بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله ابتدا با شروع از معادله ویژه مقداری هامیلتونی برای یک سیستم مقید شش جسمی و حل آن به روش معادلات انتگرالی شوئینگر، موسوم به تکنیک یاکوبوفسکی کار را آغاز نموده ایم. نتیجه فرمول بندی، دو معادله جفت شده بر اساس دو مؤلفه مستقل یاکوبوفسکی است که بیانگر برهم کنش موثر ذره چهار نوکلئونی آلفا به همراه دو نوکلئو سُست مقید در اطراف این ذره می باشد. به منظور رسیدن به انرژی بستگی سیستم مقید هلیوم شش، ما معادلات جفت شده را در فضای سه بُعدی تکانه های مرکز جرم، موسوم به تکانه های ژاکوبی تصویر و فرم انتگرالی معادلات جفت شده را ارزیابی نموده ایم. در نهایت با پیاده سازی حل عددی معادله مقداریویژه برای کِرنِل هامیلتونی شِش جسمی، به نتایج انرژی بستگی سیستم مقید شش نوکلئونی هلیوم شش رسیده ایم. با توجه به توانایی پتانسیل های مورد استفاده در محاسبات، ویژه مقادیر انرژی به دست آمده نتایج قابل قبولی در مقایسه با نتایج تکنیک های دیگر به همراه دارد.
مقدمه
تاکنون فرمول بندی و محاسبات مربوط به تابع موج و انرژی بستگی سیستم های چند جسمی، چه به روش سنتی امواج پاره ای و چه به روشمُدرن دیدگاه سه بعدی، با حل معادلات انتگرالی به روش یاکوبوفسکی [1] حداکثر برای سیستم های مقید چهار جسمی پیاده سازی شده است و سیستم های چند جسمی تعداد ذرات بالاتر به دلیل پیچیدگی در پیاده سازی حل معادلات و در نتیجه حجم بالای محاسبات کامپیوتری، تاکنون تحقق نیافته بود. در این میان بررسی سیستم های مقید شش جسمی همانند 6He به دلیل حذف تعدادی از مؤلفه های یاکوبوفسکی تابع موج، معادلات جفت شده مربوط به آنها که ساده تر می شود، توانست مورد توجه کار ما قرار گیرد. این مقاله حاصل کار پژوهشی و مطالعه بر روی سیستم مقید شش جسمی6He، به روش حل معادلات انتگرالی به روش یاکوبوفسکی می باشد. سیستم مقید شش نوکلئونی همانطور که در شکل - 1 - نشان داده شده است شامل دو نوترون می باشد که حول هسته آلفا می چرخند.
در سال های اخیر روش های مختلفی در سرتاسر دنیا به مطالعهو حل - حالت های مقیّد و پراکندگی - سیستم های چند جسمی، بخصوص سیستم مورد توجه شش جسمی هلیوم در واکاوی نوترون آزاد در نظریه مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی، به دلیل پیکربندی "هاله" ای شکل آن پرداخته اند، از قبیل تئوری تابع گرین[2] - GFMC - 1روش، تصادفی وَردِشی ٍ - - SVM [3] و هماهنگ های فوق کروی[4] - HH - 3 دانست. هدف ما در این مقاله فرمول بندی جامع معادلات انتگرالی سیستم مقید شش جسمی به روش یاکوبوفسکی و حل عددی معادله ویژه مقداری هامیلتونی مطابق با ویژگی های سیستم مقید هسته ای هلیوم شش در پایه فضای تکانه و دیدگاهسه بُعدی می باشد.
که در آن جمله اول هامیلتونی آزاد سیستم شش جسمی و جمله های بعدی سهم پتاسیل نیروی های جفتی است: به وضوح، به طور جامع سهم پتانسیل نیروی جفتی برای سیستم شش جسمی دارای 15 جمله به صورت رابطه - 2 - می باشد. با وارد نمودن هامیلتونی رابطه - 1 - در معادله ویژه مقداری و استفاده از روش لیپمن- شوئینگرُ، تابع موج کل سیستم شش جسمی، به صورت زیر بیان می شود: که در آن عملگر انتشارگر آزاد سیستم مقید شش جسمی با ویژه مقدار می باشد. این ویژه مقدار در سیستم های مقید اتمی و هسته ای، نقش انرژی بستگی را ایفا می کند که جزء مهم ترین کمیت های قابل محاسبه و مورد علاقه در سیستم های چند جسمی به شمار می آید. تابع موج کل سیستم نیز مشابه جملات پتانسیل جفتی، مجموع تک تکِ تابع موج زیر سیستم دوجسمی به صورت زیر خواهد بود:
با جایگذاری رابطه - 4 - در سمت چپ رابطه - 3 - داریم: در ادامه با فاکتور گیری از جمله همسان در سمت راست رابطه - 5 - و انتقال آن به سمت دیگر و استفاده از بسط دو جمله ای ، مؤلفه یاکوبوفسکی تابع موج زیر سیستم دو جسمی، به صورت زیر بازنویسی می شود: که در آن تابع پاد- دلتای دیراک به شکل عکس تابع دلتا رفتار می کند، . ̅ عملگر گذار دو جسمی از معادله لیپمن- شوئینگر پیروی می کند: در ادامه براساس مرجع [5]پیاده سازیِ فرمول بندی سیستم مقید شش جسمی6He، به دو معادله مستقل بر اساس دو مؤلفه تابع موج یعنی و نتیجه می شود که در معادله کوپل شده زیر صدق می کند:[3] درگام بَعد، با خاموش نمودن اعداد کوانتومیاسپین و آیزواسپین ذرّات - گذر از اصل طرد پائولی - ، هر جایگشتی از ذرات، دیگر با علامت منفی همراه نخواهد بود. بنابراین معادلات جفت شده رابطه - 8 - برای یک سیستم متقارن به صورت زیر بازنویسی می شود:
نمایش انتگرالی معادلات
حالت های پایه فضای تکانه ژاکوبی متناظر با مؤلفه های تابع موج و را بترتیب به صورت زیر تعریف می کنیم :[5] که این پایه ها کامل و بهنجارند. با وارد نمودن تعداد مناسبی از عملگرهای همانی مربوط به حالت های پایه فوق در معادلات رابطه - 9 - و استفاده از پتانسیل های مدل دوجسمی که درگام بعد معرفی می شوند به فرم انتگرالی آماده برای حل عددی به شکل زیر دست می یابیم.
پیاده سازی تکنیک محاسبات
برای حل عددی معادلات انتگرالی جفت شده - 11 - و - 13 - ابتدا با استفاده از روش گاوس- لژاندرِ فضا را گسسته نموده تا این معادلات انتگرالی به دو معادله ویژه مقداری جفت شده منجر شوند. نمایش شماتیک این معادله ویژه مقداری بشکل زیر است: در نهایت با استفاده از روش های عددی تکرار و الگوریتم متعامد سازی تکنیک لنگسوزّ و با شروع از توابع موج گأوسی شکل اولیه دلخواه به حل عددی این معادلات می پردازیم. به منظور محاسبه دقیق انرژی بستگی فیزیکی سیستم که متناظر با ویژه مقدار است، می توان با دادن سه ویا چهار انرژی در همسایگی انرژی بستگی مقیّد سیستم های مورد بررسی، ویژه مقادیر متناظر با این انرژی ها را به دست آورد. سپس با درون یابی، انرژی بستگی دقیق سیستم را محاسبه نمود.
نتایج محاسبات
به منظور مقایسه نتایج محاسبات با نتایج تکنیک های دیگر،بترتیب از پتانسیل های مدل دو جسمی زیر بهره برده ایم:
