بخشی از مقاله
ﭼکیده
ﯾ حلقه » خوشترکیب٣٩« حلقه ای است که هر عضو آن را بتوان به صورتجمع از ی عنصر خودتوان و ی عضو ی ال نوشت.این مفهوم ابتدا توسط پروفسور نیلسون از دانش اه کال اری کانادا معرف شد. در این مقاله، بعض ازحلقه هایی که خاصیت خوشترکیب بودن را دارا هستند، معرف خواهیم نمود. درواقع ارتباط این مفهوم با حلقه های مناسب را بررس میکنیم.سپس نشان خواهیم داد که اگر R حلقه ای تعویض پذیر باشد آنگاه حلقه چند جملهای R[x] خوشترکیب نیست، اما اگر R حلقه ای ی دار و خوشترکیب باشد آنگاه حلقه سری های توان R x خوشترکیب است. به عبارت دیگر هدف اصل این مقاله، بررس توسیع های مهم ازحلقه های خوشترکیب است.
واژه های کلیدی: خوشترکیب، یال، خودتوان.
١مقدمه
در سال ١٩٧٧، پروفسور نی لسون ]۴[ مفهوم حلقه خوشترکیب را عنوان کردند و خواص اساس این مفهوم را معرف نمودند. مفهوم خوشترکیب شاید در اولین نظر بسیار ابتدایی جلوه کند اما با ارتباط که این حلقه با حلقه های دی ر ایجاد م کند اهمیت آن بیشتر به چشم م خورد تا جایی که وجود این مفهوم در سال های اخیر باعث ارائه مقاله هایی شد که نتایج جالبی را در بر داشته است. هان و نی لسون ]٣[ عنوان کردند که حلقه های موضع ٠۴ خوشترکیب هستند؛ و کامیلو و یو ]١[ ثابت کردند که حلقه های شبهتمام ١۴ خوشترکیب هستند. تصویر همریخت ازی حلقه خوشترکیب، خوشترکیب است و این در مقاله ]١[، کامیلو و یو آن را عنوان نموده اند. ما نشان م دهیم که حلقه های خوشترکیب، مناسب ٢۴ هستند. و سع م کنیم به سوالات زیر پاسخ دهیم.
١ - آیا هر حلقه ی مناسب، خوشترکیب است؟ چه شرایط باید، حلقه مناسب داشته باشد تا آن حلقه خوشترکیب شود.
٢ - آیا حلقه اعداد صحیح، م تواند مناسب باشد؟
٣ - اگر R حلقه ای تعویض پذیر باشد آیا حلقه چند جملهای ٣۴ R[x] خوشترکیب است؟ اگر F ی میدان باشد، چطور؟
۴ - اگر R حلقه ای خوشترکیب باشد آیا م توان نشان داد که حلقه سریهای توان ۴۴KR x خوشترکیب است. عکس آن چطور؟
تعریف ١ . ١. ی عضو x از حلقه ی دار R را خوشترکیب گوییم هرگاه بتوان آن را به صورت جمعاز ی عنصر ی ال و یعضو خود توان نوشت.
تعریف ١. ٢. حلقه R را خوشترکیب گوییم هرگاه هر عضو آن خوشترکیب باشد.
گزاره ١. ١. فرض کنید R ی حلقه ی دار و x 2 R ی عنصر دلخواه باشد در این صورت شرایط زیر معادلند ] - ٣. - [
تعریف ١. ٣. حلقه R را مناسب نامیم هرگاه هر عضو آن در هری از شرایط گزاره ی ١.١ صدق کند. ٢ حلقه مناسب، حلقه چند جمله ای، حلقه سریهای توان و مفهوم خوش ترکیبی گزاره ٢. ١. هر حلقه خوشترکیب، مناسب است.
برهان. فرض کنید R یحلقه خوشترکیب و x عضو دلخواه از R باشد. پس x = e + u به طوری که e عنصر خودتوان در حلقه ی R و u در حلقه ی R ی ال است.
برای اثبات مناسب بودن حلقه R، کاف است نشان دهیم عنصر خودتوان f متعلق به R موجود است به طوری که داریم.
مثال ٢ . ١. میدانها و حلقه های موضع ، حلقه های مناسب هستند.حال این سوال مطرح میشود که چه موقع حلقه های مناسب، خوشترکیب هستند. مادر گزاره زیر نشان خواهیم داد که اگر خودتوانهای حلقه ی مناسب R مرکزی باشند آنگاه حلقهی R خوشترکیب است. گزاره ٢. ٢. ی حلقه R با خودتوانهای مرکزی، خوشترکیب است اگر وتنها اگر آن حلقه مناسب باشد.
