بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
طراحي و شبيه سازي نوسان ليزر Nd:YAG در مدولاسيون فرکانس با استفاده از اختلال فـاز پارامتريک درون کاواکي
چکيده
در اين ساختار،تاثير يک عنصر درون کاواکي که سبب اختلال فاز پارامتريک مي شود، بر روي مد هـاي محـوري ليـزر
مورد بررسي قرار گرفته است . اين عنصر که داراي فرکانسي نزديک به فاصله فرکانسي مد هاي محوري اسـت ، موجـب
تغيير سريع طول مشدد نوري مي شود. در نهايت نوسان ليزر شامل يک سري از مدها مي شود که دارايفاز هـاي FMو
دامنه هايي به شکل تابع بسل است . در اين مقاله همين پديده براي ليزر Nd:YAG با استفاده از کريستال LiNbO٣
طراحي و شبيه سازي شده است .
کلمات کليدي
اختلال فاز پارامتريک ، تابع بسل ، مد هاي محوري، فاز هاي FM، LiNbO3
طراحي و شبيه سازي نوسان ليزر Nd:YAG در مدولاسيون فرکانس با استفاده از اختلال فاز پارامتريک درون کاواکي
١- مقدمه
جمعيت هاي اتمي که سبب نوسان ليزر مي شوند، در حالـت کلـي پهن شده ي ناهمگن اند و به تعداد زيادي از مدهاي محـوري ليـزر اجازه مي دهند که به طور مستقل نوسان کنند. تا حد زيادي، بهـره اين مدها نتيجه بر همکنش مسـتقل آنهـا بـا جمعيـت هـاي اتمـي مختلف آنهاست . در ليزر هاي گازي اين عمل اصـولا ناشـي از پهـن شدگي دوپلري است [١]، ولي براي ليزر هاي حالت جامد اين عمل اغلب ناشي از ناهمگني فضايي اسـت ( ايـن پهـن شـدگي ناشـي از تغييرات فضايي مختلف است که در آن مد هاي نوري مختلف با اتم هاي مختلفي بر همکنش مي کنند). مد هايي از مشـدد نـوري کـه نزديک به مرکز خـط فلوئورسـانس اتمـي قـرار دارنـد، بهـره يکبـار عبورشان از کاواک بزرگتر از اتلاف يکبار عبورشان اسـت و بنـابراين نوسان مي کنند. اين مدها توسط گسيل خودبخـودي تحريـک مـي شوند و به طور تقريبا مستقل از هم اشـباع مـي شـوند و در بيشـتر موارد با تقريب خوبي کوپل نشده هستند.
در اينجا ابتدا به توصيف نظـري از نوسـان ليـزرFM مـي پـردازيم و سپس ليزر FM شبيه سازي مي شود. اين نوسان اولـين بـار توسـط Harris و همکــارانش [٢] نشــان داده شــد.در نوســان ليــزر FM از عنصري استفاده مي شود که اجازه مـي دهـد طـول مسـير مشـدد نوري به سرعت تغيير کند. اين عنصر که بـه آن اخـتلال فـاز درون کاواکي گفته مي شود، داراي فرکانسي نزديک به فاصـله فرکانسـي مد هاي محوري است . در نتيجه نوسـان ليـزر شـامل يـک سـري از مدها است که داراي فاز هايFMو دامنه هايي به شکل تـابع بسـل است . اين مدها قسمت بزرگي از خط فلوئورسـانس را بـا فرکانسـي برابر با فرکانس محرک اختلال فاز، جاروب مي کنند.
از نقطه نظر فيزيکي تاثير اختلال فاز درون کـاواکي ، همـراه کـردن دسته اي از باند هاي کناري FM با هر يـک از مـدهاي ليـزر رانـش آزاد قبلي است . يعني سبب مي شود که هر يـک از مـد هـاي ليـزر رانش آزاد قبلي ، فرکانس مرکزي يا حامل يکي از سيگنال هاي FM شوند. نتيجه اين است که حال نوسان هاي FM به صورت چندتايي همانند آنچه مدهاي رانش آزاد قبلي انجام مي دادند، براي جمعيـت اتمي تلاش مي کنند ( رقابت مي کنند).در شکل (١) چيدمان ليـزر FM و نوسان آن ديده مي شود:
شکل ١- شماتيکي از نوسان ليزرFM[٣]
بسياري از مفاهيم که براي ليزر رانش آزاد کاربرد دارند را مي تـوان براي نوسان FM ليزر هم بسط داد. آستانه ي نوسان براي يـک مـد ليزر رانش آزاد زماني رخ مي دهد که بهـره بيشـتر از تلفـات باشـد.
براي نوسان ليزرFM ، بهره و اتلاف يک مد خاص اهميت خـود را از دست مي دهند و ما به جاي آن آستانه ي نوسـان کلـي را در نظـر مي گيريم . اين آستانه به عمق مدولاسيون نوسـان و بـه ترکيبـي از بهره هايي که همه باندهاي کناري FM دارند بستگي دارد. به طـور مشابه ، به جاي در نظر گرفتن کشيدگي يک مـد تکـي ماننـد ليـزر رانش آزاد، کشيدگي نوسان FM کلي را در نظر مي گيريم .
٢- معادلات اساسي
فرض مي کنيم که اخـتلال فـاز داراي پـذيرفتاري متغيـر بـا زمـان به شکل زير باشد:
که فرکانس محرک اختلال اسـت . بنـابراين توزيـع پارامتريـک قطبش ( عبارتست از :
در عمل اختلال فاز وابسته به زمـان اغلـب بـه وسـيله يـک عنصـر اختلالي کوچک که هيچ تغييرات فضايي مهمـي در جهـت z نـدارد بدست مي آيد. يعني (ݖ)Δχᇱ در طول عنصر اختلالـي مسـتقل از z است . اگر اجازه دهيم که δ୫ بيانگر پيک اخـتلال فـاز يکبـار عبـور چنين عنصري با طـول a باشـد، بـه سـادگي مـي تـوان نشـان داد که [٤]:
که d ضخامت کريستال، r33ضريب الکترواپتيکي کريستال، λ طـول موج ليزر، n0ضريب شکست کريستال و V ولتاژ اعمال شده بر روي کريستال است . اگـر چنـين عنصـري در فاصـله ݖ از آينـه پشـتي کاواک قرار بگيرد، ضريب کوپل شدگي به صورت زير بيان مي شود
حال با حل معادلاتي که در [٥] براي ميدان و فـاز مـد هـاي ليـزر آمده نتيجه ي زير بدست مي آيد :
که در آن ميزان واکوکي است و به عنوان اختلاف فرکــانس بــين فاصــله مــدهاي محــوري و فرکــانس مدولاســيون تعريــف مــي شــود. در ايــن رابطــه E୬ و φ୬ ميــدان الکتريکي مربوط به مد n ام و q يک عـدد صـحيح اسـت . رابطـه ي دوم معادله (٥) نشان مي شود که مدهاي مختلف فاز يکسان دارنـد و رابطه ي سوم اين معادله بيانگر اين است که دامنه ميدان هر مـد به شکل تابع بسل است .همچنين R برابر است با :
حال حل را براي 0=q در نظر مي گيريم که يک نوسان FM کامـل با يک عمق مدولاسيون R و فرکانس مرکزي در مد صفرم اسـت . از ديد يک فرکانس در حال تغيير، انحـراف فرکـانس پيـک تـو پيـک نوسان است . عمق مدولاسيون R متناسـب اسـت بـا قـدرت اختلال متغير با زمان و بـه طـور عکـس متناسـب بـا واکـوکي Δω است .
فرکانس n امين مد کاواک بـه صـورت nω୫ +Ω୬ =ω୬ تعريـف مي شود که Ω୬ فرکانس n امين تشديد کاواک فرکانس مد مرکزي اسـت ). بنـابراين 0=n نشـان دهنده تنها مدي از حل 0=q است که فرکانس نوسان آن در غيـاب اختلال فاز پارامتريک ، يکي از فرکانس هاي تشديد کـاواک خواهـد بود.
حــال حــل هــاي بعــدي را بــراي ٠ ̸= ݍ در نظــر مــي گيــريم .
qΔω =φ̇୬ نشان دهنده يک شيفت يکنواخت در همه ي فرکانس ها نسبت به موقعيت فرض شده شان بـه انـدازه qΔω اسـت . بـراي مثال اگر ١ = q ، همه ي فرکانس ها به اندازه Δω بـه بـالا شـيفت پيدا مي کنند و در اين حالت ، ١ = n تنها مدي است که دقيقا بر روي يـک تشـديد کـاواک قـرار دارد. در ايـن حالـت دامنـه مـدها (J୬ିଵ)R=E୬ است و ١ = n داراي دامنه (J)R است و فرکانس مرکزي نوسان FM است . در نظريه خطي، هر يـک از مـدهاي ليـزر رانش آزاد قبلي ممکن است حامل يک نوسان FM شـوند. فرکـانس حامل q امين نوسان در مد q ام قرار دارد و از اين حيث قابل تمـايز است که دامنه اش (J)R و تنها بانـد کنـاري آن نوسـان اسـت کـه فرکانس نوسانش همانند مد محوري اصلي است .
نشان داده مي شود [٣] کـه ميـدان الکترومغنـاطيس کـل کـاواک (E)z,t که متناظر با يک حل FM خاص اسـت بـا در نظـر گـرفتن حالت ٠=q به صورت زير است :
با استفاده از تعاريف تابع بسل و روابط مثلثاتي استاندارد، (E)z,t را مي توان به صورت زير نوشت :
که متناظر با يک موج ايستا است . توجه به اين نکته جالب است که ميدان الکترومغناطيسي کـل کـاواک در يـک نقطـه خـاص از فضـا مدوله شـده فـازي نيسـت . بـراي بدسـت آوردن يـک سـيگنالFM خالص ، لازم است که اين رابطه را به هـر يـک ، ولـي نـه هـر دو ، از امواج در حال حرکت FM کوپل کنيم .
٣- شبيه سازي و نتايج بدست آمده
در اين قسمت نتايج شبيه سازي براي ليزر Nd:YAG با اسـتفاده از کريستال LiNbO٣ با برنامه نويسي در نرمافزار متلب ارائه شده است . پارامترهايي که در نظر گرفته شده اند عبارتد از : طول کاواک : cm ٦٠ فرکانس مدولاسيون : MHz ٢٥٠ ميزان واکوکي : MHz ١ طول کريستال: cm ٢ ضخامت کريستال: mm٥ ضريب شکست کريستال: ٢.٣ ضريب الکترواپتيکي [٦] :m.V١٢-^١٠×٣٠٨. در شکل (٢) ضريب کوپـل شـدگي بـر حسـب طـول مشـدد بـراي فواصل مختلف مدولاتور از آينه پشتي رسم شده است . طبـق شـکل طراحي و شبيه سازي نوسان ليزر Nd:YAG در مدولاسيون فرکانس با استفاده از اختلال فاز پارامتريک درون کاواکي مي بينيم که با افزايش طول مشدد ضريب کوپل شـدگي زيـاد مـي شود. چرا که با افزايش طول مشدد تاثير فاصله ي Z کـاهش مـي يابد. مي بينيم کـه بـا افـزايش فاصـله ي مـدولاتور از آينـه پشـتي ضريب کوپل شدگي به سرعت کاهش مي يابد.
همچنين در شکل (٣) تغييرات ضريب کوپـل شـدگي بـا Z بـراي طول هاي مختلفي از مشدد ديده مي شود. در ترسيم اشـکال (٢) و (٣) فرض شده است که طول کريستال مدوله کننده cm ٢ و پيک اختلال فاز برابر با rad ١ باشد. طبق رابطه (٣) براي بدسـت آوردن چنين پيک اختلال فازي نيازمند ولتاژي برابر بـا تقريبـا ٢٢٥ ولـت هستيم .
بنابراين قرارگيري هر چه نزديک تر عنصر به آينه پشتي مطلوب بـه نظر مي رسد. در اين صورت ضريب کوپل شدگي δ بسـيار نزديـک به پيک تاخير فاز يکبار عبور عنصر اختلال گر است که بـه راحتـي قابل اندازه گيري است . اين نکته را بايد در نظر گرفت که اگر عنصر اختلال گر کوچک نباشد، تغييرات فضايي آن مي تواند مهم باشد.
در شکل زير عمق مدولاسيون بر حسب واکوکي رسـم شـده اسـت .
مي بينيم که با افـزايش ضـريب کوپـل شـدگي عمـق مدولاسـيون نوسان FM هم به سرعت افزايش مي يابد. همچنين وقتي واکـوکي به صفر نزديک مي شود عمق مدولاسيون به بي نهايت نزديـک مـي شود و ديگر نمي توان از تحليل فوق استفاده کرد.
