بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
حل تشابهی لایه مرزی غیر دائم روی صفحه ی تخت در حضور جریان خارجی با قابلیت جدایش متغیر ها
چکیده
حل معادلات لایه مرزی غیردائم یکی از بخشهای دشوار تحلیل حرکت سیال است. اما با کمک متغیرهای تشابهی مناسب می توان حجم محاسبات را کاهش و دقت آن را افزایش داد. در این مقاله با کمک یک ترفند ریاضی ابتدا خاصیت مهم یک جریان غیرلزج با ویژگی جدایش متغیرها بررسی میگردد. لازم به توضیح است، جریان خارجی غیر لزجی را که بتوان برحسب حاصل ضرب توابع تک متغیره درهم نوشت، جریان خارجی با متغیرهای جدا شونده گویند . درنهایت نشان داده می شود که با کمک متغیر تشابهی مناسب، می توان به تحلیل ساده تری از مساله رسید. اگرچه این جریانهای دائمی هستند که در صنعت بیشترین حضور را دارند، اما در این مقاله بعضی از جریانهای غیر دائم بررسی میشوند. لایه مرزی های غیر دائم، بیشتر بصورت پروسه های شروع جریان- آغاز حرکت از حالت سکون و یا تحول از یک حالت دائمی به حالت دائمی دیگر و یا حرکتهای دورهای دیده میشود. این جریانهای غیر دائمی همان جریانهایی هستند که حل کامل معادلات ناویر استوکس را طلب میکنند. از کاربرد های مهم لایه مرزی غیر دائم میتوان به تحلیل جریان حول پرههای هلیکوپتر، بال هواپیما و ایرفویل وندورن اشاره کرد
واژگان کلیدی: لایه مرزی، حل تشابهی، صفحه تخت، جریان غیر دائم
-1 مقدمه
در انتهای قرن 19، مکانیک سیالات به دو بخش مجزا تقسیم شده بود [1] که هیچ وجه مشترکی نداشتند. در یک سو علم هیدرودینامیک تئوری که از معادلات حرکت اویلر بدست آمده بود و تا حد بالایی از تکامل پیشرفت کرده بود. اما این شاخه از لحاظ علمی کاربرد اندکی داشت. چرا که نتایج حاصل از آن که روابط کلاسیک هیدرودینامیک را سبب می شدند، به روشنی با تجربیات روزانه در تضاد بود. [1] این مطلب خصوصا در دو حالت مهم افت فشار در لولهها و همینطور نیروی پسا بر روی یک جسم متحرک در سیال وجود داشت. در جبههی مقابل، مهندسان که با مسائل سیالات در تماس بودند شاخه دیگر مکانیک سیالات یعنی هیدرولیک را به وجود آوردند. [2]این بخش بر دامنه وسیعی از آزمایشات استوار بود و در مدلها و و اهداف از هیدرودینامیک فاصله زیادی گرفت.
این موفقیت بزرگ پراندل1 در اوایل قرن جدید بود که این دو شاخهی واگرای مکانیک سیالات را بهم متصل کرد.[1] او انطباق زیادی بین آزمایش وتئوری ایجاد کرد که سبب شد در نیمه اول این قرن، پیشرفتهای غیر قابل تصوری در مکانیک سیالات پدید آید. در آن زمان روشن شده بود که اغلب اختلافاتی که در پیش بینیهای کلاسیک هیدرودینامیک و تجربیات آزمایشگاهی وجود دارد به علت در نظر نگرفتن اثرات لزجت است. [4-2] در آن زمان معادلات کامل حرکت سیالات لزج بدست آمده بود. پیچیدگی های ریاضی این معادلات5]،[2، هیچ روش ریاضی خاصی برای حل این معادلات برای جریان های لزج بدست نیامده بود. برای سیالات پر کاربرد مانند آب وهوا، لزجت بسیار کوچک است و در نتیجه نیروهای حاصل از آن در مقابل نیروهای درگ قابل صرف نظر کردن هستند. [1] به همین دلیل زمان زیادی طول کشید تا مشخص شود چرا صرف نظر کردن از نیروهای لزجت در تئوریهای کلاسیک هیدرودینامیک، اثرات مهمی در حرکت سیال خواهد داشت. [4] یکی از مشخصه تحقیقات جدید در حوزه مکانیک سیالات و خصوصا تئوری لایه مرزی، ارتباط مستقیم آزمایش با تئوری است. محکمترین گامها و پیشرفتها از همراهی تعدادی آزمایش اساسی و ملاحظات تئوری بدست آمده است. بتز2 در 1949 گسترش تئوری لایه مرزی را با تاکید بر روی نتایج حاصل از تئوری و آزمایش، مورد بررسی قرار داد. تحقیقات در زمینه لایه مرزی که در 1904 توسط پراندل ارائه شد، تا 20 سال بعد که پراندل سخنرانی مشهور خود را در انجمن سلطنتی هوا فضای لندن ارائه داد، محدود به موسسه خود او در گوتینگن بود. از سال 1930 بود که محققین دیگری بررسی و توسعه تئوری لایه مرزی را آغاز کردند که بیشتر تلاش ها در انگلیس و آمریکا صورت میگرفت. در نیمه دهه پنجاه بود که متدهای ریاضی برای بررسی سیستماتیک اغتشاشهای منفرد در شش دهه بعد از تحقیقات بر روی این تئوری به طور غیر قابل باوری گسترش یافت، بعنوان مثال می توان از تلاش های شلیختینگ3 در 1960 و تانی 1 در 1977 نام برد. طبق بررسی درایدن در سال 1955 حدود 100 مقاله در این زمینه ارائه شده است. واکنون بعد از 45 سال این تعداد به 800 مقاله رسیده است.
لایه مرزی غیر دائم در سیستمهای چرخان بیش از همه درملخها، پروانههای هلیکوپتر و بطور کلی در توربوماشین ها دارای اهمیت است. جانگکلاوس2 در 1955 یک متد انتگرالی برای حل را ارائه کرده است. گراندمن3 در1976 لایه مرزی روی استوانههای چرخان دارای انحنا را بطور عددی محاسبه کرده است. لایه مرزی سه بعدی در بال استوانهای چرخان توسط فوگاتی4 در 1951، سیرز5 در 1953، تان6 در 1953 مورد مطالعه قرار گرفته است. همچنین استوارتون7 در 1960، روت8 در1964، ریلی 9 در 1975 جریانهای غیر دائمی را مرور کردهاند.آنچه گفته شد مروری بر تحقیقات گذشته است. اما ذکر یک نکته ضروری به نظر میرسد و آن اینکه اغلب پدیده های گذرا به صورت تجربی مطالعه شده است، که اصلی ترین دلیل آن مشکل بودن حل معادلات میباشد.
-2 معادلات حاکم
برای بدست آوردن معادلات حاکم بر لایهمرزی باید به معادلات ناویر استوکس و معادله پیوستگی در حالت تراکم ناپذیر رجوع شود. سپس با اعمال فرضهای زیر معادلات لایه مرزی بدست می آیند:
پس از اعمال فرضهای فوق به دست میآید:
که معادلات حاصل، معادلات حاکم بر لایه مرزی غیر دائم و تراکم ناپذیر در حالت کلی میباشند. دقت گردد معادله (7) همان معادله پیوستگی است.
