بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
شبیهسازی عددی جریان غیر دائم گاز طبیعی درون خط لوله و شبکه گازرسانی با استفاده از تبدیل لاپلاس و تئوری کانولوشن
چکیده
در این مقاله، با استفاده از روش جدید تابع تبدیل، جریان غیـر دائـم گاز طبیعی در حالت همـدما و تـراکمپـذیر بـرای خـط لولـه و یـک شبـکهی حلقهای بررسی شده است. فرض همـدما بـه ایـن دلیـل در نظر گرفته شده که در اغلب شبکههـای گازرسـانی متـداول، سـرعت جریان گاز به اندازهی کافی پایین بوده و فرصت تبادل حرارت گاز بـا لوله و زمین اطرافش وجود دارد. در کـار حاضـر بـرای اولـین بـار بـا استفاده از مدل تابع تبدیل معادلات حاکم برای شـرط مـرزی فشـار ورودی و فشار خروجی معلوم در لولـه اسـتخراج شـده اسـت. بـدین منظور از معادلات اویلر حاکم بر جریان ناپایای گاز طبیعی با در نظـر گــرفتن تــرم اصــطکاک تبــدیل لاپــلا س گرفتــه شــده و معــادلات بدستآمده بیبعد و خطیسـازی شـده اسـت. سـپس بـا اسـتفاده از تئوری کانولوشن و معکوس گرفتن از معادلات پیوسـتگی و مومنتـوم خطی شده در فضای لاپلاس، ایـن معـادلات در فضـای زمـان بـرای شرایط مختلف مرزی از جمله فشـار ورودی- دبـی خروجـی معلـوم، فشار ورودی – فشار خروجی معلـوم بدسـت آمـدهانـد. در نهایـت از معادلات بدست آمده برای شبیهسازی جریان غیر دائـم گـاز طبیعـی درون خط لوله و یک شبکهی حلقهای استفاده شده اسـت. از جملـه مزایای روش فـوق مـیتوان به صریح بـودن معـادلات بدسـت آمـده برای شرایط مختلف مرزی و عدم نیاز به گسستهسازی این معـادلات جهت حل جریان غیردائم گاز اشاره نمود. نتایج کار حاضـر بـا نتـایج مراجع موجود مقایسه شده است که انطبـاق بسـیار خـوب نتـایج بـا یکدیگر، صحـت روش به کار رفته را تایید میکند.
واژه های کلیدی
جریان ناپایا، تبدیل لاپلاس، تئوری کانولوشن، خطوط لوله
مقدمه
به دلیل حضور یکسری تغییرات زمانی مثل راه اندازی یا از کار افتـادن ایستگاه های تقلیل فشار، نشتی (یا شکستگی) خط لوله، باز و بسـته کردن شیرهای کنترلی و دستکاری نقاط تنظیم در عملیات گازرسانی شهری و برونشهری، جریان درون لولهای انتقال گاز طبیعی کـاملاً غیردائم بوده است. بنابراین به علت وجود تغییرات زمانی خواسـته یـا ناخواسته در شبکه، شرایط همواره با زمان دارای تغییـر مـیباشـد. از طرفی سیستمهای انتقال گاز طبیعی و گسترش استفاده از این منبع انرژی، روزبهروز پیچیدهتر میگردد. لـذا مـدلسـازی ریاضـی و حـل عددی جریان، یکی از ابزارهای مهم برای کمک به طراحی و مطالعات ساختاری این زمینه است. مزیت دیگر شبیه سازی رفتار گـذرای گـاز در شــبکه، کمــک بــه طراحــی مناســبتــر آن و همچنــین تحلیــل شبکههای طراحی شـده موجـود اسـت کـه امکـان پاسـخگویی ایـن شبکهها را به هنگام ایجاد رفتار غیردائم بر اثر تغییرات ناشی از ازدیاد یا کاهش مصرف و یا به هر دلیل دیگری تأیید مینماید.
به علاوه، امروزه مبحث کنترل فشار خروجی ایستگاهها متناسب با نیاز شبکه مورد توجه قرار گرفته است که بر مبنای آن یـک سیسـتم کنترلی با دریافت اطلاعات از نقـاط بحرانـی شـبکه، فشـار خروجـی ایستگاهها را تنظیم میکند. بـدینترتیـب، بـرای طراحـی ایـن گونـه سیستمها باید مدل دینامیکی شبکه و ماهیت غیردائم جریان گاز که توسط حل عددی فراهم میشود، در اختیار باشد.
بحث حل عددی جریان غیردائم گاز طبیعی دارای پیشینه نسبتاً طولانی بوده و محققین مختلفی در این زمینه فعال بودهانـد. در ایـن عرصه، بسیاری از تحقیقات روی تحلیل جریـان غیـردائم درون یـک لوله منفرد، متمرکز بوده و اخیراً اغلب این پژوهشها به سمت تحلیل شبکه متمایل شـده انـد. در سـال 1994، کیوشـی1 از روش اخـتلاف محدود کاملاً ضمنی برای حل جریان تراکم پذیر غیردائم و هم دمـای گاز طبیعی درون یک لوله و یک شبکه درختـی اسـتفاده نمـود .[1]
الگوریتم حل معادلات اختلاف محدود یک لوله در این مقاله بر اساس روش نیوتن-رافسون2 می باشد. جریان تراکمپذیر، همدما و یکبعـدی در نظر گرفته شده و از انبساط دیواره لولـه بـه علـت تغییـرات فشـار صرفنظر شده است. در سال 1996، ژاو3 و آدومـی4 در تحقیقـی بـه بررسی نتایج روش TVD5 بر جریـان غیـردائم گـاز درون یـک لولـه مستقیم در هشت حالت خاص پرداختهاند .[2] در شبیهسازی جریان گذرای لولههای گاز طبیعی تک فاز، اکثـر تحقیقـات پیشـین، از تـرم
اینرسی در معادله اندازه حرکت صرفنظر کـردهانـد. ایـن امـر باعـث می شود که معادلات دیفرانسیل جزئی خطی، حاصل شود. صرفنظـر کردن از جمله اینرسی در معادله اندازه حرکت به طور مشخص موجب از دست دادن دقت نتایج شبیه سازی میشود. در مقالـه حاضـر، تـرم اینرسی در نظر گرفته شده است. معادلات حاکم که شـامل معـادلات بقای جرم و اندازه حرکت می باشند، بـه همـراه معادلـه حالـت، یـک دسته از معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه اول هذلولوی شبه خطـی را تشکیل میدهند. در سال 2009، باقری و بهبهانینـژاد بـا روشهـای عددی مختلف به بررسی و تحلیل جریان گذرا درون یـک لولـه کلـی گاز پرداختهاند. در ادامه روشی که از خطـی سـازی و حـوزه لاپـلاس برای تحلیل جریان غیردائم گاز درون لوله اسـتفاده مـی کنـد، مـورد بررسی قرار داده شده است. در نهایت با اسـتفاده از مـرتبط سـاختن لولهها و اعمال شرطهای مرزی و قیود مربوط به گرهها یـا حلقـههـا، تحلیل یک شبکه نمونه با استفاده از روش ذکر شده انجام شده است. از معایب این روش میتوان به این مورد اشاره کرد که این روش تنهـا با ورودی و خروجی لوله یا المان سر وکار دارد و از اینکه داخل لولـه چه میگـذرد، اطلاعـاتی نمـیتـوان بـهدسـت آورد .[3] در یکـی از جدیدترین پــژوهـشها و در سال 2012 عالمیان و بهبهـانینـژاد بـا استفاده از معادلات فضای حالت بدست آمده از معادلات لاپـلاس بـه تحلیل جریان غیر دائم گاز درون لوله و شبکه ساده گازرسـانی بـرای شرایط مختلف مرزی پرداختهاند .[4] از مزایـای ایـن روش کاربــرد آسان برای شبکههای بزرگ و پیـچیده میباشد.
به منظور تحلیل عددی مسئله، ابتدا معادلات حـاکم بـر جریـان گذرای گاز طبیعی خطی شده است. سپس با گرفتن تبدیل لاپـلاس، دو زوج معادله دیفرانسیل معمولی خطی بدست میآید. با استفاده از تئوری کانولوشن و معکوس گرفتن از معادلات حاکم، معادلات جدید حاکم بر مسئله در فضای زمان برای شـرایط مختلـف مـرزی بدسـت میآیند.
در این مقاله ابتدا تحلیل عددی مسئله ارائه شده است. سپس بـه تحلیل جریان یک خط لوله و شبکه حلقهای با استفاده از روش گفته شده پرداخته شده و در نهایت به بررسی نتایج بدست آمده و مقایسه با مراجع موجود پرداخته شده است.
معادلات حاکم
معادلات دیفرانسیل جزئی هایپربولیک یک بعدی پیوسـتگی و انـدازه حرکت برای جریان گذرای گاز درون یک لوله با قطر ثابت، در رابطـه (1) و (2) ارائه شده است. معادله حالت نیز توسط رابطه (3) بدسـت میآید.
که در آن ، فشار، M ، دبی جرمی جریـان، g ، شـتاب جاذبـه،
، چگالی، ، شیب لوله، f ، ضریب اصطکاک، D ، قطر داخلـی لوله، A ، سطح مقطع لوله، c، سرعت صوت، x ، فاصـله در طـوللوله و t نیز زمان می باشد .[5]
مدل تابع تبدیل
مدل تابع تبدیل لوله، فشار و دبی جرمی بالادست را به فشـار و دبـی جرمی پاییندست در فضای لاپلاس ارتباط می دهد. در ابتدا معادلات (1) و (2) بهصـورت متغیرهـایی از حـل جریـان حالـت پایـا تعیـین مــیشــوند ( M M M 0 و .( P P P0 بــا ترکیــب معادلات (1) تـا (3) و تبـدیل آنهـا بـه دو معادلـه و گـرفتن تبـدیل لاپلاس، دو زوج معادله دیفرانسیل معمولی خطی زیر بدست می آیـد که با نوشتن این معادلات به صورت ماتریسی و حل آنها بـه صـورت تحلیلی روابط بین دبی ورودی و فشار خروجی لوله در فضای لاپلاس بدست میآِید.
که در آن زیرنویسهـای 1و 2 بـهترتیـب نقـاط انتهـایی بالادسـت و پاییندست لوله را نشان می دهد و پـارامتر F توابـع تبـدیل را نشـان میدهد که مقادیر این توابع تبدیل تابع خواص فیزیکی لوله و شرایط جریان میباشد. بدلیل اینکـه بدسـت آوردن معکـوس توابـع تبـدیل دشوار میباشد بدست آوردن حل های تحلیلی در فضای زمان دشـوار میباشد، لذا توابع تبدیل بوسیله بسط مرتبـه اول سـری هـای توابـع هذلولوی تقریب زده میشود که این توابع در مرجع [5] بیان شدهاند.
با جایگذاری توابع هذلولی مرجـع [5] در معـادلات (4) و (5) و محاسبهی معکوس هر یک از ترمها به صـورت تحلیلـی و اسـتفاده از تئوری کانولوشن مقادیر دبی و فشار در فضای زمان بدست میآینـد. برای حالتی که جریان زیر صوتی باشد، همانند مـواردی کـه در ایـن مقاله بررسی شدهاند بایـد یکـی از شـرایط مـرزی فشـار یـا دبـی در بالادست جریان و شرط مرزی دیگر باید در پایین دست جریان معلوم باشد. در مقاله ردی و همکاران روابط برای حالت فشار ورودی و دبی خروجی معلوم بدست آمدهاند.
در معـادلات بـالا Ts t N بوده که T s گـام زمانـی میباشـدو ثابتهای k 1 ، k 2 ، T، T1، T 2، در مرجع [5] بیان شدهاند.
در مقاله حاضر با روندی مشابه، روابـط بـرای حـالتی کـه فشـار ورودی و فشار خروجی لوله معلوم باشد استخراج شدهاند. که با کمک این معادلات استخراج شده میتوان مقادیر دبی ورودی و خروجی در لوله را بدست آورد.
لازم× به ذکر است که برای دو حالت دیگـر، یعنـی دبـی ورودی و فشار خروجی معلوم و دبی ورودی و دبی خروجـی معلـوم مـیتـوان روابط را به طریق مشـابه بدسـت آورد. کرالیـک و همکـاران توصـیه کردند که طول لولهها باید از رابطهی زیر پیروی کند .[6]
در رابطهی فوق طول و قطر باید بر حسب متر باشند. در مواردی که طول لوله بیشتر از مقدار پیشبینـی شـده توسـط رابطـه ی (11) باشد باید لوله را به چند بخش تقسیم نمود. برای شبیهسازی جریـان غیردائم باید مقادیر دبی و فشار پایا در نقاطی که دبی و فشار غیردائم مورد نظر است معلوم باشند. روابط ارائه شده تنها مقادیر فشار و دبی در ابتدا و انتهای لوله را بدست میدهند و اطلاعاتی از این مقادیر در طول لوله را نمیدهد، اگر مقادیر فشار و دبی در طول لوله مورد نیـاز باشد باید لوله را به چند قسمت تقسیم کرده و مقدار مناسب طول را در رابطهی مورد نظر جایگزین نمود.
به منظور بررسی نتایج بدست آمده ابتدا جریـان غیـر دائـم گـاز طبیعی درون لوله بررسی شده و نتایج حاصل با نتایج سایر محققـین مقایسه میگردد، سپس به بررسی جریان درون شـبکهی حلقـهای و مقایسه نتایج بدست آمده با نتایج دیگر محققین پرداخته میشود.
نتایج
در این قسمت به ارائه نتایج تحلیل جریان غیـردائـم گـاز طبیعـی بـا استفاده از روش تابع تبدیل پرداخته میشود، بدین منظور سه حالت مختلف جریان بررسی شده است.
مسئله ی اول: شبیهسازی جریان درون لوله برای حالت فشـار ورودی و دبی خروجی معلوم
این مسئله، شامل لولهای به قطر 0/2159 متر و طول 72259/5 متر می باشـد. چگـالی نسـبی گـاز طبیعـی، 0/675 در دمـای 10 درجـه سانتیگراد است. ویسکوزیته گاز، 11/84 کیلوگرم بر متـر-ثانیـه مـی باشد و زبری دیواره لوله نیز 0/617 میلـیمتـر اسـت. در کـل زمـان شبیهسازی، فشار ورودی لوله ثابت و برابر 4/2 مگاپاسکال مـیباشـد. شار جرمی جریان در خروجی به صورت تابع معلومی از زمـان تغییـر می کند که در شکل 1 نشان داده شده اسـت. همـین مسـئله توسـط تیلور و همکاران[7]، ژاو و آدومی [2] و همچنـین عالمیـان [4] نیـز شبیهسازی شده است. شکل 2، مقایسه نتـایج بـهدسـت آمـده بـرای توزیع فشار خروجی در طول 24 ساعت را نشان می دهد. بـا مقایسـه جوابها مشاهده میشود نتایج بهدست آمده از روش تبدیل لاپلاس و تئوری کانولوشن از دقت بسیار خوبی برخوردار میباشد.
مسئلهی دوم: شبیهسازی جریان درون لوله برای حالت فشـار ورودی و فشار خروجی معلوم
برای بررسی صحت و اعتبار روابط استخراج شده 9 و 10 بـه بررسـی حالتی پرداخته شده است که در آن فشار ورودی و فشار خروجـی در مسئله معلوم مـیباشـد، و دبـی ورودی و دبـی خروجـی در لولـه بـا استفاده از روابط 9 و 10 بدست آمـده اسـت. مقایسـه نتـایج بدسـت آمده نشان میدهد که روابط بدست آمده بسیار کارا و موثر میباشند.
مسئلهای که در این حالت بررسی شده است یک لوله با طـول 3 8000 متر و قطر 0/406 متر با اختلاف ارتــفاع 1 متــر نسـبت بـه ورودی میباشد. این لوله، گاز طبیعی با وزن مخصـوص 0/675 و دمـای 27 درجه سانتیگراد را انتقال میدهد. ویسکوزیته گاز 0/00001 نیـوتن در ثانیه بر مترمربع و زبـری دیـواره لولـه 0/046 متـر مـیباشـد. در ورودی لوله، فشار گاز در 6 مگاپاسکال ثابت نگـه داشـته مـیشـود و فشار خروجی لوله در طول یک سیکل با زمان 6000 ثانیه در شـکل 3 نشان داده شده است.
با استفاده از روابط 9 و 10 مقادیر دبی ورودی استاندارد در ورودی و خروجی بدست میآیند که در شکلهای 4 و 5 نمایش داده شدهاند.
مسئلهی سوم: شبیهسازی جریان درون شبکهی حلقهای
در مسئلهی سوم، به شبیهسازی جریان درون شبکهای که در شکل 6 نشان داده شده است، پرداختـه مـیشـود. همـانطـور کـه از شـکل پیداست، این شبکه دارای سه نقطه و سه لوله می باشد که مشخصات لولهها در جدول 1 نشان داده شده است. نقطه 1 منبع فشار با فشـار ثابت 5 مگاپاسکال میباشد . بار مصرفی در نقاط 2و 3 به صورت توابع مشخصی از زمان در شکل 7 نشان داده شده اسـت. دمـای عملکـرد 278 کلــوین، چگــالی ســیال 0/7165 کیلــوگرم بــر مترمکعــب، وزن مخصوص 0/6 و ضریب اصطکاک نیز 0/003 می باشد. شکلهای 8 و 9 نتایج شبیهسازی بـرای فشـار نقـاط 2 و 3 را بـا اسـتفاده از روش حاضر در مقایسه با نتایج سایر محققین نشان میدهد.
