بخشی از مقاله
این مقاله داری فرمول های زیادی میباشد
چکيده
در اين مقاله ، مولفه هاي سرعت ، ضريب فشار، ضرائب برا، پسا و همچنين تعيين زاويه واماندگي بر روي انواع ايرفويل NACA بصورت عددي با استفاده از نگاشت همديس بدست مي آيند. يکي از مهمترين قسمتها در روش حل عددي جريان سيال ، توليد شبکه محاسباتي است کـه در کار حاضر از طريق نگاشت همديس به انجام رسيده است . روش نگاشت همديس مبتني بر انتگرال گيري عددي از تبديل شـوارتز-کريـستوفل مي باشد. از مزاياي اين روش مي توان به سادگي و دقت زياد آن اشاره کرد. معادلات جريان بصورت دو بعدي و تراکم پذير با اسـتفاده از مـدل اغتشاش ε استاندارد بر مبناي روش حجم محدود حل مي شوند. مطابقت نزديک بين پيش بيني هاي روش حاضر و نتايج تجربي نـشان مي دهد که اين روش در مورد تمام جريانهاي دو بعدي با هندسه هاي متفاوت قابل استفاده است .
واژه هاي کليدي : تابع تبديل شوارتز_کريستوفل - توليد شبکه - نگاشت همديس - مدل اغتشاش
مقدمه
بررسي جريان حول ايرفويلها، در روتور هلي کوپترها، مانور هواپيماها، تونلهاي باد، تيغه هاي توربين و توربين ماشينها از اهميت زيادي برخوردار است . شبيه سازي جريان روي ايرفويل ها در حالت تجربي بويژه در جريانات رينولدز بالا و با هندسه هاي پيچيده ، بسيار پر هزينه و داراي محدوديت هستند. محققان تلاش خود را معطوف به روشهاي عددي کارآمد مي کنند تا با صرف هزينه کمتر به نتايج قابل قبول و نزديکتري به نتايج تجربي دست يابند. در اين راه ابزارهاي محاسباتي ، امکان شبيه سازي مستقيم عددي (DNS) براي جريان مغشوش را در موارد معدودي فراهم کرده اند اما همچنان مشکل هزينه هاي محاسباتي ، مانع از کاربرد گسترده اين ابزار در شبيه سازي ها مي شود. براي حل معادلات حاکم بر جريان سيال و انتقال حرارت روندي که در سالهاي اخير رواج زيادي يافته ، ديناميک سيالات محاسباتي (CFD) است که امکان حل معادلات حاکم را به روشهاي عددي متفاوت منجمله روش حجم مح دود (Finite Volume) که مورد نظر کار حاضر ميباشد فراهم نموده است . از جمله ملزومات مورد نياز در اين روش ، توليد شبکه محاسباتي در ناحيه حل جريان ميباشد. در صورتيکه هندسه مرزهاي حوزه جريان پيچيده بوده و با محورهاي مختصات در سيستم کارتزين (x,y,z) منطبق نباشند مجزا سازي ناحيه حل بسادگي قابل انجام نميباشد. در اين مورد لازم است که قلمرو فيزيکي غير مستطيلي به قلمرو محاسباتي مستطيل شکل تيديل شود. تبديل مذکور اين امکان را ميدهد که يکي از محورهاي محاسباتي در امتداد بدنه قرار گرفته و بسهولت اعمال شرايط مرزي انجام ميگيرد. از جمله روشهاي انجام اين کار روش نگاشت همديس ميباشد. به ترتيبي که با استفاده از يک تابع تبديل تحليلي ناحيه فيزيکي جريان که ميتواند داراي هندسه پيچيده باشد به ناحيه اي مربع مستطيل شکل در فضاي محاسباتي انتقال مي يابد. از جمله مزاياي اين روش توليد شبکه اي متعامد بوده که در راستاي حل عددي معادلات ، مزيت هاي متعددي نسبت به شبکه هاي غير متعامد در بر دارد. و اما از معايب اين روش نياز به تابع تبديل تحليلي خاصي است که ناحيه فيزيکي با هندسه خاص خود را به ناحيه مستطيل شکل در ميدان محاسباتي تبديل نمايد. که جز در مواردي محدود بطور عمومي چنين تابع تبديلي يافت نميشود. در کار حاضر سعي بر آن است که تنها با شرط داشتن ناحيه فيزيکي از نوع همبند ساده (simply connected domain) و بدون اينکه شکل هندسي فضاي فيزيکي محدوديتي ايجاد نمايد از طريق انتگرال گيري عددي از تابع تبديل معروف شوارتز-کريستوفل انتقال به ناحيه مستطيل شکل محاسباتي انجام شود. لذا بدون وابستگي به نوع جريان ، ميتوان با استفاده از اين روش به شبکه متعامد دست پيدا کرد [٣-١].
تحقيقاتي توسط افراد مختلف با استفاده از مختصات منحني الخط انجام گرفته است . از جمله اين تحقيقات مي توان به تحقيق
انجام شده توسط تن پس وپلتچر (Tenpas and Pletcher 1991) با عنوان حل عددی معادات ناویر – استوکس جريان دو بعدي تراکم پذير مادون صوت که به روش Implicit)مرزانجام گرفته است ، اشاره کرد و نتايج براي جريان داخل کانال
(Space Marching در مختصات منحني الخط منطبق بر وقتي يک پايه در سر راه جريان تعبيه شده باشد بررسي شده است .
همچنين مي توان از حل عددي معادلات ناوير_استوکس براي جريان داخلي آرام دو بعدي با مرزهاي منحني الشکل که در سال
(١٩٩١) انجام گرفته است نام برد[٦]. حل عددي در مختصات منحني الخط جريان دائم دو بعدي لزج روي يک کره در اعداد رينولدز بالا تحقيق ديگري است که در سال ١٩٨٧ توسط بنت فرنبرگ (Bengt Fornberg) [٧] انجام گرفته است . موزاکيس و برگلز، جريان متلاطم را بر روي يک مانع مثلثي شکل را بررسي کردند[٨]. مطالعه پديده جدايي در جريان آرام و غير قابل تراکم دو بعدي روي موانع مکعبي توسط شنگ شيه و شي و هونگ صورت گرفته است [٩]. همچنين ملائن با استفاده از مختصات منحني الخط غير متعامد جريانهاي آرام و مغشوش بر روي يک پله و براي انبساط ناگهاني را مورد بررسي قرار داده است [١٠]. مي توان به نتايج حل عددي جريان سيال رستوقي (Rastogi) [١١] و پاتانکار و کارکي (Patankar and Karki) [٢١] و تامسون و وارسي ( Thompson and Warsi)[13 ] اشاره کرد. همچنين منصوري و همکاران با استفاده از توليد شب که به کمک تبديل شوارتز_کريستوفل جريان حول چند هندسه را بررسي کرده اند[٤١,٥١].
در کار حاضر، جريان سيال در حالت مغشوش بر روي انواع ايرفويل NACA با هندسه هاي پيچيده و متفاوت با استفاده از
تولید شبکه متعامد و روش نگاشت همدیس شبیه سازی شده است . برای حل جریان ، معادات حاکم شامل پیوستگی ، ناویر – استوکس با معادلات انرژي جنبشي توربولانس و نرخ استهلاک با تکنيک ديناميک سيالات محاسباتي (CFD) و با استفاده از مدل توربولانسي ε استاندارد حل شده اند.
معادلات حاکم
در اين مطالعه سعي شده است که به منظور نشان دادن کارآيي توليد شبکه محاسباتي از طريق انتگرال گيري عددي از تابع تبديل شوارتز-کريستوفل حل عددي معادلات حاکم در جريان آشفته سيال حول اجسامي با هندسه هاي متفاوت صورت گيرد. به منظور تعيين ميدان سرعت و فشار در جريان آشفته سيال در کار حاضر با بکارگيري تکنيک CFD معادلات حاکم بصورت عددي حل شده اند. اين معادلات براي جريان آشفته ، دو بعدي و غير قابل تراکم شامل معادلات پيوستگي و ناوير-استوکس بوده که بايستي بطور همزمان با معادلات حاکم بر انرژي توربولانس k و شدت اتلاف ε حل عددي شوند. فرم کلي اين معادلات بصورت زير ميباشد:
لازم به ذکر است که معادلات فوق بصورت بدون بعد بوده که در اين راستا از پارامترهاي بدون بعد زير استفاده شده است :
مدل ε استاندارد
مدل ε استاندارد که توسط جونز ولاندر [٩] در سال (١٩٧٢) ارائه گرديد، از جمله مدل هاي دو معادله اي است که کاربرد به صورت زير بيان مي شود:
که ضرا ئب ثابت مدل به ترتيب اعداد پرانتل مغشوش براي هستند.
همچنين در روابط فوق :
تبدیل شوارتز - کریستوفل
تابع تبدیل تبدیل شوارتز - کریستوفل [١١] براي جريان خارجي تابع تبديلي است که هندسه مورد نظر در محدوده فيزيکي را به هندسه ساده اي در دامنه محاسباتي تبديل مي کند
(شکل (١)). در اين روش يک چند ضلعي در صفحه z به نيمه بالايي صفحه w منتقل مي شود که تابع تبديل مربوطه به صورت
زير بيان مي گردد:
در معادله بالا N بیانگر تعداد رئوس چند ضلعی بوده و زاویه چرخش چند ضلعي را در جهت خلاف عقربه هاي ساعت حول هر يک از رئوس بيان مي کند. نقاط نقاطي با مکان نامشخص روي محور حقيقي wکه هر کدام از آنها تصوير مولفه هاي رئوس در صفحه z مي باشند که تصحيح نقاط شامل تعداد مراحل تکرار حل عددي است . A ثابت مختلطي است که به هندسه فيزيکي مربوط مي باشد. بر اساس تئوري ريمن [٣]، نقاط نقاطي مجازي هستند. تابع نگاشت (z)w از انتگرال گيري معادله (١) به صورت زير در مي آيد:
که در آن نقطه W0 يک نقطه اختياري در قسمت بالايي صفحه w مي باشد و B مقدار ثابتي است . با استفاده از تغيير متغير
که در آن به صورت زير تعريف مي شود
مي توان براي مقدار اوليه تابع زير را در نظر گرفت :
که بالا نويس c مقدار همگرايي را نشان مي دهد. به وسيله معادله زير تصحيح مي گردد:
بخاطر اينکه معادله (١١) در تکيني است با انتگرال گيري از در صفحه خيلي کوچک مي باشد) داريم
که N تعداد مراحل تکرار است .
براي تصحيح نقاطي که در گوشه قرار دارند براي هر مرحله مي توانيم از تغيير متغير زير استفاده کنيم :
که زير نويس c مقدار دقيق را مشخص مي کند. و θ زاويه بين آخرين ضلع چند ضلعي را با محور افقي نشان مي دهد.
معياري براي نسبت صفحه z و s است و B تصوير نقطه U1بر روي نقطه است . ساختار تبديل شوارتز_کريستوفل بدين صورت است که زاويه راس چند ضلعي را در هر مرحله تکرار حفظ مي کند.
معيار خطا براي همه نقاط اختلاف بين است به گونه اي که :
لذا تکرار تا وقتي ادامه مي يابد که اين معيار به مقدار ثابتي برسد.
براي تصحيح اختلاف بين نقاط براي تکرارهاي بعدي رابطه زير برقرار است :
که بوسيله تابع زير تصحيح مي شود :
جهت حصول همگرايي با رجوع به معادله (١٥) کل مراحل بايد تکرار گردد.
توليد شبکه با استفاده از تبديل شوارتز-کريستوفل
اساس اين روش بر بدست آوردن تابع تبديلي است که هندسه مورد نظر در محدوده فيزيکي را به هندسه ساده اي در محدوده محاسباتي تبديل کند. در روش نگاشت شوارتز-کريستوفل ناحيه داخل يک چند ضلعي در صفحه مختلط z به نيمه بالايي صفحه محاسباتي منتقل مي شود که بصورت تابع معکوس بصورت زير بيان مي شود:
در اين رابطه صفحه w و صفحه z دو صفحه مختلط و پارامترهاي تبديل نقاط گوشه چند ضلعي به صفحه w مي باشد. . در اين روش تابع تبديل مختصات در صفحه فيزيکي و صفحه محاسباتي بصورت يک انتگرال بيان مي شود. همچني ن به دليل وجود نقاط منفرد، از روشهاي عددي معمول براي محاسبه انتگرال نمي توان استفاده کرد. نخست تصوير کليه نقاط مرزي داراي شکستگي حدس زده مي شود و سپس بر اساس فاصله بين نقاط در صفحه فيزيکي و محاسباتي تصحيح مي گردد . خصوصيت بارز اين روش اين است که با تعداد تکرار بسيار کم (حداکثر ١٥ تکرار ) مي توان تصوير اين نقاط را پيدا کرد و سپس تصوير ساير نقاط را بدست آورد.
نتايج
مقايسه بين روش بکار گرفته شده و نتايج تجربي نشان مي دهد که روش اعمال شده از دقت بسيار بالايي برخوردار است . همانطور که در اشکال (٢) و (٣) مشاهده مي شود تغييرات ∞V.V براي ايرفويل استاندارد NACA نشان مي دهند که نتايج عددي با نتايج تجربي بسيار به هم نزديک هستند.
اشکال شماره (٤) و (٥) جريان حول ايرفويل NACA0012 را در زاويه صفر درجه و در دو ماخ ٠.٥ و ٠.٨ نشان مي دهد. همانطور که در شکل (٥) مشاهده مي شود، پديده شوک در سطح بالايي و پاييني ايرفويل و به صورت متقارن روي ايرفويل به وضوح مشخص است . خطوط جريان در زاويه ١٢ درجه و ماخ ٠.٨ را مي توان در شکلهاي (٦) و (٧) مشاهده کرد. در اين زاويه و ماخ پديده شوک در سطح بالايي ايرفويل رخ مي دهد. شکل (٨) کانتورهاي انرژي جنبشي اغتشاش را ارائه مي دهد. اشکال (٩) و (١٠) ضريب فشار را روي ايرفويل هاي NACA0012 و NACA2412 را نشان مي دهد. تغييرات ضريب فشار در شکل (٨) نشان مي دهد که ر پديده دهد. شکل (١١)، ضرايب برآ به ازاي زواياي حمله مختلف حول شوک روي سطح بالايي ايرفويل تقريبا در رخ مي دهد . شکل 11 ضرایب برآ به ازای زوایای حمله مختلف حول ايرفويل NAC0015٥ را در چند رينولدز مختلف نشان مي دهد.
همچنين مي توان ضريب برآ را بر حسب زاويه حمله در رينولدز حول سه ايرفويل NACA6000 و
NACA0012 و NACA0015در شکل (١٢) مشاهده کرد. اشکال (١٣) و (١٤) ضرايب برآ را بر حسب زاويه حمله در چند رينولدز متفاوت بر روي چند ايرفويل نشان مي دهند. در اشکال ارائه شده پيش بيني زاويه واماندگي به وضوح مشخص شده است . ضرايب برآ بر حسب ضرايب پسا را مي توان در اشکال (١٥) تا (١٧) مشاهده کرد.
همانطور که در اشکال نشان داده شده مشخص شده نتايج ارائه شده نزديکي قابل توجهي با نتايج تجربي دارد و نتيجه گيري کلي بدين ترتيب است که روش نگاشت همديس مبتني بر انتگرال گيري عددي از تبديل شوارتز-کريستوفل براي حل تمامي جريانهاي خارجي و داخلي در حالت دو بعدي ، لزج و غير لزج ، ترکم پذير و غير قابل تراکم بکار مي رود و حل آن به اينکه معادلات از روش حجم محدود يا المان محدود حل شده باشند وابسته نيست .
[1] K. P. Sridhar and R. T. Davis, A Schwarz-Cristoffel method of generating two-dimensional flow grids, Journal of fluid engineering, Vol. 197, 1985, pp. 330-337.
[2] M. S. Moayeri and M. A. Taghdiri, Boundary conforming orthogonal grids for internal flow problems, Iranial Journal of Science and Technology, Vol. 17, No. 3, 1993, pp. 191-201.
[3] L. M. Milne-Thomson, Theoretical hydrodynamics , 4th edition, Macmillan, Newyork, 1960
[4] Abbot, Z. H. and Von Doenhoff, A. E., “Theory of Wing Sections”, Dover Publisher, (1949).
[5] Tenpas , P. W . and Pletcher, R. H. , “ Coupled Space-Marching Method for the Navier-Stockes Equation for Subsonic Flows “, AIAA Journal , vol . 29 , No. 2 , 1991
[6] Barezani, S.R. , “ Numerical Solution of Navier-Stoches Equations For Internal , Laminar , Two-Dimensional or Axially Symmetric Flow with Curved Boundaries . “ , M.S. Thesis , Dept. of Mech . Eng. , Shiraz University , 1991
[7] Fornberg , B . “ ,Steady Viscose Flow Past a Sphere at High Reynolds Number . “ Journal of Fluid Mechanics , vol . pp. 191-204 , 1991
[8] Mouzakis, F.N. and Beregles, G. C. , “ Numerical Prediction of Turbulent Flow Over A Two-Dimensional Ridge. “, Int. Journal for Num. Meth. In Fluids , vol. 12 , pp. 191-204 , 1991
[9] Shing Hsih , Shih and Hung, “ Numerical Computation of Laminar Seperation and Reattachment Flow Over Surface Mounted Ribs. “ , ASME. Journal of Fluids Eng. , vol. 113 , pp. 190-197 , 1991
[10] Melaaen, M. C. , “ Nonstaggered Calculation of Laminar and Turbulent Flows Using Curvilinear Nonorthogonal Coordinates. “ , Numerical Heat Transfer , Part A , vol. 24 , pp. 375-392 , 1993
[11] Rastogi, A. K. , “ Hydrodynamics in Tubes Perturbed by Curvilinear Obstruction. “ , ASME Journal of Fluids Eng. , vo;. 106 , No. 3 , pp. 262-269
[12] Karki, K. C. and Patankar, S. V. , “Solution of Some Two-Dimensional Incompressible Flow Problems Using A Curvilinear Coordinate System Based Calculation Procedure. “ , Num. Heat Transfer , vol. 14 , pp. 309-321 , 1988
[13] J. F. thompson, Z. U. A. Warsi and C. W. Mastin, Boundary-fitted coordinate system for numerical solution of partial differential equations, A review, Journal of computational physics, Vol. 47, 1982, pp. 1-108.
[14] S. H. Mansouri, S. M. Hosseini Sarvari, A. Keshavarz and M. Rahnama, An analytical numerical method for grid generation my Mathematica, Proc. Of 26th Annual Iranian Mathematics Conference, Vol . 1, Shahid Bahonar University of Kerman, Iran, 1995, pp. 251-258.
[15] S. H. Mansouri, M. A. Mehrabian and S. M. Hosseini Sarvari, Simulation of ideal external anternal flows with arbitrary boundaries using Schwartz-Christofel transformation, Int. Journal of Eng., Trans. A, Vol. 17, No. 4, 2004, pp. 405-414.
