بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
حل تحلیلی جریان کوئت مغشوش با استفاده از مدل محیط پیوستهی کﹸسِرات
چکیده
در مقالــهی حاضــر، نظریــهی ســیالات ریزقطبــی کــه مبتنــی بــر مــدل محــیط پیوســتهی کــسرات مــیباشــد، بــرای تحلیـل جریـان مغـشوش بـین دو صـفحهی مـوازی متحـرک (جریـان کوئـت) بـه کـار رفتـهاسـت. در عبـارت تحلیلـی توزیع سرعت، جملهی جدیـدی عـلاوه بـر توزیـع خطـی مکانیـک سـیالات کلاسـیک ظـاهر شـده اسـت. نتـایج بدسـت آمــده بــرای میــدان ســرعت بــا نتــایج آزمــایش رایــشاردت ]١و٢[ و حــل تحلیلــی مــسأله از گرادیــان تئــوری توســط علیـزاده ]٣[ مقایـسه شـدهانـد. شـرط مـرزی در نظـر گرفتـه شـده در اینجـا، شـرط عـدم لغـزش و همچنـین شـرط لغـزش تروسـتل ]٤[ مـیباشـد. دیــده شـد کـه نتـایج بــه خـوبی بـا آزمـایش تأییـد مــیگردنـد. مـسأله بـرای عــدد رینولـدزی نزدیـک بـه ١٨٠٠٠ حـل گردیـدهاسـت. عـدد بـیبعـد جدیـدی اسـتخراج شـد کـه نـشانگر ارتبـاط تئـوری کـسرات و تئـوری لغـزش و تـأثیر متقابـل آنهاسـت. در ایـن مقالـه نـشان داده شـدهاسـت کـه تئـوریهـای مکانیـک محیط پیوسته از مراتب بـالاتر ماننـد مـدل کـسرات مـیتواننـد پدیـده هـای پیچیـده ای ماننـد توربـولانس را بـه دقـت توصیف کنند.
واﮊههای کلیدی: محیط پیوستهی کسرات، سیال ریزقطبی، توربولانس، جریان کوئت، لغزش.
١ مقدمه
مفهوم محیط پیوستهی کسرات (Cosserat) در مقالهای که توسط دو برادر فرانسوی به همین نام بـه سـال ١٩٠٩ منتشر شد ]٥[، معرفی گردید. در این محیط، علاوه بر اثر نیروها، اثر کوپلها نیز بر یک المان مـادی در نظـر گرفتـه میشود. چنین محیطی بـه پیـشنهاد اریـنگن ]٦[ محـیط ریزقطبی نامیده شدهاست.
این گروه از سیالات عـلاوه بـر تانـسور تـنش نیـرو، دارای تانسور تنش کوپل نیز هستند و میتوانند اعمال ممانهای بــدنی بــر ســیال را پــشتیبانی کننــد. در حالــت کلــی، تانسورهای تنش نیرو و کوپل، نامتقارن میباشند.
بنابراین در این تئوری، دو کمیت سینماتیکی وجـود دارد؛ میدان برداری سرعت V و میدان برداری چرخش ν که مستقل از سرعت میباشد و دیگر مانند تئـوری کلاسـیک برابـر بـا کـرل میـدان سـرعت نیـست. بـه خـاطر فـرض چرخشهای بینهایت کوچک، میتوان میـدان چـرخش را یک میدان برداری در نظر گرفت.
معادلهی ساختاری خطی برای تانسور نامتقارن تنش نیرو، شامل یک ضریب اضافی لزجت kv میباشـد. مقـدار kv ،میزان تأثیر میدان چرخش بر تانسور تـنش نیـرو را نـشان میدهد. همچنین معادلهی ساختاری خطی بـرای تانـسور تنش کوپل، شامل سه ضـریب لزجـت جدیـد αv ، βv و γv میباشد.
حل دقیق معادلات ناویر ‐ استوکس، یـک توزیـع سـرعت خطی را برای جریان کوئـت پـیشبینـی مـیکنـد کـه بـا آزمایشهای جریان آرام لایهای سازگار است. آزمایشهـای رایشاردت نشان داد که در حالت توربولانس، دیگر پروفیـل سرعت خطی نیست. معادلات نـاویر ‐ اسـتوکس قـادر بـه توصیف چنین پروفیلی نیستند.
رهیافتهایی که به مسألهی جریان مغشوش وجـود دارنـد اکثراﹰ مبتنی بر مدلهایی هستند کـه بـر مبنـای آزمـایش پیشنهاد شدهاند ماننـد مـدل . k −ε ولـی راه حـلهـای تحلیلی نیز وجود دارند. تا کنون بـه سـه طریـق مـسألهی جریان مغشوش به طور تحلیلی حل شدهاست. یکی روشی مبتنـی بـر مکانیـک آمـاری و دیگـری بـر مبنـای تکامـل معادلات مواد گرادیان میباشـد. سـومین رهیافـت کـه در اینجا به کار رفته، استفاده از نظریهی کسرات است.
نتایج به دسـت آمـده از حـل تحلیلـی و همچنـین نتـایج موجود از آزمـایش، همگـی بـرای مقـادیر متوسـط زمـانی سرعت توربولانس هستند که با رابطهی زیر داده میشود
پروفسور تروستل ]۴و۷[ در سال ۸۸۹۱ لغـزش سـیال بـر مرز جامد را بطور تئوری اثبات نمود. به عنوان شرط مرزی لغزش، وی پیشنهاد کرد که در مرز، مقدار سـرعت لغـزش متناسب با مقدار تنش برشی است، یعنی
که در آن λ ضریب تناسب است که ضریب لغزش نامیده می شود و یک اسکالر مثبت با واحد پاسکال‐ثانیه بر متـر میباشد.
٢ معادلات حرکت یک پیوستار کسرات
٢‐١ سینماتیک یک محیط کسرات
برای هر نقطهی مادی موجود در پیوستار، دو بردار سرعت و سرعت چرخش در نظر گرفتـه مـیشـوند. نتیجـه آنکـه تانسور تغییر فـرم εij و تانـسور پـیچش ‐ انحنـا κij بـه شکل زیر نوشته میشوند
که در آنها کاما بیانگر مشتقگیری ضمنی است.
٢‐٢ قوانین بقا برای یک محیط کسرات
برای یک پیوستار کسرات چنین در نظر گرفته میشود که تعامل بین دو ذره از محیط از طریق المـان سـطح nids ، به وسیلهی یـک بـردار کـشش tids و یـک بـردار ممـان mids انجام میگیرد. نیروها و ممانهای سـطحی، بطـور عمومی با تانسورهای نامتقارن تنش نیرو و تنش کوپل tij و mij نمایش داده میشوند.
اصول پایستگی جرم، تکانه و تکانهی زاویـهای، بـه ترتیـب معادلات زیر را به دست میدهند
که در آن میکرواینرسی میباشد.
٢‐٣ معادلات ساختاری
در اینجا معادلات ساختاری خطی برای توصیف رفتار مواد انتخاب میکنیم. این معادلات میتوانند به عنـوان تعمـیم سیالات نیوتنی در تئوری کلاسـیک نـاویر ‐ اسـتوکس در نظر گرفته شوند. داریم
برای یک سیال تراکم ناپذیر، فـشار ترمودینـامیکی π بـه بخش نامعین تانسور تنش نیرو کاهش مییابد کـه بایـد از شرایط مرزی مناسب تعیـین شـود و آن را بـا p نمـایش میدهیم.
با ترکیب روابط فوق به معادلات میدانی حاکم بـر جریـانیک سیال کسرات میرسیم.
٣ شرایط مرزی
شرایط مـرزی در مکانیـک سـیالات بـه طـور عمـومی دو دســتهانــد: ســینماتیکی و دینــامیکی. شــرایط مــرزی سینماتیکی بر ایـن واقعیـت تکیـه دارنـد کـه متغیرهـای ســینماتیکی ماننــد ســرعت و ســرعت زاویــهای، مقــادیر مشخصی را در مرزها اختیار می کنند. اما در شرایط مـرزی دینامیکی، مقادیر تنش نیرو و تنش کوپل بر روی سـطوح مرزی مقادیر معینی هستند.
از دیدگاه ریاضی، یک شرط مرزی سینماتیکی یک شـرط دیریکله است. در حالی که یک شرط مرزی دینامیکی، یک شرط فون نویمان میباشد. در مقالهی حاضر، برای سرعت بر صفحات بالایی و پایینی در حالـت عـدم لغـزش، شـرط سینماتیکی در نظر گرفته شدهاست. این در حالی است که بـرای میـدان چـرخش، شـرط مـرزی دینـامیکی تعریـف کردهایم. شرط مرزی لغـزش تروسـتل، ترکیبـی خطـی از شرایط سینماتیکی و دینامیکی است. بنابراین یـک شـرط مرزی رابین میباشد. امـا شـرط لغـزش، ذاتـاﹰ یـک شـرط ترمودینامیکی است.
٤ تعریف مسأله
جریان بین دو صفحهی تخت موازی که هر دو بـا سـرعتU در جهات مخـالف حرکـت مـیکننـد، جریـان کوئـت نامیده میشود. صفحات در فاصلهی hc هستند و گرادیان فشار برابر با صفر فرض مـیگـردد. بنـابراین جریـان فقـط نتیجه تنشهای برشی است. محور Ox بر روی خط مرکزی کانال، محـور Oy عمـود بر جریان و محور Oz عمود بر صفحه جریان میباشد. به دلیل وجود تقارن، فقط نیمهی بالایی جریان را در نظـر میگیریم. بنابراین روابط زیر صادقند
با فرضیات فوق، قانون بقای جرم برای جریان تراکم ناپذیر ارضا میشود. با صرفنظر کردن از نیروها و ممانهای بدنی، معادلات حرکت به فرم زیر کاهش مییابند
این دو معادلـهی دیفرانـسیل معمـولی مرتبـهی دوم بایـد شرایط مرزی زیر را ارضا کنند
که در آن M ممان اعمالی از طرف مرز جامـد بـه المـان سیال روی مرز است و برای مدل کردن اثر زبری سطح بـر پدیدهی توربولانس در نظر گرفته میشود.
٥ حل مسأله
حل عمومی دستگاه معـادلات (١٢) و (١٣) بـرای میـدان سرعت به شکل زیر میباشد
که در آن ثوابت مواد و ثوابت انتگرالگیری بـرای تـسهیل در محاسبات بعدی در هم آمیخته شدهاند. فرآینـد تعیـین ثوابت انتگرالگیری با اعمال شرایط مرزی، مستلزم داشتن اطلاعات در مـورد ثوابـت مـواد مـیباشـد و چـون ثوابـت سیالات کسرات عموماﹰ ناشناختهاند، مسیر دیگری را بـرای حل انتخاب میکنیم. بـه جـای در نظـر گـرفتن مـسألهی مقدار مرزی، صحنهی جریان و نتایج آزمایش رایشاردت را در نظر میگیریم.
حال ضرایب را طوری تعیین مـیکنـیم کـه خطـای حـل تحلیلی نسبت به نتایج آزمایش مینیمم گردد که مـستلزم استفاده از یک آلگوریتم بهینهسازی است. شرط مـرزی در y 0 ایجاب میکنـد کـه C1 0 باشـد. نهایتـاﹰ بایـد ضرایب توزیع سرعت زیـر از فرآینـد بهینـهسـازی تعیـین شوند
آزمـایش رایـشاردت بـرای کانـالی بـا hc 0.158 m و U 0.1223 m / s و بــرای عــدد رینولــدزی حــدود ١٨٠٠٠ در مؤسسهی تحقیقاتی ماکس پلانک در گوتینگن آلمان انجام شدهاست.
