بخشی از مقاله
خلاصه:
کنترل کنندههای تناسبی- انتگرالی- مشتق - ت. ا. م - به دلیل عملکرد مناسب و عدم پیچیدگی در صنعت از محبوبیت بالایی برخوردار هستند. کنترل کنندههای - ت. ا. م - مرتبهی کسری علاوه بر ویژگیهای اشاره شده برای نوع مرتبه صحیح آن، دارای عملکرد مقاوم در مقابل تغییرات بهره و مقاوم بودن نسبت به وجود عدم قطعیتها هستند و همین مسئله منجر به توجه روز افزون به کنترل کسری، طی سالیان اخیر شدهاست. در این پژوهش چند روش رایج در طراحی کنترل کنندههای - ت. ا. م - از مرتبه کسری ارائه شدهاست و با استفاده از مدل عملی یک هواپیمای بدون سرنشین عملکرد دو کنترل کننده - ت. ا. م - از مرتبهی کسری و مرتبهی صحیح با یکدیگر مقایسه شدهاند. البته با توجه به اینکه عناصر مرتبهی کسری تا کنون ساخته نشدهاند برای پیادهسازی کنترل کننده مرتبهی کسری و یا سیستمهای مرتبهی کسری استفاده از تقریب ضروری است. با استفاده از تقریبهای رایج، سیستم مرتبهی کسری مورد نظر با یک سیستم مرتبهی صحیح از مرتبهی بالاتر با دقت مناسب مدلسازی شده و به صورت عملی در کنترل کنندهها مورد استفاده قرار میگیرد.
کلمات کلیدی: حسابان کسری، کنترل کننده تناسبی انتگرالی مشتقی، پاسخ فرکانسی، پرنده بدون سرنشین، زاویه رول
.1 مقدمه
اگرچه مبحث حسابان کسری یعنی استفاده از مقادیر گویا، غیرگویا، غیرصحیح یا حتی مختلط در عملگرهای مشتق و انتگرال، برای دانشجویان و فارغ التحصیلان مهندسی کمی عجیب و نامأنوس به نظر میرسد اما تاریخچهای چند سدهای در کنار این مبحث وجود دارد، که امروزه با بررسی و ورود این موضوع به گرایشهای مهندسی و خصوصا مهندسی کنترل دریچههای تازهای در مدلسازی و طراحی کنترل کنندهها گشوده شدهاست. در ابتدای پیدایش حساب دیفرانسیل وانتگرال در سال 1695، لایبنیتز شخصا در نامهای به هوپیتال از وی در مورد تعمیم مشتقات صحیح به کسری پرسید، در خلال این نامه نگاریها لایبنیتز پاسخ داد که اگر چه این مسئله یک تناقض است اما روزی خواهد رسید که میتواند نتایج مفیدی در بر داشته باشد. بعد از گذشت سه دهه امروز حسابان کسری در حال گسترش و تعمیم در حوزههای مهندسی است.
البته ذکر این نکته ضروری است که واژه حسابان کسری، واژه دقیقی نبوده و استفاده از واژه" غیرصحیح" میتواند با دقت بیشتری این شاخه از علم را توصیف نماید. اما با توجه به این که واژهی کسری به عنوان غلط مصطلح در پژوهش های امروزی به عبارتی شناخته شده تبدیل گردیده و در مقالات و کتب مورد استفاده قرار میگیرد تقریبا در همه جا با همین نام به کار میرود .[1] حسابان کسری در حال حاضر در زمینههای مختلفی همچون، ریاضیات، فیزیک، مهندسی، شیمی، علوم کامپیوتری، مکانیک، داروشناسی، علم مواد و عصبشناسی مورد استفاده قرار میگیرد .[9]کنترل کنندههای کسری، کنترل کنندههایی هستند که از مشتقات و انتگرالهای مرتبهی کسری به جای مرتبهی صحیح استفاده میکنند. با توجه به عملکرد مقاوم و مطلوبتر کنترل کنندههای کسری نسبت به کنترل کنندههای مرتبهی صحیح و متداول، در چند سال اخیر مورد توجه ویژهای قرار گرفتهاند. علیرغم تمامی کاربردهای کنترل کسری، اما میتوان به مواردی همچون:
-1 سیستم تعلیق فعال
-2 کانال آبرسانی -3 کنترل رباتهای انعطاف پذیر اشاره نمود .[2]کنترل کننده - ت. ا. م - مرتبهی کسری که ابتدا در سال 1999 توسط پادلوبنی* پیشنهاد گردید، در واقع توسعه یافتهی کنترل کنندههای - ت. ا. م - رایج بر مبنای حسابان کسری بود. شکل کلی تابع تبدیل کنترل کنندهی - ت. ا. م - در ادامه بررسی میگردد .[8]گزینش بهینهی 5 متغیر kP , k I , kD , ، طراحی کنترل کنندهی - ت. ا. م - کسری را نسبت به طراحی کنترل کننده - ت. ا. م - متداول، چالشپذیرتر خواهدکرد .[8] مهمترین ویژگی در یک سیستم کنترلی حلقه بسته شامل کنترل کننده، توانایی تضمین پایداری و داشتن عملکرد مقاوم در هنگام دفع اغتشاش و نویز است.
محبوبترین کنترل کننده در صنعت که با تنظیم متغیرهای آن میتوان به عملکرد خوب چه در حوزه زمان و چه در حوزه فرکانس دست یافت، کنترل کنندهی - تناسبی-انتگرالی-مشتقی - است.[10] تنظیم متغیرهای کنترل کنندهی - ت. ا. م - مهمترین موضوع در صنعت و فرآیندهای کنترلی است. ضرایب تناسبی، انتگرالگیر و مشتقگیر به دو صورت دستی یا خودتنظیم تعیین میگردند. با توجه به گزارش ارائه شده در سال 1989، کنترل کنندهی - ت. ا. م - در %90 حلقههای کنترلی مورد استفاده قرار گرفتهاست. مشتقگیر در کنترل کنندهی - ت. ا. م - با اصلاح میرایی منجر به افزایش سرعت پاسخ گذرا میگردد.
بررسیهای تئوری و عملی گستردهای بر روی کنترل کنندههای - ت. ا. م - صورت پذیرفتهاست که از آن دست میتوان به تبیین قوانین طراحی مانند زیگلر-نیکولز که در سال 1942 یا روش تعیین ضرایب کنترل کنندهی - ت. ا. م - هاگلاند و آستروم که در سال 1955 و روش بهبود یافته که توسط هاگلاند و آستروم در سال 1999 پیشنهاد شد، اشاره کرد. کنترل کنندهی - ت. ا. م - کسری با گسترش اعداد صحیح به اعداد غیرصحیح بدست میآید.[10]در سالهای اخیر با معرفی کاربرد حسابان کسری در طراحی کنترل کنندهی - ت. ا. م - از مرتبهی کسری، این کنترل کننده مورد توجه ویژه قرار گرفته و سهم بالایی را در صنعت به خود اختصاص داده است.
روشهای ارائه شده برای طراحی کنترل کننده - ت. ا. م - به دو دسته تحلیلی و عددی تقسیم میشوند که روشهای عددی معمولا همراه با حجم بالای محاسبات است. در روشهای تحلیلی محاسبات سنگین عددی وجود ندارد و این مسئله منجر به افزایش سرعت طراحی میگردد. در طراحی کنترل کنندهی - ت. ا. م - از مرتبهی صحیح روشهای مختلفی از جمله، زیگلر نیکولز و آستروم هاگلاند وجود دارد. در این مقاله به بررسی روشهای گوناگون جهت طراحی کنترل کنندههای - ت. ا. م - و - ت . م - پرداخته و با یکدیگر مقایسه میکنیم. پادلوبنی کاربرد - ت . ا . م - به صورت سری با یک تابع کسری را ارائه کردهاست که اشکال این روش حجم سنگین محاسبات حتی برای یک سیستم ساده کسری است.
مونجه* روش مبتنی بر الگوریتم بهینهسازی ارائه داده است. طراحی با استفاده از این روش بستگی به تخمین اولیه از متغیرهای نامعلوم دارد و نیز ممکن است به یک پاسخ زیر بهینه که حتی ناپایدار باشد ختم گردد. اخیرا روش قدرتمندی به منظور طراحی کنترل کنندهی - ت. ا. م - کسری برای سیستمهای مرتبهی صحیح مبتنی برحل 5 معادله غیر خطی - که بر اساس نگاشت طراحی درحوزهی فرکانس - و 5 مجهول ارائه شده است. یافتن پاسخ 5 معادله غیرخطی خیلی بدیهی نبوده و به حدس اولیه بستگی دارد. آستالوپ نیز بر روی نسل سوم از کنترل کنندهی کرون متمرکز شدهاست. سه نسل ازکنترل کنندهی کرون وجود دارد 7]و.[8
.2 تعاریف حسابان کسری
در حالت صحیح، بر اساس ایده ریمان لیوویل و مبتنی بر نتیجهی رابطه کوشی برای انتگرالهای تکراری میتوان به یک کانولوشن ساده به صورت زیر دست یافت.می توان درستی رابطهی - 1 - را برای R n گسترش داد با این تفاوت که1 - > - n ، برای - n - در نظر گرفته میشود. بر همین اساس طبق تعریف ریمان لیوویل، انتگرال کسری از مرتبهی را به صورت زیر تعریف میکنیم.
