مقاله در مورد مختصــات قطبــی

word قابل ویرایش
28 صفحه
4700 تومان

مختصــات قطبــی

تعریف
مبداء O و یک نیم خط مانند OL را درنظر می‌گیریم و آن را محور قطبی و نقطه O را مبداء یا قطب می‌نامیم. این صفحه را، صفحه قطبی می‌نامیم.

به فرض P نقطه‌ای در صفحه قطبی باشد. فاصله جهت‌دار O از P را با r نشان می‌دهیم که r یک عدد حقیقی است، r را شعاع قطبی می‌نامیم و O زاویه جهت‌دار از OL تا OP می‌باشد که اگر نیم‌خط OL نسبت به OP در جهت خلاف عقربه‌های ساعت دوران کند، آن را جهت مثبت (جهت مثلثاتی) و در خلاف آن جهت منفی نامیده می‌شود. در این صورت نظیر نقطه P زوج مرتب (r, G) وجود دارد که آن را مختصات قطبی نقطه P می‌نامند و می‌نویسند P(r, G).

واضح است که زوج‌های (r, 2nπθ), (r, G) یک نقطه را در صفحه قطبی مشخص می‌کنند. واضح است که یک نقطه در مختصات قطبی بی‌نهایت نمایش دارد و زاویه متناظر با یک نقطه مفروض یکتا نیست.
P(r, G) = (r, 2nπθ)

نکته: برای مشخص کردن نقطه متناظر با زوج (r, G)، ابتدا زاویه θ را مشخص می‌کنیم و از O نیم‌خطی رسم می‌کنیم. اگر r>0، آنگاه در امتداد این نیم‌خط از O به اندازه‌ جدا می‌کنیم، ولی اگر r<0، آنگاه در امتداد این نیم خط از O به اندازه |r| جدا می‌کنیم.

مثال: نقاط را مشخص کنید.

نکته: نقاط بر هم منطبقند.

تمرین: نقاط زبر را در صفحه قطبی مشخص کنید.

مثال: نقاط را درنظر بگیرید. جای نقطه را در صفحه مشخص کنید و سپس همه مخصتات قطبی این نقاط را مشخص کنید.

 

Shekl——————

رابطه بین مختصات قطبی و دکارتی
به فرض (r, θ) مختصات نقطه P در صفحه قطبی و (x,y) مختصات P در صفحه دکارتی باشد. با توجه به شکل داریم:

مثال: مختصات دکارتی نقطه را مشخص کنید.

مثال: مختصات قطبی نقطه را بیابید.
حل. نقطه P در ناحیه دوم قرار دارد. بنابراین:

نکته:‌ روش دیگر برای مشخص کردن مختصات قطبی :

الف) اگر x>0 آنگاه
ب) اگر x<0 آنگاه
مثال: مختصات قطبی را مشخص کنید.
حل.

مثال: مختصات قطبی نقطه M(-1,1) را مشخص کنید.

مثال: مختصات قطبی نقطه M(1,-1) را بیابید.

تمرین: مختصات قائم نقاط را مشخص کنید.
تمرین: تمام نمایش‌های نقطه‌های زیر را در مختصات قطبی نشان دهید.

تمرین: معادلات زیر را به صورت قطبی بنویسید.

r=0 روی r=sinθ قرار دارد. بنابراین معادله قطبی برابر است با:

چون r=0 همان قطب است که روی نمودار r2=cos2θ قرار دارد، بنابراین معادله قطبی به صورت r2=cos2θ است.

تمرین: معادلات قطبی را به صورت دکارتی بنوبسید.

نمودار معادلات قطبی
منظور از نمودار معادله قطبی یا مجموعه مختصات قطبی یعنی مجموعه تمام نقاط با حداقل یک جفت مختصات که در معادله صدق می‌کند.
رسم نمودار در مختصات قطبی
اگر یا معادله قطبی یک منحنی باشد، برای رسم آن چنین عمل می‌کنیم.
۱٫ بررسی تقارن‌های منحنی
۲٫ بررسی اینکه منحنی از قطب می‌گذرد یا نه؟ (r=0)
3. اگر منحنی از قطب می‌گذرد معادلات خطوط‌های بر منحنی در قطب را مشخص می‌کنیم.
۴٫ تعیین نقاطی که دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی است.
مثال: نمودار معادلات زیر را رسم کنید.

پ

 

نکته:

نمودارهای معادلات قطبی زیر را رسم کنید.

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 0 1 1.4 1.7 2 1.7 1.4 1 0 -1 -1.4 -1.7 -2 -1.7 -1.4 -1 0

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 0 3.4 4 3.4 0 -3.4 -4 -3.4 0 3.4 4 3.4 0 -3.4 -4 -3.4 0

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 2 0 -1.4 -2 0 2 1.4 0 -2 0 1.4 2 0 -2 -1.4 0 2

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 0 0.3 0.6 1 2 3 3.4 3.7 4 3.7 3.4 3 2 1 0.6 0.3 0

 

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 4 3.7 3.4 3 2 1 0.6 0.3 0 0.3 0.3 1 2 3 3.4 3.7 4

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 2 1 0.6 0.3 0 0.3 0.6 1 2 3 3.4 3.7 4 3.7 3.4 3 2

θ ۰ ۳۰ ۴۵ ۶۰ ۹۰ ۱۲۰ ۱۳۵ ۱۵۰ ۱۸۰ ۲۱۰ ۲۲۵ ۲۴۰ ۲۷۰ ۳۰۰ ۳۱۵ ۳۳۰ ۳۶۰
r 2 3 3.4 3.7 4 3.7 3.4 3 2 1 0.6 0.3 0 0.3 0.6 1 2

 

به کمک تقارن می‌توانیم نمودار معادلات قطبی را به آسانی رسم نمود.

تمرین
نمودار منحنی‌های زیر را رسم کنید.
۱٫

حل.

لذا منحنی نسبت به قطب تقارن دارد.

پس محور x، محور تقارن منحنی است. در نتیجه حول نسبت به قطب و محور x تقارن دارد. پس نسبت به محور yها تقارن دارد. بنابراین نمودار را در فاصله رسم می‌کنیم و قرینه آن را نسبت به محور xها و yها بدست می‌آوریم.
θ
r

معادله خط مماس در قطب
بیشترین مقدار آن زمانی است که ، یعنی . پس و تمرین مقدار آن وقتی یعنی .

۲٫

پس محور yها محور تقارن است. لذا منحنی را در فاصله رسم کرده و قرینه آن را نسبت به محور yها بدست می‌آوریم.
θ
r

 

منحنی از قطب نمی‌گذرد. بیشترین مقدار r —– است که و کمترین آن وقتی است که

۳٫

معادله تغییر نمی‌کند. بنابراین محور yها، محور تقارن است. لذا منحنی را در فاصله رسم می‌کنیم و قرینه آنرا نسبت به محور yها پیدا می‌کنیم.
θ
r

۴٫

با تبدیل‌های زیر معادله تغییر نمی‌کند و محور xها محور تقارن است. بالطبع نسبت به محور yها نیز تقارن دارد. پس نمودار در فاصله رسم می‌کنیم.

θ
r

۵٫

معادله تغییر نمی‌کند. بنابراین محور قطبی محور تقارن است. نمودار را در فاصله رسم می‌کنیم. اگر ، داریم . با درنظر گرفتن داریم: . نقطه است.

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
wordقابل ویرایش - قیمت 4700 تومان در 28 صفحه
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد