بخشی از مقاله
خلاصه
ابرگرافها نوع خاصی از گرافها هستند که از یک نقطه نظر حالت جامعتری نسبت به یک گراف معمولی دارند. در این مقاله حاصلضربهای کارتزین، کارتزین قوی و مستقیم ابرگرافها بررسی شده و با در نظر گرفتن تابعی تحت عنوان تابع همسایگی به بررسی ماتریسهای مجاورت و لاپلاسین ابرگرافهای حاصلضرب پرداخته شده و کاربرد آنها در مکانیک سازه ها و بویژه تحلیل سیستمهای دینامیکی مورد بررسی قرار میگیرد.
در این راستا با مطالعه بیشتر حاصلضربِ جدیدی تحت عنوان حاصلضرب دینامیکی گرافها و ابرگرافها رهیافتهای متفاوت جهت تحلیل سیستمهای دینامیکی مختلف مورد پژوهش قرار میگیرد. تعریف این نوع حاصلضرب دینامیکی به ما این امکان را میدهد که بتوانیم یک یا چند مشخصه یک سیستم مکانیکی را بصورت متغیر با زمان و یا حتی مکان در نظر بگیریم که میتواند راههای جدیدی را بروی تحلیل ترکیباتی سیستمهای مکانیکی باز نماید.
کلمات کلیدی اَبرگرافها،: حاصل ضرب گرافها، ماتریس لاپلاسین، مکانیک سازه ها، حاصلضرب دینامیکی
مقدمه
یک اَبَرگراف حالت عمومیت یافته یک گراف است که در آن یالها می توانند هر تعداد از گره ها را شامل شوندیک. اَبَرگراف بصورت H V ,E نشان داده میشود که V نشان دهنده رئوس و E بیانگر یالهای آن هستند. هر یالی شامل حداقل یک راس خواهد بوداَبَرگرافها. از یک منظر می توانند به دوونوعغیرساده2 تقسیم شوند که اَبَرگراف ساده اَبَرگرافیست که در آن هیچ یالی به تمامی شامل یالی دیگر در آن اَبَرگراف نباشد.
نمونه. ای از ابَرگراف ساده با 9 راس و 6 یال اَبَرگرافها به عنوان عمومیت یافته گرافها می توانند بسیاری از قضایای حاکم بر گرافها را در حالت عمومیت یافته به خود بپذیرند و از طرفی دیگر برخی از کاربردهایی که برای گرافها میتوان متصور شد در خصوص اَبَرگرافها نیز مصداق خواهند داشتبه .عنوان مثال تئوری اَبَرگرافها میتواند به عنوان ابزاری بسیار مفید در حل مسایل بهینه یابی عددی زمانیکه ماتریسها دارای فرمهای کانونیکال خاصی هستند مورد استفاده قرار گیرد.
بهینه یابی استفاده از تئوری اَبَرگرافها منجر به عمومیت یافتن الگوریتمهای بهینه یابی مورد استفاده می گردد1]عمومی.[ بودن اَبَرگرافها نسبت به گرافها همان طوری که قبلا عنوان شد می تواند به عنوان یک مزیت قابل توجه مد نظر قرار گیرد. علی کاوه به کاربرد گرافها در مکانیک سازه ها و نیز تحلیل بهینه سازه ها از جهات مختلف به تفصیل پرداخته است حاصلضربو اَبَرگرافها با توجه به کاربرد آن در مکانیک سازه ها توسط کاوه و علی نژاد مورد بررسی قرار گرفته است.
مجاورت یا همسایگی در اَبَرگرافها
در یک اَبَرگراف می توان تعاریف مختلفی از همسایگی گره ها بدست داد فلذا به ازای هر تعریف، گرافی متناظر بدست خواهد آمد. این نوع تعریف از همسایگی در یک اَبَرگراف می تواند به ما کمک کند که بتوانیم گرافهای دینامیکی ای را تعریف کنیم که با گذر زمان و یا هر پارامتر دیگری می توانند تغییر کنند و در حل مسایل دینامیکی به کار آیند. مثلا در شکل - 2اَبَرگراف - H به گرافهای متناظری مبدل شده است که با شماره گذاری گره ها و تعریف نحوه همسایگی آنها این گرافها ایجاد شده اند.یک اَبَرگراف به گرافهای نظیر با تعریف همسایگیهای مختلف دقت شود کهر تعریفیه از همسایگی را که در نظر بگیریم لازم است گراف بدست آمده از یک یال اَبَرگراف، گرافی متصل1 باشد.
حاصلضرب اَبَرگرافها
مفهوم حاصلضرب گرافها که بر روی گرافها تعریف می شود را می توان به اَبَرگرافها تعمیم داد و بدین ترتیب به اَبَرگرافهای حاصلضربیِ جدیدی دست یافت که بسیاری از خواص زیراَبَرگرافهایش را در اثنای یک سری فرمهای کانونیکال در بر میگیرد. در اینجا فقط حاصلضربهای کارتزین، کارتزین قوی و مستقیم را مورد بررسی قرار میدهیم و این در حالیست که می توان بسیاری دیگر از حاصلضربهای قابل تعریف را مشابه گرافها روی اَبَرگرافها اعمال کرد.
بر اساس این تعریف دو گره در اَبَرگراف حاصلضرب با هم مجاور خواهند بود هرگاه شرایط تعریف شده برقرار باشد و در اینجا نیز همانطوری که مشخص است مجاورت و یا عدم مجاورت بستگی به ماتریس مجاورت زیراَبَرگرافها خواهد داشت. در ادامه نمونه هایی از این حاصلضرب را مشاهده می کنید. فرض کنیداَبَرگرافهای G و H متناظر با گرافهای مسیر و سیکل باشنداز. این به بعد جهت سادگی کار اَبَرگرافهای مسیر و اَبَرگرافهای سیکل را به فرض اینکه ابرگراف مسیر G دارای 7 راس و ابرگراف سیکل H دارای 14 راس باشند به ترتیب با H .P7 و H .C14 نشان خواهیم داد.
