است. و همچنین Pr=0.7 ، M=1.0 و نفوذ سطحی صفر می باشد. با افزایش پارامتر شاخص جریان مقدار سرعت افزوده می شود .که به این دلیل می باشد که با افزایش پارامتر شاخص جریان گرادیان سرعت افزایش می یابد و به حرکت سیال شتاب می دهد و مطابق آن توزیع سرعت به دلیل کمک کردن به شدت جذب گرماي سیال بیشتر می شود. اما با افزایش پارامتر شاخص جریان مقدار دما کاهش می یابد. که به این دلیل می باشد که با افزایش پارامتر شاخص جریان گرادیان اختلاف دما بین سطح و سیال کاهش می یابد مطابق آن توزیع دما سیال کم می شود. شکل هاي (5) ، ( (6 و (7) نمودار پروفیل دما و سرعت را براي نرخ هاي مختلف نفوذ سطحی سیال نشان می دهد که در آن هم شرایط دماي سطح ثابت و هم شار عبوري از دیواره ثابت در نظر گرفته شده است. و همچنین Pr=0.7 ، M=1.0 و n=0 می باشد. لازم به ذکر است که براي مکش سطحی مقدار (V0) منفی و براي دمش سطحی مقدار (V0) مثبت در نظر گرفته شده است. با افزایش دمش سطحی مقدار سرعت و مقدار دما افزایش می یابد. زیرا نفوذ سطحی سیال افزایش پیدا می کند و همچنین اختلاف دما بین سطح و سیال نیز افزایش پیدا می کند که باعث افزایش
