بخشی از مقاله
خلاصه
سطوحی که شیبِ ثابتی دارند، در واقع سطحِ جوابِ یک معادله دیفرانسیلِ غیرخطی هستند که به معادله اَیکونال - Eikonal - معروف است. این معادله دیفرانسیلِ مشتقات جزئی، در بسیاري از پدیدهها در فیزیک و تکنولوژي مطرح می شود. در مهندسی عمران نیز این معادله کاربردهاي زیادي دارد. از آن جمله میتوان به تعیینِ ظرفیت مقاطع توپر در پدیدة پیچشِ پلاستیک و همچنین تعیین حجم مصالح دانهايِ ریخته شده تحت زاویه قرار اشاره نمود.
براي حل معادله حاکمه مربوطه، تا کنون روشهایی ارائه شده است؛ اما در این مقاله، براساس خصوصیاتِ هندسیِ سطوحِ جواب، روشی جدید براي حل نومریک معادله دیفرانسیل حاکمه ارائه شده است. پس از توضیح این روشِ عددي، به مزایاي آن نسبت به روشهاي قبلی اشاره شده و با حل مثالهایی نشان داده شده که روش مذکور در تعیینِ ظرفیت پلاستیک مقاطع در پدیده پیچش، و همچنین در تعیین حجم و سطح مصالحِ دانهايِ ریخته شده تحت زاویه قرار و مسائل مشابه آن، کارآیی خوبی دارد.
.1 مقدمه
بر پا کردن سطوحی با شیب ثابت روي یک منحنیِ پیرامونیِ بسته، از مسائل مورد علاقه در فیزیک و مهندسی است. برپایی چنین سطحی که گرادیان آن ثابت است در مهندسی عمران نیز کاربرد متعدد دارد. مثلاً این سطح میتواند به عنوان بامِ سالنهاي بزرگ، مورد استفاده قرار گیرد. از موارد دیگرِ تشکیل این سطوح، محل دپوي مصالح دانهاي است. در چنین مواردي که اینگونه مصالح تحت زاویه قرار انباشته میشوند، تعیین حجم این مصالح اهمیت ویژه دارد.
در تعیین ظرفیت مقاطع نامنظمِ توپر در پدیدة پیچش در حالت پلاستیک نیز تشکیل چنین سطحی روي مقطع مورد نظر و تعیین حجمِ زیرِ آن، موضوعیت پیدا میکند؛ چراکه حجم مربوطه، با ظرفیت پلاستیکی مقطع در پیچش متناسب است. در مواردي که منحنی پیرامونی ساده و تراز است، هندسه چنین سطحی ساده خواهد بود. اما در شرایطی که منحنی پیرامونی پیچیده و غیرتخت است، سطح مذکور پیچیدهتر میشود؛ به طوري که برپایی آن محتاج استفاده از روشهاي نومریک است. روشهاي عدديِ دیگري نیز براي این مسئله ارائه شدهاند. از جمله این روشها، Level Set [1-3] Method ، [2,3] Fast Marching Method و [4,5] Ordered Upwind Method هستند.
این روشها همگی بر این اساس استوارند که سطح مذکور را از طریق یافتن مجموعهاي از خطوط ترازِ آن مشخص سازند. به همین دلیل، کارآیی آنها در تعیین مساحت سطح مربوطه و حجمِ زیر آن کم است. از نقطه نظر محاسباتی نیز این روشها محتاج شبکهاي هستند که مبناي انجام محاسبات قرار گیرد. در کلیه روشهاي مذکور منحنی پیرامونی باید تراز باشد. در حالاتی که منحنی پیرامونی تراز نیست، اصولاً این روشها قابل اعمال نیستند. در این مقاله، روش عددي جدیدي براي برپایی چنین سطحی ارائه شده است.
منحنی پیرامونی در این روش میتواند تراز نباشد. براي انجام محاسبات نیز احتیاجی به وجود شبکه نیست. بر خلاف روشهاي دیگر، در این روش سطح مذکور از طریق مجموعه خطوط بزرگترین شیبِ آن تعیین میگرددَ،نه خطوط ترازِ آن. به همین دلیل امکان محاسبه دقیق مساحت این سطح و حجمِ زیر آن به راحتی فراهم میگردد. محاسبه این دو کمیت در بعضی مسائل اهمیت ویژه دارد. مثلاً مساحت سطح مذکور در مسئله پوشش بام، میزان مصالح مورد نیاز براي پوشش را نشان میدهد. حجمِ زیر سطح نیز در مسائل پیچش، با ظرفیت پلاستیک مقطع متناسب است. بنابراین استفاده از روش ارائه شده در این نوع مسائل بر روشهاي دیگر امتیاز دارد. از آنجا که این روشِ عددي بر پایه ملاحظات هندسیِ این سطوح استوار شده است، ابتدا به شرح مختصرِ این خصوصیات پرداخته میشود.
.2 خصوصیات هندسی سطوحِ با شیب ثابت
در شکل 1 منحنی پیرامونی C و دو قطعه از آن در طرفین، به نامهاي C1 و C2 نشان داده شدهاند. اگر P1 و P2 دو نقطه از این منحنیها و بهطوري باشند که خطوط بزرگترین شیبِ مارِ بر آنها در راسِ V به هم برخورد کنند، این سه نقطه روي سطح مورد نظر خواهند بود. خطوط VP1 و VP2 نیز دو خط مشخصه این سطح میباشند. اگر P2 بر روي C2 حرکت کند و هر بار نقاط P1 و ِV متناظر با محل جدید آن پیدا شود، مجموعه سه عضو مرتبِ - P1, V, P2 - ، سطح مورد نظر را بر منحنی پیرامونیِ C ، برپا میسازند. این سطح به صورت کوهی میماند که شیب آن ثابت است و مکان هندسیِ نقطه V ، خطالرّأس آن را بوجود میآورد.
.3 روش نومریک
در بخش گذشته روشن شد که سطح مورد نظر، در واقع مکان هندسی خطوط VP1 و VP2 است. روشهاي گوناگونی میتواند براي بدست آوردن این سطح ارائه شود. روشی که در این مقاله ارائه شده بر اساس خصوصیات هندسی ذکر شده استوار است. در این روش ابتدا تعدادي نقاطP2 روي شاخه C2 از منحنی پیرامونی در نظر گرفته میشود - شکل . - 2-b سپس براي هر کدام از آنها نقطه مزدوجِ آن یعنی P1 بدست میآید.
براي این منظور یک بیضی که نسبت اقطار آن - - و امتداد قطرَاطولش موازي با خط بزرگترین شیبِ صفحه منحنیِ پیرامونی است بهطوري در نظر میگیریم که در P2 بر منحنی پیرامونی مماس شده باشد - شکل . - 2-a سپس اندازه آن را به طوري تغییر میدهیم که همواره نسبت قطرها و امتداد قطر بزرگتر ثابت بماند. این اندازه تا آنجا تغییر داده میشود که بیضی حداقل در یک نقطه دیگر مانند P1 با شاخه C1 مماس شود.
