بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله به منظور شناخت بیشتر ویژگی موجی نور، با کمک شبیه سازی کامپیوتری که ابزاری کارآمد در مطالعهی مسالهی پیچیدهی پراش فرنل است، به بررسی پراش فرنل از N شکاف میپردازیم. از روش جدید انتگرال فرنل به جای روش معمول تبدیل فوریه سریع، جهت شبیه سازی نقش پراش فرنل از N شکاف مستطیلی با ابعاد دلخواه در نرمافزار متمتیکا استفاده خواهیم کرد. با الگوریتم شبیهسازی میتوان نقش های پراش را از هر نوری با طول موج دلخواه و هر فاصله ی دلخواه شکافها از پرده و شکافها از منبع نور، ایجاد نمود.
تصاویر شبیه سازی شدهی کامپیوتری ترکیب جالب تصاویر پراش فرنل با اثرات تداخل بین نور پراشیده از شکافها را نشان میدهد. تغییر حالت به الگوی مورد انتظار پراش فرانهوفر یا میدان دور از شکافهای چندگانه پراش فرنل نیز به وسیله شبیه سازی در حالت حدی معین مشاهده شده است. برنامه میتواند به عنوان یک ابزار مفید برای مطالعهی پدیدهی پیچیدهی پراش فرنل از N شکاف و علاوه بر این مطالعهی پراش فرنل یا میدان نزدیک از توریهای دامنهای پراش باشد.
مقدمه
برای نور تعریفی دقی ق و نیز جسمی شناخته شده یا نمونهای مشخص که شبیه آن باشد، وجود ندارد ولی لازم نیست که فهم هر چیز بر شباهت مبتنی باشد. امروزه میدانیم که نور یک موج الکترومغناطیسی میباشد و بخش بسیار کوچکی از طیف الکترومغناطیسی را تشکیل میدهد، بنابراین برای شناخت نور بایستی به بررسی امواج الکترومغناطیسی پرداخت، اما از آنجایی که مکانیک کلاسیک قادر به توضیح کامل امواج الکترومغناطیسی نیست،الزاماً بایستی به مکانی ک کوانتوم مراجعه کرد، اما در اینجا به جای وارد شدن به مکانیک کوانتوم لازم است که با یکی از خواص نور آشنا شویم.
در اپتیک پراش یک موضوع بسیار مهم از نظر تجربی و هم نظری می باشد .[3-1] شعاعهای موازی نور هنگام عبور ازیک روزنه کوچک، از همدیگر دور میشوند و با یکدیگر تداخل میکنند،که این پدیده را پراش مینامند، میتوان گفت که اگر در برخورد با مانع، چه مات و چه شفاف، بخشی از موج تغییر دامنه یا تغییر فاز یابد، پراش رخ میدهد و دامنه از مقدار معینی به صفر کاهش مییابد. پدیده پراش عمدتاً به دو نوع پراش فرنل - 1 میدان نزدیک - و پراش فرانهوفر - 2میدان دور - تقسیم بندی میشود.
در پراش فرانهوفر نور پخش میشود که شکل پراش یافته به روزنه واقعی بیشباهت میباشد. اگرچه پراش فرانهوفر حالت خاصی از پراش فرنل میباشد ولی به خاطر سادگی ذاتی آن و کاربردهای بسیاری که دارد، همواره بر پراش فرنل مقدم میباشد.[4] در پراش فرنل، یا جبهه موج واقع شده روی روزنه ویا جبهه موج پراشیده از روزنه یا هر دو مسطح نیستند، در نتیجه تجزیه و تحلیل پراش فرنل تقرباًی پیچیده تر از پراش فرانهوفر میباشد و حتی برای روزنههای مستطیلی یا دایرهای ساده هیچ راه حل تحلیلی برای پراش فرنل پیدا نمیشود، بنابراین تجسم کردن پراش فرنل کار بسیار دشواری میباشد.
عموماً برای محاسبه پراش فرنل از روزنهها از الگوریتمهایی که بر پایه تبدیلات فوریه هستند، استفاده میشود. این الگوریتمهانسبتاً سریع و کارآمد میباشند و میتوانیم در هر شکل از روزنهها اجرا کنیم و برای ساده سازی فرایند محاسبات بدون در نظر گرفتن ویژگیهای تقارنی روزنه از آن استفاده میشود . به عنوان مثال دادز3 الگوهای یک بعدی پراش فرانهوفر و فرنل را از تک شکاف و شکافهای دوگانه در یک کامپیوتر IBM با استفاده از روش تبدیل فوریهی سریع محاسبه کرده است.[5] ویلسون4 ، مک کریری5 و تامسون 6 با استفاده از یک نسخهی اولیهی متلب و روش تبدیل فوریه یک شبیه سازی کامپیوتری پراش فرانهوفر و فرنل از روزنههای مختلف را توصیف کردهاند.[6]
در روشهای محاسباتی که تا کنون به کار گرفتهاند ویژگیها ی تقارنی روزنهها در نظر گرفته نشدهاند اما میخواهیم با استفاده از روش انتگرالهای غیر تحلیلی تکرار شونده فرنل - هر کدام شامل متغیر یک بعدی می باشند - برای شکافهای مستطیلی به محاسبه پراش فرنل بپردازیم و هم چنین در این روش ویژگی تقارنی روزنهها را هم در نظر میگی ریم. این روش، روشی بسیار ادراکی برای محاسبهی پراش فرنل میباشد. در این روش، میتوانیم اثر تغییر هر پارامتر - مانند فاصلهی شکاف تا پرده - روی تصویر پراش در حالی که پارامترهای دیگر ثابت باقی میمانند، به راحتی مشاهده کرد.
معمولاً در کتابهای درسی تنها الگوی پراش یک سیستم N شکافی برای حالت پراش فرانهوفر - میدان دور - معرفی میشود. تعمیم روش انتگرال فرنل تکراری به شکافهای N گانه کار سادهای نمیباشد. مسألهی N شکاف در اپتیک خیلی مهم میباشد، اساساً میتوانیم به عنوان یک توری دامنهای پراش در نظر بگیریم که در بسیاری از سیستمهای اپتیکی مانند طیفنگارها و طیفسنجها استفاده میشود. در این مقاله ما روش انتگرال تکرارشوندهی فرنل را برای حالت کلی سیستم N شکاف اجرا میکنیم. ابتدا معادلهی اساسی را برای توضیح میدان الکتریکی یا شدت با توجه به N شکاف بدست میآوریم سپس الگوریتم دقیقی را برای روش محاسبه فرمول بندی میکنیم. الگوریتم در متمتیکا اجرا شده است و تصاویر خروجی برنامه برای موارد معمولی مسألهی N شکاف را حاضر کردهایم. در نهایت در بخش پایانی صحتسنجی و نتایج بیان شده است.
نظریه
به طور کلی برای مسألهی N شکاف درست نمیباشد که تعدادی انتگرالهای فرنل وابسته به N شکاف را محاسبه کنیم ی ا گسترش الگوریتم به شکافهای N گانه امکان پذیر نمیباشد، بلکه یک روش محاسباتی متفاوت در این مورد نیاز می باشد. اگر که بخواهیم برای هر شکاف جداگانه انتگرالهای فرنل را محاسبه کنیم نیاز به حل 2N+2 انتگرال داریم که تعداد 2N مربوط به بعد v و دو مورد دیگر مربوط به بعد u میباشد که این روش بسیار طولانی و زمانبر میباشد.
برای سادگی در انجام محاسبات فرض میکنیم که N= 2n - تعداد شکافها زوج - میباشد.همانطور که قبلاً در مورد سیستم تک شکاف گفتیم، در سیستم شکاف Nگانه هم فرض میکنیم که روی دستگاه مختصات xy متمرکز شده است، یعنی مبدأ دستگاه مختصات O دقاًی در مرکز سیستم شکاف N گانه قرار دارد - شکل 1 برای N=4 نشان میدهد - . شکل-1 پیکربندی هندسی پراش فرنل برای .N= 4 ابعاد هر شکاف a 2b و جدایی مرکز به مرکز شکافها a c میباشد.
روش شبیهسازی
برای اینکه توزیع شدت در تمام نقاط سطح تصویر را نقشه برداری کنیم، کافی است شکاف را در جهات مختلف جابهجا کنیم. به عنوان مثال برای پیدا کردن شدت در یک میلی متری سمت راست نقطهی P ، کافی است پردهی مشاهده را دست نخورده نگه داریم و شکاف را یک میلی متر به سمت چپ حرکت دهیم و شدت را در این وضعیت جابه جایی پیدا کنیم. بدین ترتیب میتوانیم ماتریس دو بعدی شدت را که عناصر آن نشان دهندهی نقاط مختلف تصویر میباشند را بسازیم.
برای ساخت ماتریس شدت ابتدا باید پارامترهایی همچون عرض شکافها - a - ، طول یا ارتفاع شکافها - b - ، جدایی مرکز به مرکز شکافها - c - ، تعداد شکافها - - N، حداکثر جابهجایی شکافها - A - ، اندازهی گامها یا میزان دقت در اندازهگیری انتگرالهای فرنل - - s که بیانگر وضوح تصویر شبیه سازی شده می باشد، فاصلهی شکافها از نقطهی مشاهدهی h - P - ، طول موج نور - l - ، میزان شدت تصویر شبیه سازی شده - - t را وارد کنیم .
تمامی پارامترها را برحسب میلی متر وارد میکنیم به جز طول موج نور که بر حسب نانومتر میباشد. اندازهی گام برای شبیهسازیها باید یک مقدار کوچک منطقی انتخاب شود. اگر که مقدار ورودی خیلی از مقدار انتخاب شده کوچک باشد، زمان شبیه سازی بیش از حد طولانی خواهد شد. اما اگر که خیلی بزرگ باشد، یک تصویر با وضوح پایین یا تصویری تار تولید خواهد شد. سپس پارامترهای ورودی را به متغیرهای بدون بعد u و v تبدیل میکنیم.
برای محاسبهی توزیع میدان الکتریکی با استفاده از معادلهی - 4 - در همهی نقاط روی سطح تصویر، نیاز به ارزیابی تعداد زیادی انتگرالهای سینوس و کسینوس فرنل خواهیم داشت که باتوجه به حدود انتگرالهای فرنل در هر دو راستا به محاسبهی انتگرالها فرنل این دو راستا میپردازیم. که برای حل انتگرالها از دستور Table کمک میگیریم. آرایههای یک بعدی هر محور را که نشاندهندهی تغییرات کامل میدان الکتریکی در جهت همان محور میباشد را باکمک انتگرالهای فرنل مربوط به هر راستا بدست میآوریم.
هریک از آرایههای ی ک بعدی را باید به ماتریس های مربعی تبدیل کنیم، به طوری که یکی از ماتریسها در جهت ستونی دارای مقادیر متفاوت باشد و دیگری در جهت سطر دارای مقادیر متفاوت باشد. اگر که ماتریسهای مربعی بدست آمده را در همدیگر ضرب کنیم به میدان الکتریکی کل در جهت محورهای u و v دست مییابیم. برای محاسبهی شدت کل کافی است میدان الکتریکی کلی را در مزدوجش ضرب کنیم. با استفاده از عامل t تمامی عناصر ماتریس شدت کلی را بهنجار میکنیم در صورتی که عامل شدت تصویر را واحد در نظر بگیریم میتوانیم بدون استفاده از این عامل و با کمک دستور نرمالیزه، عناصر ماتریس شدت را بهنجار به یک کنیم .
تا به اینجا ماتریس شدتی را که محاسبه کردهایم مربوط به ربع اول دستگاه مختصات میباشد، حال باید ماتریس شدت را به کل دستگاه مختصات تعمیم دهیم. از آنجا که N شکاف حول محورهای x و y متقارن میباشند، الگوی پراش فرنل تولید شده توسط آن هم در سطح تصویر به طور واضح نسبت به محورهای x و y متقارن میباشد. بدین منظور ماتریس مربعی صفر را برای کل دستگاه مختصات طراحی میکنیم. سپس برای ساخت ربع اول تصویر ماتریس بهنجار شدهی شدت را در قسمت ربع اول ماتریس صفر جایگذاری میکنیم.
