بخشی از مقاله
چکیده
ویژگی های Cr - X - ؛ حلقهی نگاشتهای Rcl بالاپیوسته ی حقیق مقدار روی فضای توپولوژی X، مورد مطالعه قرار م گیرد. رفتار نگاشتهای Rcl بالاپیوسته روی شبه مؤلفه های همبندی مورد بررسی قرار میگیرد. همچنین مشاهده میشود که برای فضای توپولوژی X، فضای فراهاسدورف مانندY وجوددارد.
واژه های کلیدی: نگاشت Rcl بالاپیوسته، مجموعهی rcl باز، Rcl فضا.
١مقدمه
مجموعهی A در فضای توپولوژی X را ی مجموعهی cl اجتماع از مجموعه های بستباز باشد. متمم ی مجموعهی باز گوییم، اگر به صورت cl باز را ی مجموعهیcl بسته م نامیم. در واقع A ی مجموعهی cl بسته است، هرگاه به صورت اشتراک ازمجموعه های بستباز باشد. میگوییم مجموعه ی باز U در فضای توپولوژی X ی مجموعهیrcl باز است، اگر برای هر x 2 U، مجموعهی cl بستهی Cx شامل x موجود باشد کهCx _ U؛ یعن ، U به صورت اجتماع از مجموعههای cl بسته باشد. فضایی که هر ۶۴زیرمجموعه ی آن rcl باز باشد، Rcl فضا نامیده میشود.هر فضای صفر‐بعدی ی Rcl فضاست، اما مثال ۳۱۱ در ]۴[، نمونه ای از ی Rclفضاست که صفر‐بعدی نیست.
برای مجموعهی A در فضای توپولوژی X، مجموعه ی شامل تمام نقاط مانندx 2 A که ی مجموعهی rclباز شامل x و مشمول A موجود باشد را با intrA نشان میدهیم. همچنین مجموعه ی شامل تمام نقاط مانند x 2 X که هر مجموعهی rcl باز شامل x با A اشتراک داشته باشد با clrA نشان داده میشود.نگاشت Rcl بالاپیوسته ]۵[ برای فضاهای توپولوژی X و Y، نگاشت Yf : X ! ی
نامیده میشود، اگر برای هر x 2 X و هر مجموعه ی باز V شامل f - x - ، مجموعهی rcl باز U شامل x موجود باشد که . f - U - _V نگاشت دوسویی Y ϕ : X! را ی Rcl همسانریخت ]۵[ گوییم، اگر ϕ و ۱ϕ دو نگاشت Rcl بالاپیوسته باشند. اگر چنین نگاشت از X به روی موجود باشد، میگوییم ودو فضایclهمسانریخت اند و مینویسیم r .
حلقهی نگاشت های پیوسته ی حقیق مقدار روی فضای توپولوژی X را با C - X - و مجموعهی تمام نگاشتهای Rcl بالاپیوستهی حقیق مقدار روی X را با Cr - X - نشان میدهیم. به راحت میتوان دید که Cr - X - ی حلقه و در واقع زیرحلقه ای از C - X - است. اگر f 2 C - X - ، آنگاه مجموعه ی صفرهای f را صفر‐مجموعهی f نامیده و با - Z - f نشان میدهیم.همچنین - X n Z - f متمم صفر‐مجموعهی f نام دارد و با - Coz - f نشان داده میشود.مجموعه ی تمام صفر‐مجموعههای X با Z - X - نمایش داده میشود. همچنین مجموعه ی تمام اعضایی از Z - X - مانند - Z - f که f 2 Cr - X - را با Zr - X - نشان م دهیم. هرصفر‐مجموعه در Zr - X - ی مجموعهی rcl بسته است، اما مثال N۴ در ]٢[ مجموعهیrcl بسته ای است که ی صفر‐مجموعه نم باشد.گزاره ١. ١. برای فضای توپولوژی X، مجموعهی Zr - X - تحت اشتراک شمارا بسته است.
٢ نتایج اصل
میدانیم که فضای توپولوژی X ی فضای تیخونف است اگر و تنها اگر Z - X - پایه ای برای زیرمجموعه های بستهی X باشد. حال با استفاده از این مطلب، گزاره های زیر قابل اثبات است.
گزاره ٢. ١. اگر X ی Rcl فضا باشد، آنگاه C - X - = Cr - X - و در صورت که X ی فضای تیخونف باشد، عکس آن نیز برقرار است.مؤلفه ی همبندی ی نقطه مانند x در فضای توپولوژی X، اجتماع تمام زیرمجموعههای همبند X شامل x و شبه مؤلفه ی همبندی آن نقطه، برابر است با اشتراک تمام مجموعههای بستباز شامل .x مؤلفه ی همبندی و شبه مؤلفه ی همبندی x را به ترتیب با Cx و Qx نشان میدهیم. بدیه است که Cx _ Qx، اما مثال ۶_۱_۴۲ در ]١[ نشان م دهد که عکس این مطلب برقرار نمیباشد.
ناهمبند نامیده میشود، اگر تنها مؤلفههای همبندی آن فضای توپولوژی Xی فضای کاملافضا، مجموعه های تک نقطه ای باشند. گزاره ی زیر بیانگر رفتار نگاشتهای Rcl بالاپیوسته روی شبه مؤلفه های همبندی است. گزاره ٢. ٢. فرض کنیم X و Y دو فضای توپولوژی و Y f : X! ی نگاشت Rcl بالاپیوسته باشد. در این صورت گزاره های زیر برقرارند. فضای توپولوژی X یفضای فراهاسدورف ]٣[ نامیده میشود، اگربرای هر x; y 2 X که x ̸= y، مجموعه ی بستباز U در X موجود باشد که x 2 U و .y =2 U حال با استفاده از گزاره ی ٢. ٢، قضیه ی اصل این بخش اثبات میشود.
قضیه ٢. ١. برای هر فضای توپولوژی X فضای فراهاسدورف Xr وجود دارد.
نتیجه ٢. ١. اگرموضعاً همبند باشد، آنگاه که در آن r فضای گسسته است.
گزاره ٢. ٣. برای دو فضای توپولوژی و ، اگر r ، آنگاه r _ r .
گزاره ٢. ۴. فرض کنیم X ی فضای توپولوژی باشد و . f ; g 2 Cr - X - در این صورت گزاره های زیر برقرارند.
